다항식의 수치

이 페이지에서는 그것이 무엇인지, 그리고 다항식의 숫자 값을 계산하는 방법을 알아봅니다. 또한, 다항식의 수치를 단계별로 풀어보는 예시와 연습문제도 보실 수 있습니다.

다항식의 수치는 무엇입니까?

수학에서 x=a 값에 대한 다항식 P(x)의 수치, 즉 P(a)는 다항식의 변수 x를 숫자 a로 대체하고 표시된 계산을 수행하여 얻은 결과입니다. 다항식에서.

다항식의 수치 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 아래 예를 통해 다항식 계산 방법을 보여줍니다.

다항식의 수치를 계산하는 방법

이제 다항식의 수치 값에 대한 수학적 정의를 알았으므로 예제를 사용하여 다항식의 수치 값을 결정하는 방법을 살펴보겠습니다.

  • x=2에 대한 다음 다항식의 수치는 무엇입니까?

P(x)=x^3+5x^2-4x+1

다항식의 수치 값을 찾으려면 문제에서 주어진 값으로 해당 다항식을 평가해야 합니다. 즉, 변수를 대체해야 합니다.

x

명령문의 값으로 다항식을 구합니다. 따라서 이 경우 문자를 바꿔야 합니다.

x

2인용:

P(2)=2^3+5\cdot 2^2-4\cdot 2+1

그리고 값을 다항식의 대수적 표현으로 대체하면 연산을 수행합니다. 따라서 먼저 거듭제곱을 해결합니다.

P(2)=8+5\cdot 4-4\cdot 2+1

이제 곱셈을 계산합니다.

P(2)=8+20-8+1

마지막으로 다음 항을 더하고 뺍니다.

\bm{P(2)=21}

결론적으로, x=2에 대한 다항식의 수치는 21과 같습니다.

보시다시피 다항식의 숫자 값을 찾는 것은 그리 복잡하지 않지만 몇 가지 매우 유용한 응용 프로그램이 있습니다. 예를 들어, 다항식의 매우 중요한 정리인 나머지 정리를 사용하려면 다항식의 수치를 구하는 방법을 아는 것이 필수적입니다. 이 링크를 클릭하여 나머지 정리가 무엇인지 알아보세요. 설명, 사용 예 및 연습문제가 단계별로 해결됩니다.

다항식의 수치 예

다항식의 수치 값을 얻는 방법을 이해할 수 있도록 다른 해결 예제를 남겨드립니다.

실시예 1

  • 다항식의 수치를 계산합니다.

    P(x)=x^3-2x^2+3x+6

    을 위한

    x=-1.

\begin{aligned} P(-1) & =(-1)^3-2\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & = -1-2\cdot 1+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & =-1-2-3+6 \\[2ex]&= \bm{0} \end{aligned}

이 경우 다항식의 수치 값은 0입니다. 이는 다항식의 속성으로 인해 발생합니다. 인수 정리 덕분에 다항식 사이의 특정 나눗셈의 나머지가 무엇인지 알 수 있기 때문입니다. 더 자세히 알아보려면 이전 링크를 클릭하세요. 여기서 이 정리가 무엇인지, 무엇을 위한 것인지 설명합니다.

실시예 2

  • 다항식의 수치를 결정합니다

    P(x)=-2x^3+7x^2-8x-2

    을 위한

    x=3.

\begin{aligned} P(3) & =-2\cdot 3^3+7\cdot 3^2-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-2\cdot 27+7\cdot 9-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-54+63-24-2 \\[2ex]&= \bm{-17} \end{aligned}

지금까지 우리는 고전적인 방법으로 다항식의 수치를 결정하는 방법만을 살펴보았습니다. 하지만 다른 방법도 있다는 것을 알아야 합니다. 보다 구체적으로는 Ruffini 방법을 사용하여 다항식의 수치를 계산할 수도 있습니다. 이 절차의 사용법도 알아야 하므로 링크에서 자세한 설명을 확인하는 것이 좋습니다.

