Tartaglia (또는 Pascal) 삼각형

이 페이지에서는 파스칼의 삼각형이라고도 불리는 타르탈리아 삼각형이 무엇인지 설명합니다. 우리는 Tartaglia (또는 Pascal) 삼각형을 수학적으로 구성하는 방법과 그것이 사용되는 용도 및 모든 속성이 무엇인지 배웁니다. 마지막으로, 우리는 이 매우 중요한 삼각형이 언제 어떻게 형성되었는지 보여줍니다.

타르탈리아(또는 파스칼) 삼각형은 무엇입니까?

파스칼의 삼각형 이라고도 불리는 타르탈리아 삼각형은 정렬된 정수를 삼각형 형태로 수학적으로 표현한 것입니다. Tartaglia(또는 Pascal) 삼각형은 수학적 계산을 수행하는 데 사용됩니다.

이것은 Tartaglia 또는 Pascal 삼각형의 정의이지만 삼각형 이미지를 통해 개념을 더 잘 이해할 수 있습니다.

타르탈리아의 삼각형은 1654년에 이 삼각형 표현을 도입한 프랑스의 철학자이자 수학자 블레즈 파스칼의 이름을 따서 파스칼의 삼각형이라고도 불리지만, 이 삼각형은 이미 고대부터 알려져 있었습니다. 아래에서는 이 특정 삼각형의 역사를 자세히 살펴보겠습니다.

Tartaglia 또는 Pascal의 삼각형은 어떻게 구성됩니까?

파스칼의 삼각형(또는 Tartaglia)에서 본 것처럼 숫자가 많지만 그렇다고 해서 숫자를 외워야 한다는 의미는 아닙니다(다행히도). Pascal 또는 Tartaglia 삼각형의 모든 숫자를 쉽게 찾을 수 있는 공식이 있습니다. 간단한 합만 풀면 됩니다.

Tartaglia 또는 Pascal 삼각형을 구성 하려면 항상 1인 삼각형의 상단에서 시작한 다음 아래 선이 계산됩니다. 다음 줄의 각 숫자는 항상 1인 줄의 끝 부분을 제외하고 바로 위에 있는 두 숫자의 합입니다.

따라서 숫자를 더해 연속적으로 선을 추가할 수 있기 때문에 타르탈리아 삼각형의 선을 원하는 만큼 계산할 수 있습니다.

Tartaglia 삼각형이나 Pascal 삼각형은 어디에 사용됩니까?

Tartaglia 삼각형을 구성하는 방법을 아는 것은 매우 좋지만… 이 산술 삼각형은 무엇에 사용됩니까? 음, Tartaglia(또는 Pascal)의 삼각형은 수학, 특히 대수학 분야에서 많은 응용이 가능합니다.

조합 숫자

우선, Tartaglia 삼각형은 이항 계수라고도 불리는 조합수를 직접 계산하는 데 사용됩니다. 이러한 유형의 작업이 무엇인지 모르는 경우 당사 웹 사이트(오른쪽 상단에 검색 엔진이 있음)에서 해당 작업을 검색할 수 있습니다. 해당 작업이 어떻게 해결되는지 설명하는 자세한 기사를 작성했기 때문입니다. 또한 단계별로 해결되는 예제와 연습 문제도 찾아볼 수 있습니다. 그러나 요약하면 조합수에 대한 대수적 표현은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$

음, 모든 조합수는 Tartaglia 삼각형을 사용하여 쉽게 결정할 수 있습니다. 왜냐하면 각 이항 계수의 해는 다음 그림에 표시된 것처럼 이 삼각형 표현의 수와 동일하기 때문입니다.

예를 들어, 조합 번호

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Tartaglia 삼각형에는 대신 6이 있으므로 6을 반환합니다.

따라서 Tartaglia 또는 Pascal의 삼각형을 구성하는 방법을 알고 있다면 공식을 사용하지 않고도 모든 조합수를 빠르게 계산할 수 있습니다.

