다항식 함수

여기에서는 다항식 함수가 무엇인지, 모든 유형의 다항식 함수가 무엇인지 확인할 수 있습니다. 또한 다항식 함수의 속성도 설명합니다.

다항식 함수란 무엇입니까?

다항식 함수는 대수적 표현이 다항식인 함수입니다 . 즉, 다항식 함수는 서로 다른 차수를 갖는 유한 수의 항을 더하거나 빼서 정의됩니다.

따라서 다항식 함수는 다음 표현식으로 수학적으로 설명됩니다.

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n$

한편, 다항식 함수는 다음 공식을 사용하여 정의할 수도 있습니다.

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_k\cdot x^k$

용어는 어디에

$a_k$

그리고

$x^k$

는 각각 다항식 함수를 형성하는 각 단항식의 계수와 변수입니다.

용어

$a_nx^n$

주항이라고 불리는 는 함수의 최고 차수 단항식이므로 다항식 함수의 차수를 나타냅니다. 즉, 가장 큰 값의 지수는 다항 함수의 차수를 나타내는 지수입니다.

아래에서 다항식 함수의 더 많은 특징을 볼 수 있지만 다항식 함수의 정의역은 모두 실수입니다.

다항식 함수의 유형

다항식 함수의 정의가 주어지면 이제 모든 유형의 다항식 함수가 무엇인지 살펴보겠습니다.

상수 함수

상수함수는 0차 다항함수이므로 독립변수(x)의 어떤 값에 대해서도 항상 같은 이미지를 취하는 함수 종류이다.

상수 함수의 일반 표현식은 다음과 같습니다.

$f(x)=k$

예를 들어, 다음 세 가지 함수는 0차 상수 또는 다항식 함수입니다.

$f(x)=5 \qquad f(x)=2 \qquad f(x)=-3$

상수 함수의 그래픽 표현은 상수와 동일한 값을 갖는 수평선(x축에 평행)입니다.

다음 링크에서 이러한 유형의 기능에 대한 추가 기능을 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 상수 함수의 특성

선형 함수

아핀 함수라고도 불리는 선형 함수 는 1차 다항식 함수입니다. 따라서 이 유형의 다항식 함수는 선형 항과 독립 항으로만 구성될 수 있습니다.

$f(x)=mx+n$

금

$m$

는 선의 기울기이고

$n$

는 y절편입니다. 즉, 함수가 Y축과 교차하는 지점입니다.

선형 함수 또는 1차 다항식 함수의 예:

$f(x)=4x+3\qquad f(x)=-5x$

어떤 사람들은 함수의 항이 다음과 같은지 여부에 따라 선형 함수와 아핀 함수를 구별합니다.

$n$

또는 절편이 있는 아핀 함수이고 없는 선형 함수입니다.

선형 함수의 그래픽 표현은 항상 기울기 정도가 함수의 기울기 값에 따라 달라지는 선입니다.

아래에서 1차 다항식 함수를 그래픽으로 볼 수 있습니다.

$f(x)=2x-1.$

그러나 선형 함수를 그래프로 나타내려면 몇 가지 개념을 명확하게 알아야 합니다. 다음 링크에서는 이 유형의 다항식 함수를 그래프로 표시하는 방법에 대한 단계별 설명을 찾을 수 있습니다.

➤ 참조: 선형 함수의 그래픽 표현

이차 함수

2차 함수 는 2차 다항식 함수, 즉 더 높은 차수가 2차인 함수입니다.

따라서 이차 함수의 공식은 다음과 같습니다.

$f(x)=ax^2+bx+c$

금

$ax^2$

는 이차항이고,

$bx$

선형항과

$c$

다항식 함수의 독립항.

2차 함수 또는 2차 다항식 함수의 예:

$f(x)=5x^2+2x-1\qquad f(x)=-2x^2+x+7$

이차 함수의 그래프는 항상 포물선이며 그 모양은 선행 계수의 부호에 따라 달라집니다.

$a:$

계수
$a$

양수이면 이차 함수는 볼록합니다 (모양이 다음과 같습니다).

$\bm{\cup}$

).
대신 계수가
$a$

음수이면 이차 함수는 오목합니다 (모양은 다음과 같습니다).

$\bm{\cap}$

).

따라서 2차 다항식 함수의 주요 계수의 부호를 사용하면 그래프의 모양을 알 수 있지만 정확한 그래픽 표현을 만들려면 특정 절차를 따라야 합니다. 다음 링크에서 이 절차를 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 이차 함수의 그래픽 표현

삼차 함수

3차 함수는 3차 다항식 함수입니다. 따라서 이러한 유형의 다항식 함수는 다음과 같이 대수적으로 표현됩니다.

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

3차 함수 또는 3차 다항식 함수의 예:

$f(x)=x^3+4x^2+5x-1$

$f(x)=2x^3-3x^2+9$

3차 함수의 그래픽 표현은 3차 곡선에 해당합니다. 그러나 이러한 유형의 함수를 그래프로 표현하려면 복잡한 절차를 따라야 합니다(도함수 포함). 여기에서 어떻게 완료되었는지 확인할 수 있습니다.

➤ 참고: 함수를 표현하는 방법

보시다시피 다항식은 무한한 항을 가질 수 있으므로 다항식 함수의 유형은 실제로 무한합니다. 예를 들어, 4차 함수는 3차 함수와 비슷하지만 2차 항이 추가되어 있습니다. 중요한 것은 다항식 함수의 유형이 함수의 차수에 따라 표시된다는 것을 이해하는 것입니다.

다항식 함수의 속성

다항식 함수에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

모든 다항식 함수의 정의역은 실수 집합입니다.

$\text{Dom } f=\mathbbf{R}$

모든 다항식 함수는 연속적입니다.

1보다 큰 차수의 다항식 함수에는 점근선이 없습니다.

다항식 함수의 유형에 관계없이 세로축(Y축)과의 유일한 교차점은 독립항의 높이, 즉 다음 지점입니다.

$(0,a_0)$

반면, 다항식 함수는 최대 함수 차수만큼 가로축(X축)을 가로지르는 함수입니다.

다항식 함수에 짝수 차수의 항만 있는 경우 이는 OY 축에 대해 대칭임을 의미합니다. 반면, 다항식 함수에 홀수 차수의 항만 있는 경우 이는 해당 함수가 좌표 원점을 기준으로 대칭임을 의미합니다.

다항식 함수의 상대 극값(최대 또는 최소) 수는 기껏해야 함수의 다항식 차수에서 1을 뺀 값입니다.

다항식 함수의 변곡점 수는 기껏해야 함수의 다항식 차수에서 2를 뺀 것과 같습니다.

다항식 함수를 사용하여 작업을 수행할 수 있습니다.
- 두 다항식 함수의 합은 또 다른 다항식 함수를 제공합니다.
- 두 다항식 함수의 곱은 또 다른 다항식 함수를 생성합니다.
- 다항식 함수에 스칼라(실수)를 곱하면 유사한 다항식 함수가 생성되지만 그래프가 축소되거나 확장됩니다.
- 두 다항식 함수의 구성은 다른 다항식 함수와 동일합니다.