두 개 이상의 변수를 갖는 다항식의 수치

우리는 변수가 하나만 있는 다항식의 숫자 값을 찾는 방법을 방금 살펴보았습니다. 하지만… 둘 이상의 변수가 있는 다항식의 수치 값을 어떻게 얻습니까?

다항식에 문자가 2개 이상 있으면 숫자 값도 같은 방식으로 계산해야 합니다 . 즉, 먼저 다항식의 각 변수를 해당 값으로 바꾼 다음 다항식 연산을 풀어야 합니다 .

예를 들어, 아래에서 해결된 이러한 유형의 문제가 있습니다.

  • 다변량 다항식의 수치를 구합니다

    P(x,y)=x^2y+4xy-2x^2+6y-5

    가치를 위해

    x=2, y=3.

먼저, 각 변수를 해당 값으로 바꿉니다. 즉, 문자를 바꿉니다.

x

2에 대해 문자를 변경합니다

y

3시까지:

P(2,3)=2^2\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2^2+6\cdot 3-5

우리는 힘을 해결합니다:

P(2,3)=4\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 4+6\cdot 3-5

이제 우리는 제품을 계산합니다.

P(2,3)=12+24-8+18-5

마지막으로 덧셈과 뺄셈을 수행합니다.

\bm{P(2,3)=41}

따라서 명령 데이터에 대한 다항식의 수치는 41과 같습니다.

다항식의 수치에 대한 연습문제 해결

연습 1

x=-2에 대한 다항식 P(x)의 수치 값은 무엇입니까?

P(x)=-2x^3-4x^2+3x+8

다항식의 수치 값을 찾으려면 명령문에 제공된 값을 다항식 표현식에 대입하고 결과 연산을 풀기만 하면 됩니다.

\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-4\cdot (-2)^2+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-4\cdot 4+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =+16-16-6+8 \\[2ex]&= \bm{2} \end{aligned}

연습 2

x=4에 대해 분수를 사용하여 다음 다항식의 수치 값을 계산합니다.

P(x)=\cfrac{1}{2} x^2-\cfrac{5}{4}x + 7

다항식에 분수가 있든 없든 다항식의 수치를 찾는 절차는 항상 동일합니다. 따라서 변수 x를 4로 대체하고 계산을 풀어야 합니다.

\begin{aligned} P(4) & =\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7 \\[2ex] & =\cfrac{1}{2} \cdot 16-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7\\[2ex] & =8-5+7 \\[2ex]&= \bm{10} \end{aligned}

연습 3

x=3, y=5 및 z=-2 값에 대한 다항식의 수치를 결정합니다.

P(x,y,z)=x^2yz+4y^2z^2-3x^2z+6xyz

다변량 다항식의 수치를 결정하려면 문제에 주어진 값을 대수식으로 대체하고 결과 연산을 푸는 것으로 충분합니다.

\begin{aligned} P(3,5,-2) & =3^2\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 5^2\cdot (-2)^2-3\cdot 3^2\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =9\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 25\cdot 4-3\cdot 9\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =-90+400+54-180\\[2ex]&= \bm{184} \end{aligned}

연습 4

다항식이 주어지면

P(x)= -2x^3-3x^2+5x+k

매개변수 값 계산

k

~하도록 하다

P(-2)=5.

이 문제에서 미지의 값을 구하려면

k

우리는 방정식을 풀어야 해

P(-2)=5.

P(-2)=5

따라서 먼저 P(-2) 값을 계산하려고 합니다.

\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-3\cdot (-2)^2+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-3\cdot 4+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =+16-12-10+k\\[2ex]&=-6+k \end{aligned}

이제 얻은 표현식을 5로 동일화합니다.

P(-2)=5

-6+k=5

마지막으로 결과 방정식을 풉니다.

k=5+6

\bm{k=11}

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