뉴턴의 이항식은 주어진 거듭제곱으로 거듭제곱된 두 항의 합을 표현하는 데 사용되는 수학 공식입니다. 영국 수학자 아이작 뉴턴의 이름을 딴 이 공식은 수학의 여러 분야에서 사용됩니다.
예를 들어, 통계, 확률 이론, 미분 및 적분 계산에 유용합니다. 이항 정리를 사용 하면 간단한 방법으로 이항의 거듭제곱을 계산할 수 있습니다.
간단히 말해서, 뉴턴의 이항식은 (a+b) n 형식의 모든 대수 표현을 풀 수 있는 공식을 기반으로 합니다. 이 공식은 아이작 뉴턴의 이름을 따서 명명되었음에도 불구하고 그 유래에 대한 논란이 있다는 점은 언급할 가치가 있습니다.
즉, 일부 연구에서는 중동에서 이항정리의 활용을 찾는 것을 제안하고 있습니다.
뉴턴의 이항법은 언제 개발되었습니까?
뉴턴의 이항 정리라고도 알려진 뉴턴의 이항 정리 는 1665년에 개발되었으며 1676년 왕립학회 임원이 보낸 두 통의 편지로 처음 전달되었습니다 .
이 편지는 무한 급수에 대한 수학적 조사를 더 잘 이해하려고 노력한 독일 수학자 고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠에 대한 응답이었습니다. 뉴턴은 자신의 정리 결과를 공유했고 라이프니츠는 그것이 구적법이나 급수에서 결과를 얻는 데 유용한 기술임을 인식했습니다.
이 관찰을 통해 뉴턴은 유한 다항식과 같은 방식으로 무한 급수에 대해 연산이 가능하다는 결론을 내릴 수 있었습니다. 뉴턴은 자신의 정리를 발표한 적이 없지만 영국의 수학자 존 월리스(John Wallis)는 1685년에 대수학(Algebra)에서 이 정리를 발표하고 그 정리를 뉴턴의 공로로 돌렸습니다.
왜 뉴턴의 이항식이라고 불리는가?
뉴턴의 이항식은 17세기에 이를 개발한 영국의 수학자이자 물리학자인 아이작 뉴턴의 이름을 따서 명명되었습니다. 뉴턴은 이 정리를 처음으로 발견한 사람은 아니지만 양의 정수 n에 대한 이 정리의 타당성을 최초로 증명한 사람이었습니다.
뉴턴의 이항식은 대수학과 미적분학에서 매우 유용한 수학적 도구이며 물리학, 통계, 공학, 컴퓨터 과학 등의 분야에서 널리 사용됩니다.
뉴턴의 이항 공식은 무엇입니까?
앞서 언급했듯이 뉴턴의 이항식은 이항식의 거듭제곱을 찾을 수 있는 공식입니다. 상기 이항 거듭제곱을 찾기 위해 “이항 계수”가 사용됩니다. 이전 용어는 일련의 조합을 나타냅니다.
이를 염두에 두고 뉴턴의 이항식을 다음과 같이 분해할 수 있습니다.
- (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
- (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3 ab 2 + b 3
(a+b) n 의 전개를 나타내는 수학적 표현은 주목할 만한 실체라고 불리며, 임의의 자연수 “n”에 대한 이 연산을 나타내는 일반 공식을 얻는 것을 가능하게 합니다.
각 결과 다항식의 계수를 조사하면 파스칼의 삼각형( Pascal’s Triangle) 이라고 알려진 수열을 확인할 수 있습니다.
파스칼의 삼각형 시퀀스는 숫자 1로 시작하고, 이후의 각 줄에서 마지막 숫자는 항상 1입니다. 중간 값은 계산할 값 바로 위에 있는 이전 줄의 두 숫자를 더하여 얻습니다.
뉴턴의 이항식에서 용어를 찾는 방법은 무엇입니까?
뉴턴의 이항식에서 특정 용어를 찾으려면 일반 공식이 사용됩니다.
금:
a와 b는 이항식의 계수입니다.
n은 이항식의 지수입니다.
k는 우리가 찾고자 하는 특정 용어입니다.
Σ는 k=0에서 n까지의 합을 나타냅니다.
[nk]는 다음 공식으로 계산된 이항 계수입니다.
따라서 완전히 확장된 공식은 다음과 같습니다.
뉴턴 이항식이 풀린 예
이러한 값이 발견되면 공식에 대체되고 표현식을 풀어 특정 용어를 얻습니다. 예를 들어, 이항식 (2x + 3) 6 의 다섯 번째 항을 찾으려면 다음을 수행합니다.
하나 = 2x
b = 3
n=6
k = 5
따라서 공식을 사용하면 다음과 같습니다.
다섯 번째 항은 k=5에 해당하므로 다음을 얻습니다.
