다항식의 근을 계산하는 방법은 무엇입니까? (해결된 연습)

이 페이지에서는 다항식의 근이 무엇인지, 그리고 어떻게 계산되는지 알아볼 것입니다. 또한 다항식의 근에 대해 단계별로 풀어보는 예제와 연습문제도 볼 수 있습니다.

다항식의 근은 무엇입니까?

수학에서 다항식의 근(또는 0)은 다항식을 취소하는 값입니다. 즉, 다항식의 근은 다항식에서 평가할 때 0과 같은 숫자 값을 갖는 모든 값입니다.

결국,

$x=a$

다항식의 근이다

$P(x)$

응

$P(a)=0.$

예를 들어, 다음과 같은 다항식이 있다고 가정해 보겠습니다.

$P(x)=x^2-3x+2$

x=1 에서 다항식의 수치가 0이기 때문에 다항식의 근 중 하나가 1이라는 것을 확인할 수 있습니다.

$P(1)=1^2-3\cdot 1+2 = 1-3+2 \color{blue} \bm{= 0}$

반면, 3은 다항식을 상쇄하는 값이 아니기 때문에 다항식의 근이 아닙니다. 즉, x=3 에서 다항식의 수치가 0과 다릅니다.

$P(3)=3^2-3\cdot 3+2 = 9-9+2=2 \color{blue} \bm{\neq 0}$

이제 다항식의 근이 무엇인지 더 잘 이해하게 되었을 것입니다. 하지만 다항식의 근이 몇 개인지 알고 싶지 않으십니까? 아니면 다항식의 모든 근을 찾는 방법은 무엇입니까? 음, 이것이 바로 우리가 다음 섹션에서 보게 될 내용입니다.

다항식의 모든 근을 계산하는 방법은 무엇입니까?

다항식의 모든 근을 찾으려면 다음 단계를 따라야 합니다.

먼저, 다항식의 독립항의 모든 약수가 계산됩니다.
둘째, 이전 단계에서 찾은 모든 값은 다항식에서 평가됩니다.
마지막으로, 다항식의 숫자를 평가할 때 숫자 값이 0과 같으면 해당 숫자는 다항식의 근입니다. 그렇지 않으면, 해당 숫자는 다항식의 근에 해당하지 않습니다.

이 절차는 나머지 정리 에서 추론됩니다. 이 특정 절차의 이유를 알아보려면 이 링크를 클릭하세요.

다항식의 근을 계산하는 예

아래에서는 다항식의 근을 구하는 방법을 더 잘 이해할 수 있도록 단계별로 예제를 풀어보겠습니다.

다음 다항식의 근은 모두 무엇입니까?

$P(x) = x^2-5x+6$

우선, 우리는 독립항의 약수를 찾아야 합니다. 왜냐하면 다항식의 모든 근은 또한 독립항의 약수이기도 하기 때문입니다. 따라서 6의 약수는 다음과 같습니다.

6의 약수: +1, -1, +2, -2, +3, -3

숫자가 제수이면 그 음수도 제수라는 점을 기억하세요. 숫자는 양수와 음수로 나누어지기 때문입니다.

따라서 다항식의 가능한 근 또는 영점은 ±1, ±2, ±3입니다. 그러므로 우리는 이 모든 값에 대한 다항식의 수치를 결정해야 합니다. 그리고 이를 위해 이 값을 x가 있는 다항식의 표현으로 대체합니다.

$P(1) = 1^2 -5\cdot 1 +6= 1 -5 +6 =2$

$P(-1) = (-1)^2 -5\cdot (-1) +6 =1+5+6 = 12$

$P(2) = 2^2 -5\cdot 2 +6 =4-10+6= \color{blue} \bm{0}$

$P(-2) = (-2)^2 -5\cdot (-2) +6 =4+10+6 =20$

$P(3) = 3^2 -5\cdot 3 +6 =9-15+6=\color{blue} \bm{0}$

$P(-3) = (-3)^2 -5\cdot (-3) +6 =9+15+6 =30$

따라서 다항식은 변수 x가 +2 또는 +3일 때만 사라지므로 다항식의 근은 다음과 같습니다.