뉴턴의 이항식

Tartaglia(또는 Pascal) 삼각형의 또 다른 용도는 이항식 의 거듭제곱을 계산할 수 있다는 것입니다(이항식이 무엇인지 알아 보려면 이 링크를 클릭하십시오).

이항식의 강화의 예는 다음과 같은 주목할만한 정체성입니다.

$(a+b)^2$

놀라운 항등식은 수학에서 매우 중요합니다. 이를 통해 많은 계산을 절약하고 복잡한 연산을 직접적이고 빠르게 해결할 수 있기 때문입니다. 그렇기 때문에 주목할만한 신원이 무엇인지 아직 모르는 경우 다음 링크를 확인하는 것이 좋습니다.

이전 링크에서 보셨듯이 주목할만한 제품들은 공식으로 바로 해결이 가능합니다. 하지만… 쌍이 큐브나 더 높은 수준으로 올라가면 어떻게 될까요?

$\begin{array}{c} (a+b)^3 = \ ? \\[3ex] (a+b)^4 = \ ? \\[3ex] (a+b)^5 = \ ? \\[3ex] \bm{\vdots} \end{array}$

음, 이러한 이항식은 이항 정리 (또는 뉴턴의 이항식) 덕분에 Tartaglia 삼각형을 사용하여 매우 간단한 방법으로 계산할 수 있습니다. 일단 방법을 익히면 적용이 빠르지만, 잘 설명하려면 전체 페이지가 필요합니다. 따라서 이러한 유형의 이항식을 해결하는 방법에 더 관심이 있는 경우 링크된 페이지를 클릭하면 해결 방법을 확인할 수 있습니다.

조합론

Tartaglia의 삼각형 또는 Pascal의 삼각형은 조합과 확률을 결정하는 데에도 사용할 수 있습니다.

순서에 상관없이 한 그룹에서 몇 개의 서로 다른 그룹을 만들 수 있는지 결정해야 하는 문제가 발생하면 Tartaglia 삼각형을 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 5개의 카드가 있는 경우 3개를 선택할 수 있는 방법의 수를 알려면 Tartaglia 삼각형의 5번째 행(첫 번째 행도 0행)의 세 번째 열(첫 번째 열은 0)로 이동하세요. 이 위치의 숫자(10)는 3장의 카드를 선택할 수 있는 가능성의 수에 해당합니다.

$1 \quad 5 \quad 10 \quad \color{blue}\boxed{ \color{black}10} \color{black} \quad 5 \quad 1$

따라서 5장의 카드에서 3장의 카드로 구성된 10개의 서로 다른 그룹을 구성할 수 있습니다.

Tartaglia 또는 Pascal 삼각형의 속성

파스칼의 삼각형이라고도 불리는 타르탈리아 삼각형은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

Tartaglia (또는 Pascal) 삼각형은 대칭입니다. 즉, 전체 삼각형을 두 개의 동일한 정삼각형으로 나누는 수직선이 대칭축입니다.

파스칼의 삼각형의 한 줄에 있는 모든 숫자의 수평 합은 2의 거듭제곱과 같습니다.

Tartaglia 삼각형의 대각선도 중요합니다. 첫 번째 대각선(외부 대각선)의 숫자는 1이고, 두 번째 대각선은 모든 자연수 시퀀스로 구성되며, 세 번째 대각선은 삼각형 숫자에 해당하고, 네 번째 대각선은 구성됩니다. 정방형(또는 사면체) 수.

삼각형수는 삼각형의 형태로 표현될 수 있는 수이다. 그리고 정사각형 숫자는 삼각형 피라미드를 형성하는 숫자입니다.

삼각수가 뭔지, 사각수가 뭔지 모르면 아무 일도 일어나지 않고 그냥 타르탈리아 삼각형에 대한 호기심일 뿐입니다. 하지만 자연수(원소의 개수를 세는 데 사용되는 숫자)의 의미를 알아야 합니다.