따라서 이항식 (2x + 3) 6 의 다섯 번째 항은 2916x입니다.
뉴턴 5차 이항식은 무엇입니까?
5차 뉴턴 이항식은 (a + b) 5 형식의 대수적 표현입니다. 여기서 “a”와 “b”는 변수이고 지수 5는 이항식의 차수를 나타냅니다 . 이 표현식을 확장하면 6개의 항을 갖는 2차 다항식을 얻습니다.
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
이 다항식의 각 항은 이항식의 계수와 “a” 및 “b”의 거듭제곱을 결합하여 얻습니다. 예를 들어, 두 번째 항(5a 4 b)은 이항 계수(5 선택 1 = 5)에 4제곱한 “a”와 1제곱한 b를 곱하여 얻습니다.
뉴턴의 5차 이항식은 통계, 확률 이론, 양자역학과 같은 수학과 물리학의 다양한 분야에서 유용합니다.
뉴턴의 이항식의 응용은 무엇입니까?
뉴턴의 이항식은 다음을 포함하여 다양한 분야에서 다양하게 응용됩니다.
- 확률 계산 : 이항 정리는 동전 던지기, 일련의 테스트 성공 또는 실패와 같은 이항 사건의 확률을 계산하는 데 사용됩니다.
- 정수론 – 뉴턴의 이항식은 정수론에서 다항식을 확장하고 방정식을 단순화하는 데 사용됩니다.
- 통계 : 뉴턴의 이항식은 이항 분포를 계산하고 신뢰 구간을 구성하는 데 사용됩니다.
- 물리학 – 물리학에서 이항 정리는 상대성 이론, 양자 역학 등의 분야에서 사용됩니다.
- 경제 및 금융 : 뉴턴의 이항식은 시간 경과에 따른 현금 흐름의 현재 및 미래 가치를 계산하고 금융 옵션을 평가하는 데 사용됩니다.
- 프로그래밍 및 컴퓨터 과학 : 뉴턴의 이항식은 알고리즘 개발 및 컴퓨터 프로그래밍에 사용됩니다.
뉴턴의 이항식이 중요한 이유는 무엇입니까?
뉴턴의 이항식은 대수학과 정수론의 발전을 위한 근본적인 수학적 도구이기 때문에 관련이 있습니다. 이를 통해 제곱 결과나 기타 이항식의 거듭제곱을 계산할 수 있으며, 이는 방정식을 풀고 대수식을 단순화하는 데 매우 유용합니다.
또한 통계, 확률, 물리학 등의 분야에도 적용됩니다. 요약하면, 뉴턴의 이항식은 수학에서 필수적인 개념이며 이를 이해하는 것은 많은 연구 분야에서 발전하는 데 중요합니다.
뉴턴의 이항식을 표현하는 다른 방법이 있습니까?
네, 뉴턴의 이항식을 표현하는 다른 방법이 있습니다. 예를 들어, 조합 표기법을 사용하여 이항 계수로 표현될 수 있습니다.
또한, 오일러의 공식을 이용하여 지수함수와 삼각함수로 표현할 수 있습니다. 마찬가지로 Legendre의 공식을 사용한 감마 함수의 관점에서도 마찬가지입니다. 이러한 대체 표현은 다양한 상황과 수학적 문제에서 유용할 수 있습니다.
뉴턴 이항식 예
그러면 뉴턴의 이항식을 적용한 몇 가지 간단한 예를 살펴보겠습니다.
예 1: (x + y) 5 전개에서 3차 항을 계산합니다.
풀이: (x + y) 5 의 전개에서 첫 번째 항의 계수는 1, 두 번째 항의 계수는 5, 세 번째 항의 계수는 10, 네 번째 항의 계수는 10, 다섯 번째 항의 계수는 5이고 여섯 번째 항의 계수는 1입니다.
따라서 차수 3의 항은 다음과 같습니다.
10x 2 및 3
예 2: (2x – 1) 4 의 전개에서 독립항을 찾습니다.
풀이: (2x – 1) 4 의 전개에서 독립항은 (2x) p (-1) (4-p) 조합에서 발견됩니다. 여기서 p는 (2x) p 의 지수를 만드는 값이고 (-1) (4-p) 4를 더합니다.
따라서 독립 용어는 다음과 같습니다.
(2x) 2 (-1) 2 = 4
예 3: (3x – 2y) 6 전개에서 최고 차수 항을 찾습니다.
해결 방법: (3x – 2y) 6 의 전개에서 가장 높은 차수 항은 (3x) p (-2y) (6-p) 조합에서 찾을 수 있습니다. 여기서 p는 (3x) p 의 지수를 만드는 값이고 (-2y) (6-p)는 이항의 차수인 6과 같습니다.
따라서 최고 차수 용어는 다음과 같습니다.
(3x) 3 (-2y) 3 = -216x 3 및 3