다항식의 근 또는 영점 : +2 및 +3

반면에, 다항식은 차수만큼 많은 근을 가집니다. 즉, 다항식은 2차이므로 두 개의 근을 가집니다. 다항식 근의 속성(아래)에서 우리는 왜 이 특징이 모든 다항식에 대해 항상 유지되는지 볼 것입니다.

우리는 방금 다항식의 근을 찾는 방법을 보았습니다. 그러나 이를 달성하는 다른 방법도 있습니다. 예를 들어 루피니의 법칙을 사용하여 다항식의 근을 찾을 수도 있습니다. Ruffini 규칙의 예를 보려면 다음 링크를 클릭하십시오. 여기서는 이 잘 알려진 방법이 무엇으로 구성되어 있는지, 그리고 두 절차의 차이점을 확인할 수 있습니다.

다항식의 근 속성

다항식의 근 또는 영은 다음과 같은 특징을 갖습니다:

이전에 살펴본 것처럼 다항식의 정수근(또는 0)은 다항식의 독립항의 제수입니다.

다항식의 근을 모두 알면 해당 다항식을 다음 유형의 이항식의 곱 형태로 표현할 수 있습니다.
$(x-a).$

예를 들어, 다항식

$P(x) =x^3+3x^2-x-3$

뿌리가 3개 있는데,

$x=+1, x=-1$

그리고

$x=-3.$

따라서 우리는 각각 변수에 의해 형성된 3개의 요인 곱셈 형태로 다항식을 다시 작성할 수 있습니다.

$x$

루트의 기호가 변경되었습니다.

$\displaystyle\definecolor{vermell}{HTML}{F44336}\definecolor{blau}{HTML}{2196F3}\definecolor{verd}{HTML}{27AE60} P(x) =x^3+3x^2-x-3 \ \longrightarrow \ \text{ra\'ices} \begin{cases} x=\color{verd}\bm{+1} \\[2ex] x=\color{vermell}\bm{-1} \\[2ex] x=\color{blau}\bm{-3}\end{cases}$

$\definecolor{vermell}{HTML}{F44336}\definecolor{blau}{HTML}{2196F3}\definecolor{verd}{HTML}{27AE60}P(x) =x^3+3x^2-x-3 = (x\color{verd}\bm{-1}\color{black})\cdot (x\color{vermell}\bm{+1}\color{black}) \cdot (x\color{blau}\bm{+3}\color{black})$

이것을 다항식 인수분해라고 합니다. 실제로 다항식의 근을 결정하는 주요 용도 중 하나는 다항식을 인수분해하는 데 사용된다는 것입니다. 다음 링크에서 이 특별한 연산이 무엇으로 구성되어 있는지 확인할 수 있으며, 다항식 인수분해 연습을 통해 연습할 수도 있습니다.

다항식은 차수만큼 많은 근을 가집니다. 따라서 2차 다항식은 2개의 근을 갖고, 3차 다항식은 3개의 근을 가지며, 4차 다항식은 4개의 근을 갖는 식입니다.

다항식에 독립 항이 없으면 근 중 하나가 0이라는 의미입니다. 그러면 나머지 근은 가장 낮은 차수의 단항식 계수의 제수여야 합니다.

예를 들어, 다음 다항식에는 독립 항이 없습니다.

$P(x) =x^3+x^2-2x$

따라서 다항식의 한 근은 반드시 0이어야 합니다. 그리고 나머지 근은 가장 낮은 차수 항의 계수의 제수, 즉 -2입니다. 더 정확하게는 다른 뿌리는 다음과 같습니다.

$x=+1$

그리고

$x=-2,$

따라서 다항식의 모든 근은 다음과 같습니다.

다항식의 근 또는 영점: 0, +1 및 -2

다항식의 근을 결정할 수 없는 경우 이를 기약 다항식이라고 합니다.

예를 들어, 다음 다항식의 근을 계산해 보겠습니다.

$P(x) =x^2+3x-1$

다항식의 유일한 근은 -1의 약수, 즉 -1과 +1입니다. 따라서 우리는 다음 값에 대한 다항식을 평가합니다.

