▷ 다항식의 나눗셈 방법 (풀이연습)

이 페이지에서는 다항식을 단항식으로 나누는 방법과 다항식을 다른 다항식으로 나누는 방법을 알아봅니다. 또한 다항식을 나누는 예를 볼 수 있고 단계별로 풀어보는 연습문제도 볼 수 있습니다. 또한 이 다항식 연산의 속성도 확인할 수 있습니다.

다항식(또는 다항식) 나눗셈

두 다항식의 나눗셈을 정확히 알아보기 전에 다항식 나눗셈의 개념을 간략하게 검토하여 앞으로 사용할 방법을 더 쉽게 이해할 수 있도록 하겠습니다.

다항식 나눗셈에는 4개의 다항식이 포함됩니다.

배당금(Dividend) : 분할된 다항식.
제수 : 피제수를 나누는 다항식입니다.
몫 : 피제수를 제수로 나눈 결과입니다.
나머지 (또는 잔여): 두 다항식을 나눌 때 남은 다항식입니다.

반면, 다항식에는 두 가지 유형의 나눗셈이 있다는 것도 알아야 합니다.

다항식의 정확한 나눗셈 : 다항식 사이의 나눗셈은 나머지가 0일 때 정확합니다. 이 경우 다항식 배당은 제수에 몫을 곱한 것과 같습니다.

$D(x)=d(x) \cdot c(x)$

또한, 이 경우 배당금은

$D(x)$

은 제수의 배수입니다

$d(x)$

그리고 몫

$c(x).$

마찬가지로, 다항식 제수와 다항식 몫은 모두 배당금의 제수입니다.

다항식의 정수 나눗셈 : 다항식의 정수(또는 부정확) 나눗셈에서 나머지는 0이 아닙니다. 그러면 다항식 나눗셈의 기본 속성이 충족됩니다.

$D(x)=d(x) \cdot c(x) + R(x)$

이제 다항식의 나눗셈이 무엇인지 살펴보았으니, 다항식을 서로 나누는 방법을 살펴보겠습니다. 보다 정확하게는 다항식과 단항식의 나눗셈을 먼저 설명한 다음 두 다항식의 나눗셈을 설명하겠습니다.

다항식을 단항식으로 나누기

다항식을 단항식으로 나누는 방법을 보기 전에 먼저 단항식을 어떻게 나누는지 기억해 봅시다. 왜냐하면 이러한 유형의 다항식 연산을 수행하려면 다항식을 알아야 하기 때문입니다.

두 단항식을 나누는 것은 계수를 서로 나누고 문자 부분을 서로 나누는 것을 포함합니다. 즉, 단항식의 계수를 나누고 밑이 같은 변수의 지수를 뺍니다. 다음 예를 살펴보십시오.

$12x^5: 3x^2 = \cfrac{12x^5}{3x^2}=(12:3) x^{5-2} = 4x^3$

이제 다항식을 단항식으로 나누는 것이 무엇인지 살펴보겠습니다.

수학에서는 다항식의 단항식 나눗셈을 풀기 위해 다항식의 각 항을 단항식으로 나눕니다.

이전 나눗셈 예에서 단항식이나 다항식을 나눌 때 부호 규칙도 고려해야 한다는 점에 유의하세요. 사실, 다항식과 단항식의 나눗셈에서 매우 흔한 실수는 용어의 부호를 잘못 얻는 것입니다.

다항식을 다른 다항식으로 나누기

두 개의 다항식을 나누려면 절차를 따라야 하므로, 예제를 단계별로 풀면서 다항식을 나누는 방법(다항식의 긴 나눗셈이라고도 함)이 어떤 모습인지 살펴보겠습니다.

다항식을 나눈 결과를 계산합니다.
$P(x)$

다항식 사이

$Q(x).$

두 개의 다항식인 경우:

$P(x) =x^3+4x^2+12 \qquad \qquad Q(x) =x-4$

$\cfrac{P(x)}{Q(x)} = \ ?$

가장 먼저 할 일은 다항식을 나눗셈 형태로 만드는 것입니다. 왼쪽에는 분수의 분자(나눗셈 다항식)를 쓰고 오른쪽에는 분수의 분모(제수 다항식)를 넣습니다.

경고: 다항식에 특정 차수의 단항식이 없으면 그 자리에 공백을 남겨야 합니다. 예를 들어, 다항식

$x^3+4x^2+12$

1학년 학기가 없으므로 대신 공백이 있습니다.