숫자 1을 제외하고 줄의 첫 번째 숫자가 소수인 경우 같은 줄의 모든 숫자는 해당 숫자로 나누어집니다. 예를 들어 여덟 번째 행(1-7-21-35-35-21-7-1)에서 숫자 7, 21, 35는 7로 나눌 수 있습니다(7은 소수).

타르탈리아 삼각형의 또 다른 특징은 피보나치 수열이 특정 방식으로 대각선을 추가하여 찾을 수 있다는 것입니다.

피보나치 수열의 각 항은 이전 두 항의 합과 동일하며 처음 두 항은 1과 1이라는 것을 기억하십시오. 따라서 피보나치 수열에 속하는 숫자는 1, 1, 2, 3, 5, 8입니다. , 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…

파스칼 삼각형의 세 번째 대각선(1-3-6-10-15-…)에서 두 개의 연속 숫자를 더하면 완전제곱수(1, 4, 9, 16, 25,…)를 얻습니다.

파스칼의 삼각형의 짝수를 한 색으로 칠하고 홀수를 다른 색으로 칠하면 유명한 기하학적 집합인 시에르핀스키 삼각형의 도형을 얻을 수 있습니다. 아래에서는 검은색 홀수와 흰색 짝수로 표현된 높이 512의 파스칼의 삼각형을 볼 수 있습니다.

Singmaster의 추측에 따르면 1보다 큰 숫자가 나타나는 횟수는 유한합니다. 즉, Tartaglia 삼각형의 행 수는 무한하지만 1을 제외한 모든 숫자가 나타나는 횟수는 유한합니다. 흥미롭게도 숫자 3003은 현재까지 삼각형에 최대 8번 나타나는 것으로 알려진 유일한 숫자입니다.

Tartaglia 또는 Pascal 삼각형의 역사

이제 우리는 Tartaglia 삼각형이 어떻게 생겼는지 알았으니 이 매우 특별한 수학적 삼각형이 언제 발명되었는지 살펴보겠습니다.

산술삼각형의 이름은 주로 유명한 과학자 Tartaglia와 Pascal의 이름으로 지어졌지만 이 대수삼각형은 이전에도 이미 사용되었습니다.

이항 계수로 형성된 삼각형에 대한 최초의 기록은 인도에서 10세기로 거슬러 올라갑니다. 그러나 페르시아인, 특히 수학자 Al-Karaji(953-1029)와 Omar Khayyam(1048-1131)이 그 특성을 연구하기 시작했습니다. 이것이 이란에서 Khayyam-Pascal 삼각형 또는 간단히 Khayyam 삼각형 으로 대중화된 이유입니다.

이 삼각형은 11세기 수학자 Jia Xian에 의해 중국에 소개되기 시작했지만, 양회가 이를 산술삼각형 으로 소개한 것은 13세기 후반이었습니다. 이러한 이유로 아시아 국가에서는 이를 양회삼각형 이라고 부릅니다.

수학적 삼각형은 나중에 독일의 Petrus Apianus를 통해 유럽 대륙에 도달했으며, 특히 1527년에 그의 저서 Rechnung 에 출판되었습니다. 그곳에서 이탈리아의 유명한 대수학자 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia)는 16세기 전반에 삼각형을 깊이 연구했으며, 그를 기리기 위해 이탈리아와 같은 나라에서는 타르탈리아 삼각형(Tartaglia Triangle)으로 알려져 있습니다.

마지막으로, 프랑스인 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)은 1654년에 출판한 산술삼각형 에 관한 논문 에서 연구된 삼각형의 많은 특성을 입증했으며, 따라서 파스칼의 삼각형이라는 이름이 붙었습니다. 이러한 속성 중 일부는 이미 알려져 있지만 수학적 귀납법을 통해 이를 입증한 사람은 파스칼이었습니다.