▷ 다항식의 곱셈 방법(풀이연습)

이 페이지에서는 다항식의 곱셈을 배우게 됩니다. 또한 다항식의 곱셈 예와 더불어 단계별로 해결되는 연습 문제도 볼 수 있습니다. 마지막으로 다항식의 곱셈의 성질이 무엇인지 알게 될 것입니다.

그러나 다항식의 곱셈의 개념을 완전히 이해하기 위해 가장 기본적인 것부터 가장 복잡한 것, 즉 다항식에 숫자를 곱하는 방법부터 시작한 다음 다항식에 다음을 곱하는 방법을 살펴보겠습니다. 단항식, 그리고 마지막으로 두 개 이상의 다항식을 함께 곱하는 방법을 설명하겠습니다.

이 순서를 따르는 것이 좋습니다. 그러나 이전 다항식의 연산을 이미 마스터했다고 생각한다면 색인을 클릭하여 다항식 간의 곱셈으로 직접 이동할 수 있습니다.

다항식에 숫자 곱하기

스칼라(또는 숫자)와 다항식의 곱은 해결하기 매우 간단합니다. 숫자에 다항식의 각 항의 계수를 곱하면 됩니다 .

괄호 앞의 곱셈 기호는 생략 가능합니다.

$\begin{array}{l} 2\cdot (5x^4-6x^2) = \\[2ex] =2 (5x^4-6x^2)= \\[2ex] = 10x^4-12x^2 \end{array}$

다항식과 단항식의 곱하기

다항식에 단항식을 곱하는 방법을 보기 전에 먼저 단항식이 어떻게 서로 곱하는지 기억해 보겠습니다. 왜냐하면 이러한 유형의 다항식 연산을 수행하려면 이를 알아야 하기 때문입니다.

두 단항식의 곱은 계수를 서로 곱하고 문자 부분을 서로 곱하는 것으로 구성됩니다. 즉, 단항식의 계수를 곱하고 밑이 동일한 변수의 지수를 더하는 것입니다. 다음 예를 살펴보십시오.

$3x^2 \cdot 4x^5 = (3\cdot 4) x^{2+5} = 12x^7$

이제 단항식에 다항식을 곱하는 방법을 살펴보겠습니다.

수학에서는 단항식과 다항식의 곱셈을 풀기 위해 단항식에 다항식의 각 항을 곱합니다.

이전과 마찬가지로 곱셈 기호도 생략할 수 있습니다.

$\begin{array}{l} -4x \cdot (2x^3-5x^2)= \\[2ex] =-4x (2x^3-5x^2)=\\[2ex] = -4x\cdot 2x^3 -4x \cdot (-5x^2) = \\[2ex] =-8x^4 +20x^3 \end{array}$

이전 예에서 단항식이나 다항식을 곱할 때 부호의 규칙도 고려해야 한다는 점에 유의하세요. 실제로, 단항식과 다항식을 곱할 때 매우 흔한 실수는 용어의 부호를 잘못 얻는 것입니다.

분명히 어느 시점에서 당신은 수학에서 새로운 것을 보았을 때 스스로에게 질문했습니다. 그것은 무엇을 위한 것인가 ? 음, 이러한 유형의 곱셈은 다항식의 공통 인자를 구하는 데 사용됩니다. 이 연산은 다항식을 단순화할 수 있게 해주는 연산입니다(매우 유용합니다). 이 링크에서 이것이 무엇인지, 다항식의 공통 인수가 어떻게 계산되는지 확인할 수 있습니다.

두 다항식의 곱셈

다항식에 숫자와 단항식을 곱하는 방법을 알았으면 그것이 무엇인지, 다항식에 다항식을 곱하는 방법을 살펴보겠습니다.

다항식을 곱 하려면 다음 단계를 따르세요.

첫 번째 다항식의 각 항에 두 번째 다항식의 모든 항을 곱합니다.
같은 차수의 단항식(유사 단항식)을 더하거나 뺍니다.

이 방법이 무엇인지 정확히 알 수 있도록 다음과 같은 다항식의 곱셈을 단계별로 풀어 보겠습니다.

우선, 첫 번째 곱셈 다항식의 각 요소에 두 번째 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.

이제 우리는 단항식의 모든 곱셈을 수행합니다.

다항식을 곱한 후에는 유사한 결과 항, 즉 동일한 문자와 동일한 지수를 갖는 항을 그룹화하면 됩니다.

따라서 다항식 곱셈의 결과는 다음과 같습니다.

그리고 이런 식으로 우리는 이미 다항식의 곱셈을 계산했습니다. 어쩌면 지금은 매우 어려워 보일 수도 있지만 두세 가지 연습을 통해 연습하면 훨씬 쉬워질 것입니다.

이제 두 다항식 사이의 곱셈이 어떻게 해결되는지 살펴보았으므로 아마도 다항식을 나누는 방법을 알고 싶을 것입니다. 사실, 다항식을 나누는 것은 곱하는 것보다 훨씬 더 복잡합니다. 그래서 여러분이 완전히 이해할 수 있도록 절차(및 팁😉)를 단계별로 설명했습니다. 관심이 있으시면 이 링크를 클릭하여 다항식을 나누는 방법을 확인하세요.