다항식이 준비되면 몫을 구하게 됩니다. 그리고 몫의 첫 번째 항을 찾으려면 배당금의 첫 번째 항을 제수의 첫 번째 항으로 나누어야 합니다.

그리고 몫 대신 나눗셈의 결과를 넣습니다.

이제 찾은 항에 제수의 각 요소를 곱하고 각 결과를 해당 열의 피제수 아래에 놓고 부호를 변경합니다 .

모든 다항식 연산에서와 마찬가지로, 동일한 차수의 모든 항이 동일한 열에 있도록 다항식을 가장 높은 차수에서 가장 낮은 차수로 정렬하는 것이 중요합니다.

곱셈 결과를 반대 부호로 배치한 후에는 수직으로 정렬된 항을 추가해야 합니다.

이 합계를 수행하면 가장 높은 차수의 계수가 상쇄되므로 피제수에서 항이 하나 줄어듭니다.

이제 다항식 제수가 다항식 제수보다 1도 작아질 때까지 동일한 절차를 반복해야 합니다.

따라서 우리는 배당금의 첫 번째 항을 제수의 첫 번째 항으로 나눕니다.

결과를 몫에 넣습니다.

이전과 마찬가지로 몫의 새 항에 제수의 각 요소를 곱하고 반대 부호의 결과를 피제수의 해당 열에 넣습니다.

그리고 수직으로 추가합니다.

배당 다항식은 여전히 제수 다항식보다 1도 낮지 않으므로 동일한 과정을 계속 수행해야 합니다.

따라서 먼저 피제수의 첫 번째 항을 제수의 첫 번째 항으로 나누고 그 결과에 제수의 각 항을 곱한 다음 수정된 결과를 피제수의 부호에 넣고 마지막으로 수직으로 더합니다.

따라서 우리는 이미 피제수 다항식이 제수 차수보다 작은 차수라는 것을 얻었습니다. 왜냐하면 피제수는 0차이고 제수는 1차이기 때문입니다. 따라서 나눗셈은 완료됩니다.

따라서 분할 결과는 다음과 같습니다.

반면, 다항식 나눗셈의 기본 조건을 기반으로 다항식 나눗셈을 올바르게 수행했음을 확인할 수 있습니다.

$D(x)=d(x) \cdot c(x) + R(x)$

$x^3+4x^2+12=(x-4) \cdot (x^2+8x+32) + 140$

$x^3+4x^2+12=x^3+8x^2+32x-4x^2-32x-128+ 140$

$x^3+4x^2+12=x^3+4x^2+12$

✅

방정식이 만족되었으므로 다항식 나눗셈이 올바르게 수행되었습니다.

다항식의 나눗셈을 마쳤으므로 이 설명이 도움이 되었기를 바랍니다. 다항식을 나누는 방법에 대해 어떻게 생각하시나요? 의심이 드시나요? 당신은 그것을 좋아합니까? 아니면 다항식 나눗셈이 존재하지 않았으면 좋겠나요? 😂 댓글에서 읽어봤습니다! 👇👇👇

다항식 나누기의 속성

다항식의 나눗셈은 다음 특성을 충족합니다.

✓ 다항식 제수 차수는 항상 다항식 제수 차수보다 커야 합니다.

$\text{grado } D(x) >\text{grado } d(x)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”193″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p> <strong><span style=$ ✓ 다항식 배당의 차수는 제수의 차수와 몫의 합과 같습니다.

$\text{grado } D(x) =\text{grado } d(x)+\text{grado } c(x)$

✓ 나머지 차수는 항상 제수 차수(따라서 피제수 차수)보다 작습니다.

$\text{grado } R(x) <\text{grado } d(x)$

✓ 배당금은 제수에 몫과 나머지를 곱한 값과 같습니다. 이 조건은 숫자의 나눗셈에도 적용됩니다.

$D(x)=d(x) \cdot c(x) + R(x)$

다항식의 나눗셈에 관한 해결된 연습

연습 1

다음과 같이 다항식을 단항식으로 나눈 결과를 결정합니다.

$\left(15x^5+9x^3 \right) : \left(3x^2\right)$

솔루션 보기

다항식을 단항식으로 나누려면 다항식의 각 항을 해당 단항식으로 나누는 문제를 풀어야 합니다.