$P(1) = 1^2 +3\cdot 1 -1= 1 +3 -1 =3 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^2 +3\cdot (-1)-1 =1-3-1 =-3 \neq 0$

어떤 경우에도 다항식은 취소되지 않으므로 근이 없으므로 기약 다항식입니다.

다항식이 여러 다항식의 곱으로 구성되는 경우, 근을 계산하기 위해 이 곱을 할 필요는 없지만 다항식의 근은 각 인수의 근을 곱한 것입니다.

예를 들어, 다음과 같은 다항식이 있다고 가정해 보겠습니다.

$P(x) = (x-2) \cdot (x+1)$

다항식 근의 두 번째 속성으로부터 왼쪽 다항식의 근은 +2이고 오른쪽 다항식의 근은 -1임을 추론할 수 있습니다.

$\displaystyle (x-2) \ \longrightarrow \ \text{ra\'iz} \ x=+2$

$\displaystyle (x+1) \ \longrightarrow \ \text{ra\'iz} \ x=-1$

따라서 두 인수의 곱셈으로 인한 다항식의 근은 각각의 근, 즉 +2와 -1입니다.

$\displaystyle P(x) = (x-2) \cdot (x+1) \ \longrightarrow \ \text{ra\'ices} \ \begin{cases}x=+2 \\[2ex] x=-1 \end{cases}$

다항식의 근에 대한 해결 연습

연습 1

다음 사항을 결정합니다.

$x = -4$

는 다음 다항식의 근입니다:

$P(x)=x^3+2x^2-11x-12$

솔루션 보기

있는지 알아보려면

$x=-4$

는 다항식의 근이므로 해당 값으로 평가해야 합니다. 아직:

$\begin{aligned}P(-4)& =(-4)^3+2\cdot (-4)^2-11\cdot (-4) -12 \\[2ex] & = -64+2\cdot 16 +44 -12 \\[2ex] & = -64+32+44 -12 \\[2ex] & = 0 \end{aligned}$

다항식의 수치

$x=-4$

는 0이므로 사실상 다항식의 근이 됩니다.

연습 2

다음 다항식의 모든 근을 계산합니다.

$P(x)=x^2-3x+2$

솔루션 보기

먼저, 다항식의 가능한 근을 찾으려면 독립항의 약수를 찾아야 합니다. 따라서 2의 약수는 다음과 같습니다.

2의 약수: +1, -1, +2, -2

따라서 다항식의 가능한 근 또는 영점은 ±1과 ±2입니다. 따라서 우리는 이 모든 값에 다항식이 얼마나 들어 있는지 계산해야 합니다.

$P(1)=1^2-3\cdot 1+2 =1-3+2=0$

$P(-1)=(-1)^2-3\cdot (-1)+2 =1+3+2=6$

$P(2)=2^2-3\cdot 2+2 =4-6+2=0$

$P(-2)=(-2)^2-3\cdot (-2)+2 =4+6+2=12$

따라서 x가 +1 또는 +2일 때 다항식은 사라지므로 다항식의 근은 다음과 같습니다.

다항식의 근 또는 영점 : +1 및 +2

연습 3

다음 다항식의 근을 구합니다:

$P(x)=x^3-x^2-4x+4$

솔루션 보기

다항식의 근은 또한 독립항의 약수이기 때문에 먼저 독립항의 약수를 찾아야 합니다. 따라서 4의 약수는 다음과 같습니다.

4의 약수: +1, -1, +2, -2, +4, -4

따라서 다항식의 가능한 근 또는 영점은 ±1, ±2 및 ±4입니다. 따라서 우리는 이 모든 값에서 다항식의 수치 값을 찾아야 합니다.

$P(1)=1^3-1^2-4\cdot 1+4 =1-1-4+4=0$

$P(-1)=(-1)^3-(-1)^2-4\cdot (-1)+4 =-1-1+4+4=6$

$P(2)=2^3-2^2-4\cdot 2+4 =8-4-8+4=0$

$P(-2)=(-2)^3-(-2)^2-4\cdot (-2)+4 =-8-4+8+4=0$

$P(3)=3^3-3^2-4\cdot 3+4 =27-9-12+4=10$

$P(-3)=(-3)^3-(-3)^2-4\cdot (-3)+4 =-27-9+12+4=20$

따라서 다항식은 x 가 +1, +2 또는 -2일 때만 사라지므로 다항식의 근은 다음과 같습니다.

