조합수(또는 이항계수)

이 페이지에서는 조합수가 무엇인지, 어떻게 계산되는지(공식)에 대해 설명합니다. 또한, 조합수를 계산하는 방법에 대한 예를 볼 수 있으며 단계별로 해결되는 연습문제를 통해 연습할 수 있습니다. 우리는 또한 조합수의 모든 속성과 응용을 보여줍니다. 그리고 마지막으로 계산기를 사용하여 직접 조합수의 결과를 찾는 방법을 배웁니다.

조합수란 무엇입니까?

수학에서 이항 계수라고도 불리는 조합수는 n개 요소 집합(n>k)으로 구성될 수 있는 k개 요소 그룹의 일반적인 조합(반복 없는 조합)의 수입니다.

조합수는 다음과 같이 괄호 안에 표시됩니다.

\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}

반면에, 조합수는 n / k 로 읽혀집니다. 마찬가지로 n 을 분자라고 하고 k 를 차수라고 합니다.

조합수의 정의만으로는 그 의미를 이해하기 어렵습니다. 그러나 이제 우리는 조합수가 어떻게 수학적으로 결정되는지 살펴보고, 그런 다음 이 조합론의 개념에 대해 더 깊이 탐구할 것입니다. 이렇게 하면 더 잘 이해할 수 있다는 것을 알게 될 것입니다.

조합수 공식

조합수(또는 이항 계수)의 값을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

조합 수 공식

대수학에서 느낌표는 숫자의 계승에 해당한다는 것을 기억하세요. 그리고 숫자의 계승값을 찾으려면 1의 모든 양의 정수에 해당 숫자를 곱해야 합니다. 예를 들어, 숫자 4의 계승을 계산하려면 1, 2, 3, 4를 곱해야 합니다.

4! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24

0의 계승은 1과 같다는 것을 아는 것도 중요합니다.

0! = 1

조합 수 계산의 예

다음으로, 예를 들어 조합 숫자의 값을 단계별로 결정하므로 이것이 어떻게 수행되는지 확인할 수 있습니다.

  • 3에 대한 조합수 5의 값을 계산합니다.

3/5의 이항 계수는 다음 표현식에 해당합니다.

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix}

따라서 조합 수에 대한 공식을 적용하는 경우 해당 값을 결정하려면 다음 작업을 수행해야 합니다.

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{5!}{3!(5-3)!}

또는 이에 상응하는 것:

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{5!}{3!\cdot 2!}

따라서 우리는 계승을 찾습니다:

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3) \cdot (1\cdot 2)}

분자와 분모에 1·2·3의 곱셈이 반복되므로 이 인수를 제거하면 분수를 단순화할 수 있습니다.

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{\cancel{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 4 \cdot 5}{(\cancel{1\cdot 2 \cdot 3)} \cdot (1\cdot 2)}

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{ 4 \cdot 5}{1\cdot 2}

이제 우리는 제품을 계산합니다.

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \cfrac{20}{2}

그리고 마지막으로 나누기를 합니다.

\begin{pmatrix}5 \\ 3 \end{pmatrix} = \bm{10}

조합수의 속성

조합수 또는 이항 계수는 다음 속성에 따라 결합될 수 있습니다.

  • 두 개의 상보 조합수는 동일한 분자 n 을 갖고 그 차수의 합이 해당 분자와 같습니다. 따라서 두 개의 보수 조합수의 결과는 동일합니다.

\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n \\ n-k \end{pmatrix}

조합수의 이러한 특성을 대칭 동일성이라고도 합니다.

예를 들어, 6/4는 6-4=2이기 때문에 6/2와 동일한 결과를 제공합니다.

\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end{pmatrix} =\cfrac{6!}{4!(6-4)!} = \cfrac{\cancel{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4}\cdot 5 \cdot 6}{(\cancel{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4})\cdot (1\cdot 2)}= \cfrac{30}{2} = \bm{15}

\begin{pmatrix}6 \\ 2 \end{pmatrix} =\cfrac{6!}{2!(6-2)!} = \cfrac{\cancel{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4}\cdot 5 \cdot 6}{(1\cdot 2)\cdot (\cancel{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4})}= \cfrac{30}{2} = \bm{15}

  • 동일한 분자와 연속적인 차수를 갖는 두 조합수의 합은 분자가 덧셈의 분자에 1을 더한 것과 같고 그 차수가 덧셈의 차수 중 가장 큰 값에 해당하는 또 다른 조합수와 같습니다. 즉, 다음 조건이 항상 충족됩니다.

\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n\\ k+1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}n+1\\ k+1 \end{pmatrix}

예를 들어:

\begin{pmatrix}9\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}9\\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10\\ 3 \end{pmatrix}

이 속성은 파스칼의 법칙이라고도 알려져 있습니다.

한편, 이 공식은 조합 수를 두 개의 더 간단한 조합 수로 분해하기 위해 역으로 적용할 수도 있습니다.