$\begin{aligned} \left(15x^5+9x^3 \right) : \left(3x^2\right) & = \cfrac{15x^{5}}{3x^2}+ \cfrac{9x^3}{3x^2} \\[2ex] & = \bm{5x^3+3x} \end{aligned}$

단항식을 나눌 때 계수는 서로 나누어지고 밑이 동일한 거듭제곱의 지수는 뺍니다.

연습 2

다음과 같이 다항식을 단항식으로 나누는 것을 계산합니다.

$\left( 16x^5-4x^3-20x^2 \right) : \left(4x^2\right)$

솔루션 보기

다항식을 단항식으로 나누려면 다항식의 각 항을 해당 단항식으로 나누어야 합니다.

$\begin{aligned} \left( 16x^5-4x^3-20x^2 \right) : \left(4x^2\right) & = \cfrac{16x^5}{4x^2}+ \cfrac{-4x^3}{4x^2} + \cfrac{-20x^2}{4x^2} \\[2ex] & = \bm{4x^3-x-5} \end{aligned}$

단항 나눗셈에서는 계수가 서로 나누어지고 등가 밑을 가진 거듭제곱의 지수가 빼진다는 것을 기억하십시오.

연습 3

다항식의 다음 나눗셈을 단항식으로 푼다:

$\left(12x^{10}-30x^7-18x^6+54x^4 \right) : \left(-6x^3\right)$

솔루션 보기

다항식을 단항식으로 나누려면 다항식의 각 항을 해당 단항식으로 나누는 문제를 풀어야 합니다.

$\begin{aligned} \left(12x^{10}-30x^7-18x^6+54x^4 \right) : \left(-6x^3\right) & = \cfrac{12x^{10}}{-6x^3}+ \cfrac{-30x^{7}}{-6x^3} + \cfrac{-18x^6}{-6x^3} + \cfrac{54x^4}{-6x^3} \\[2ex] & = \bm{-2x^7+5x^4+3x^3-9x} \end{aligned}$

나눗셈 단항식은 음수이므로 모든 나눗셈의 부호가 변한다는 점을 명심하세요.

연습 4

다항식의 다음 나눗셈을 수행합니다.

$\cfrac{x^4+x^3-x^2+x+1}{x^3-5}$

솔루션 보기

다항식을 나누려면 위에서 설명한 방법을 적용해야 합니다.

따라서 두 다항식 사이의 나눗셈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$x+1$

나머지:

$-x^2+6x+6$

연습 5

다음과 같은 다항식 나눗셈을 계산합니다.

$\cfrac{2x^3-3x^2-5x-5}{x-2}$

솔루션 보기

다항식을 이항식으로 나누는 문제를 해결하려면 위에서 본 방법을 적용해야 합니다.

따라서 다항식 나눗셈의 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$2x^2+x-3$

나머지:

$-11$

연습 6

다음 다항식의 나눗셈을 푼다:

$\cfrac{x^4+x^2+3}{x^3+3x^2+2x}$

솔루션 보기

다항식의 나눗셈을 계산하려면 설명된 방법을 적용해야 합니다.

따라서 두 다항식 사이의 나눗셈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$x-3$

나머지:

$8x^2+6x+3$

연습 7

2개의 다항식을 나눈 다음 나눗셈의 결과를 구합니다.

$\cfrac{x^4-2x^3+x^2-x-3}{x^2+x+1}$

솔루션 보기

다항식의 나눗셈을 삼항식으로 계산하려면 설명된 방법을 적용해야 합니다.

따라서 두 다항식 사이의 나눗셈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$x^2-3x+3$

나머지:

$-x-6$

👉👉👉지금까지 해냈다면 다항식이 어떻게 나누어지는지 이미 알고 있다는 의미입니다. 밝은! 이제 다항식의 나눗셈을 마스터했으므로 다항식 사이의 특정 나눗셈을 훨씬 더 빠르게 풀 수 있는 방법이 있다는 것을 알아두십시오. 이것은 합성 나눗셈 또는 루피니 규칙 입니다. 링크를 클릭하면 이 트릭이 어떻게 적용되고 언제 사용할 수 있는지 확인할 수 있습니다.😉

다항식(또는 다항식) 나눗셈

다항식을 단항식으로 나누기

다항식을 다른 다항식으로 나누기

다항식 나누기의 속성

다항식의 나눗셈에 관한 해결된 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

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