다항식의 근 또는 영점 : +1, +2 및 -2

연습 4

다음 다항식의 근을 구합니다:

$P(x)=x^3-6x^2+8x$

솔루션 보기

이 경우 다항식에는 독립항이 없습니다. 따라서 위에서 설명한 근의 네 번째 속성에 따르면 다항식의 근 중 하나는 0이어야 함을 알 수 있습니다.

다항식의 근:

$x=0$

또한 이 경우 가능한 근은 독립 항의 제수가 아니라 가장 낮은 차수 항의 계수의 근입니다. 즉, 8입니다.

8의 약수: +1, -1, +2, -2, +4, -4, +8, -8

따라서 다항식의 가능한 근 또는 영점은 ±1, ±2, ±4 및 ±8입니다. 따라서 우리는 다음 값 모두에서 다항식의 수치 값을 계산해야 합니다.

$P(1)=1^3-6\cdot 1^2+8\cdot 1 = 1-6+8=3$

$P(-1)=(-1)^3-6\cdot (-1)^2+8\cdot (-1) = -1-6-8=-15$

$P(2)=2^3-6\cdot 2^2+8\cdot 2 = 8-24+16=0$

$P(-2)=(-2)^3-6\cdot (-2)^2+8\cdot (-2) = -8-24-16=-48$

$P(4)=4^3-6\cdot 4^2+8\cdot 4 = 64-96+32=0$

$P(-4)=(-4)^3-6\cdot (-4)^2+8\cdot (-4) = -64-96-32=-192$

$P(8)=8^3-6\cdot 8^2+8\cdot 8 = 512-384+64=192$

$P(-8)=(-8)^3-6\cdot (-8)^2+8\cdot (-8) = -512-384-64=-960$

따라서 x 가 +2 또는 +4일 때 다항식은 사라지므로 이 값이 다항식의 근이 됩니다. 그러나 문제가 시작될 때 찾은 루트 0도 추가해야 합니다. 결론적으로 다항식의 모든 근은 다음과 같습니다.

다항식의 근 또는 영점 : 0, +2 및 +4

연습 5

다항식의 근 속성을 사용하여 다음 다항식의 근을 계산합니다.

$P(x)=(x-1)(x+3)(x^2-x-2)$

솔루션 보기

근의 여섯 번째 속성에서 보았듯이, 인수의 곱으로 다항식이 형성되면 전체 다항식의 근이 각 인수의 근이 되기 때문에 모든 근을 계산할 필요가 없습니다.

또한, 다항식 근의 두 번째 속성으로부터 첫 번째 요인의 근은 +1이고 두 번째 요인의 근은 -3임을 추론할 수 있습니다.

$\displaystyle (x-1) \ \longrightarrow \ \text{ra\'iz} \ x=+1$

$\displaystyle (x+3) \ \longrightarrow \ \text{ra\'iz} \ x=-3$

따라서 우리는 마지막 요소의 근을 찾으면 됩니다. 이를 위해 독립항(-2)의 제수를 찾습니다.

-2의 제수: +1, -1, +2, -2

따라서 마지막 다항식의 가능한 근 또는 영은 ±1과 ±2입니다. 이를 통해 우리는 다음 모든 값에서 해당 다항식의 수치 값을 계산해야 합니다.

$q(x)= x^2-x-2$

$q(1)=1^2-1-2=1-1-2=-2$

$q(-1)=(-1)^2-(-1)-2=1+1-2=0$

$q(2)=2^2-2-2=4-2-2=0$

$q(-2)=(-2)^2-(-2)-2=4+2-2=4$

따라서 오른쪽 다항식의 근은 -1과 2입니다.

따라서 전체 다항식의 근은 발견된 모든 근입니다:

다항식의 근 또는 영점 : +1, -1, +2, -3

다항식의 근은 무엇입니까?

다항식의 모든 근을 계산하는 방법은 무엇입니까?

다항식의 근을 계산하는 예

다항식의 근 속성

다항식의 근에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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