\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-1\\ k-1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}n-1\\ k \end{pmatrix}

예를 들어, 4분의 8이라는 조합수는 3분의 7과 4분의 7을 더한 것과 같습니다:

\begin{pmatrix}8\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\ 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}7\\ 4 \end{pmatrix}

  • 1보다 큰 양수는 숫자 자체와 같습니다.

\begin{pmatrix}n\\ 1 \end{pmatrix} =n

이 속성이 있는 이유는 숫자의 계승이 이전 숫자의 계승에 숫자 자체를 곱한 것과 동일하기 때문입니다.

\begin{pmatrix}n \\ 1 \end{pmatrix} =\cfrac{n!}{1!(n-1)!} = \cfrac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots 1}{(n-1) \cdot (n-2)\cdots 1}= n

이러한 유형의 조합 숫자의 예:

\begin{pmatrix}12\\ 1 \end{pmatrix} =12 \qquad \begin{pmatrix}5\\ 1 \end{pmatrix} =5 \qquad \begin{pmatrix}9\\ 1 \end{pmatrix} =9

  • 0보다 큰 양수는 1과 같습니다.

\begin{pmatrix}n\\ 0 \end{pmatrix} =1

실제로, 이러한 조합수의 분수의 분모는 항상 분수의 분자와 같습니다.

\begin{pmatrix}n\\ 0 \end{pmatrix} =\cfrac{n!}{0!(n-0)!} =\cfrac{n!}{n!} = 1

다음과 같은 조합 숫자의 예:

\begin{pmatrix}6\\ 0 \end{pmatrix} =1 \qquad \begin{pmatrix}2\\ 0 \end{pmatrix} =1 \qquad \begin{pmatrix}23\\ 0 \end{pmatrix} =1

  • 각 숫자 자체는 1과 같습니다.

\begin{pmatrix}n\\ n \end{pmatrix} =1

데모는 다음과 같습니다.

\begin{pmatrix}n\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{n!}{n!(n-n)!} =\cfrac{n!}{n!\cdot 0!}= \cfrac{n!}{n!} = 1

다음과 같은 조합 숫자의 예:

\begin{pmatrix}5\\ 5 \end{pmatrix} =1 \qquad \begin{pmatrix}37\\ 37 \end{pmatrix} =1 \qquad \begin{pmatrix}14\\ 14 \end{pmatrix} =1

계산기로 조합수를 계산하는 방법

지금까지 우리는 다소 간단한 숫자의 조합수를 찾는 방법을 살펴보았습니다. 그러나 매우 많은 양을 연산해야 할 경우 계산기를 사용하여 조합수를 결정하는 것이 좋습니다. 이제 계산기에 조합수를 입력하는 방법을 살펴보겠습니다.

따라서 계산기로 조합수를 계산할 때 사용하는 키는 nCr 키 이다. 그리고 조합수의 값을 결정하려면 먼저 조합수의 분자를 입력하고 두 번째로 nCr 키를 누른 다음 조합수의 순서를 입력하고 마지막으로 등호 키를 눌러야 합니다.

\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}\quad \color{red}\bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n \rightarrow \boxed{nCr} \rightarrow k \rightarrow \boxed{=}

CASIO 공학용 계산기에서 nCr 키는 일반적으로 모델에 따라 자체 버튼이 있거나 나누기 버튼 위에 있습니다.

예를 들어, 6분의 10의 조합수가 무엇인지 알고 싶다면 다음 순서를 따라야 합니다.

\begin{pmatrix}10\\ 6 \end{pmatrix}\quad \color{red}\bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 10 \rightarrow \boxed{nCr} \rightarrow 6 \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 210

조합수의 응용

여기까지 해냈다면 아마도 조합수를 완벽하게 푸는 방법을 이미 알고 있을 것입니다. 그런데… 조합수는 무엇에 사용되나요? 그러면 우리는 이러한 유형의 매우 특별한 작업이 제공하는 모든 이점을 살펴보겠습니다.

조합론

페이지 상단에서 보았듯이 조합수 결과는

\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}

가능한 그룹의 수를 나타냅니다.

k

총 집합으로 구성할 수 있는 요소

n

항목.

따라서 일부 조합 문제는 조합 수(또는 이항 계수)를 사용하여 풀 수 있습니다. 예제를 사용하여 이를 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.

  • 30명의 학생으로 구성된 학급에서 특정 작업을 수행하기 위해 4명의 학생으로 구성된 그룹을 선택하려고 합니다. 형성할 수 있는 서로 다른 그룹의 총 수는 몇 개입니까?

이 경우, 학생들의 순서는 중요하지 않으며, 같은 학생이 그룹 내에서 두 번 반복되지 않으며, 모든 학생이 그룹에 입장하는 것은 아닙니다. 따라서 조합 수 공식을 사용하여 그룹을 형성할 수 있는 방법의 수를 결정할 수 있습니다.

이렇게 하려면 총 학생 수를 분자로 하고 그룹을 구성할 학생 수를 순서대로 사용하여 조합 수를 계산해야 합니다.

\begin{pmatrix}30 \\ 4 \end{pmatrix} =\cfrac{30!}{4!(30-4)!} =\cfrac{30\cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot \cancel{26!}}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cancel{26!}} = \cfrac{657720}{24}=\bm{27405}

따라서 가능한 조합의 총 수는 27,405개 그룹입니다.

뉴턴의 이항식

조합수의 또 다른 적용은 뉴턴의 이항식입니다. 뉴턴의 이항식은 정수로 거듭제곱된 두 항으로 구성된 다항식입니다. 즉, 뉴턴의 이항식은 다음 대수식에 응답하는 다항식입니다.

(a+b)^n

분명히, 이항식을 제곱하면 이는 주목할만한 항등식 임을 의미하므로 해당 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 반면에 이항식을 큰 수로 늘리면 계산이 상당히 어려워집니다. 음, 뉴턴의 이항 정리에 따르면 이러한 유형의 다항식은 조합수로부터 매우 쉽게 계산될 수 있습니다.

다음 링크를 클릭하시면 뉴턴의 이항식이 무엇인지, 어떻게 계산되는지 알아보세요. 또한 단계별로 예제를 보고 연습문제를 풀어볼 수 있습니다. 그리고 마지막으로, 당신은 이 정리의 흥미로운 역사를 발견하게 될 것입니다.

타르탈리아(또는 파스칼) 삼각형

이 기사 전체에서 살펴본 것처럼 큰 수의 이항 계수를 수동으로 계산하는 것은 힘들고 복잡할 수 있습니다.

반면, 파스칼의 삼각형이라고도 불리는 타르탈리아 삼각형의 경우, 니모닉 규칙을 사용하여 모든 조합수를 쉽게 결정할 수 있습니다. 이는 계산 중에 많은 시간을 절약해 주기 때문에 논리적으로 매우 유용합니다.

이를 수행하는 정확한 방법을 알아 보려면 Tartaglia의 삼각형 설명을 참조하십시오. 이 링크된 페이지에서 이 신비한 삼각형이 무엇인지, 그것이 무엇을 위해 사용되는지(놀라운 용도가 있음) 😮 그리고 그 기원이 무엇인지(이미 1000년 이상 전에 사용되었습니다)를 알아볼 수 있습니다.

해결된 조합 숫자 연습

설명된 개념을 연습하고 완전히 이해할 수 있도록 조합수에 대한 단계별로 해결되는 몇 가지 연습 문제를 남겨드립니다.

연습 1

(계산기를 사용하지 않고) 9×5의 조합수를 구하세요.

5개 중 9개의 조합수 값을 찾으려면 간단히 계승 공식을 적용하면 됩니다.

\begin{pmatrix}9 \\ 5 \end{pmatrix} =\cfrac{9!}{5!(9-5)!} = \cfrac{9\cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}= \cfrac{3024}{24} = \bm{126}

연습 2

다음 두 조합수의 합의 결과는 무엇입니까? (계산기 없음)

\begin{pmatrix}10\\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}10\\ 7 \end{pmatrix}

조합 수의 속성에서 문제의 합은 다음 조합 수와 같습니다.

\begin{pmatrix}10\\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}10\\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\ 7 \end{pmatrix}

따라서 조합 수 7개 중 11개를 계산하는 것으로 충분합니다.

\begin{pmatrix}11 \\ 7 \end{pmatrix} =\cfrac{11!}{7!(11-7)!} = \cfrac{11\cdot 10 \cdot 9\cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!} \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}= \cfrac{7920}{24} = \bm{330}

연습 3

다음 조합수가 같은지 확인합니다.

\begin{pmatrix}6\\ 0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}6\\ 1 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}6\\ 6 \end{pmatrix}

세 가지 조합수의 결과를 구하려면 계산기를 사용할 필요가 없지만 조합수의 특성 덕분에 쉽게 찾을 수 있습니다.

우선, 0보다 큰 숫자의 조합수는 1을 제공합니다. 따라서:

\begin{pmatrix}6\\ 0 \end{pmatrix} =1

반면에 1보다 큰 숫자는 숫자 자체와 같습니다. 아직:

\begin{pmatrix}6\\ 1 \end{pmatrix} =6

그리고 마지막으로, 동일한 숫자가 두 번 반복되어 형성된 조합 숫자는 1과 같습니다. 따라서:

\begin{pmatrix}6\\ 6 \end{pmatrix} =1

결론적으로 문제의 첫 번째와 세 번째 조합수는 동일하지만 중간 조합수와는 다르다.

\begin{pmatrix}6\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\\ 6 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}6\\ 1 \end{pmatrix}

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