수직 다항식 곱셈

우리는 다항식과 다른 다항식을 수평으로 곱하는 방법을 방금 살펴보았지만 이는 더 고전적인 방법으로 수행할 수도 있습니다. 다항식을 수직으로 곱하는 것입니다. 다항식 곱셈의 예를 풀어 이 방법이 어떻게 사용되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 다항식을 수직으로 곱하고 싶다면:

$(5x^2+3x-4) \cdot (2x^2-x)$

우리가 해야 할 첫 번째 일은 다항식의 대수적 곱셈으로서 하나의 다항식을 다른 다항식 아래에 배치하는 것입니다.

둘째, 아래 다항식의 각 항에 위 다항식의 각 항을 곱하고 결과를 가장 높은 차수에서 가장 낮은 차수까지 열별로 정렬합니다.

마지막으로 수직 정렬된 용어를 추가합니다.

이제 다항식의 곱셈을 풀기 위해 존재하는 2가지 방법을 살펴보았 으므로 분수에 다항식을 곱할 수도 있다는 것을 알고 계셨습니까 ? 그리고 이러한 유형의 분수를 사용하면 곱셈뿐만 아니라 모든 종류의 연산을 수행할 수 있습니다. 이 링크를 클릭하여 대수 분수가 무엇인지 알아보세요.

다항식 곱셈의 속성

다항식의 곱셈은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다:

교환 속성 : 곱셈 다항식의 순서는 곱셈 결과를 수정하지 않습니다.

$P(x)\cdot Q(x) = Q(x) \cdot P(x)$

결합 속성 : 3개 이상의 다항식을 곱하면 요소를 그룹화하는 방법에 관계없이 결과가 동일합니다.

$\bigl(P(x) \cdot Q(x)\bigr) \cdot R(x) =P(x) \cdot \bigl(Q(x) \cdot R(x)\bigr)$

분배 속성 : 두 다항식의 합에 세 번째 다항식을 곱한 것은 각 덧셈의 합에 세 번째 다항식을 곱한 것과 같습니다.

$P(x)\cdot \bigl(Q(x)+ R(x)\bigr) = P(x)\cdot Q(x) + P(x) \cdot R(x)$

두 다항식의 곱셈으로 인한 다항식의 차수 는 곱해진 두 다항식의 차수의 합과 같습니다.

다항식의 곱셈에 대한 해결 연습

여러분이 연습할 수 있도록 다항식의 곱셈에 관한 몇 가지 연습문제를 알려드리겠습니다. 직접 문제를 해결하고 제안된 솔루션으로 결과를 확인할 수 있습니다. 그런 다음 댓글로 모든 질문을 질문하시면 기꺼이 도와드리겠습니다.

연습 1

다항식과 스칼라 간의 다음 곱을 계산합니다.

$\text{A)} \ 4\cdot (2x^3-4x)$

$\text{B)} \ -3 \cdot (-5x^2+9x)$

$\text{C)} \ 5\cdot(3x^2+4x-7)$

$\text{D)} \ -6\cdot(4x^5-6x^3+8x^2-7)$

솔루션 보기

숫자와 다항식의 곱셈을 계산하려면 숫자에 다항식의 각 요소의 계수를 곱해야 합니다. 그래서:

$\text{A)} \ 4\cdot (2x^3-4x) =4 \cdot 2x^3 -4\cdot 4x = \bm{8x^3-16x}$

$\text{B)} \ -3 \cdot (-5x^2+9x) = -3 \cdot (-5x^2)-3\cdot 9x = \bm{15x^2-27x}$

$\text{C)} \ 5\cdot(3x^2+4x-7) = \bm{15x^2+20x-35}$

$\text{D)} \ -6\cdot(4x^5-6x^3+8x^2-7) = \bm{-24x^5+36x^3-48x^2+42}$

연습 2

다항식과 단항식 사이의 다음 곱셈을 풉니다.

$\text{A)} \ 2x \cdot (5x^2+3)$

$\text{B)} \ -4x^2 \cdot (6x^4-9x^2)$

$\text{C)} \ -5x^3\cdot (-2x^3+2x^2-5)$

$\text{D)} \ 3x^2\cdot(7x^6-4x^5-x^3-3x)$

솔루션 보기

다항식과 단항식의 곱셈을 풀려면 해당 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다. 그래서:

$\text{A)} \ 2x \cdot (5x^2+3) = 2x \cdot 5x^2+2x\cdot 3 = \bm{10x^3+6x}$

$\text{B)} \ -4x^2 \cdot (6x^4-9x^2)= -4x^2 \cdot 6x^4 - 4x^2 \cdot (-9x^2) = \bm{-24x^6+36x^4}$

$\text{C)} \ -5x^3\cdot (-2x^3+2x^2-5) = \bm{10x^6-10x^5+25x^3}$

$\text{D)} \ 3x^2\cdot(7x^6-4x^5-x^3-3x) = \bm{21x^8-12x^7-3x^5-9x^3}$

연습 3

다항식 간의 다음 곱셈 결과를 결정합니다.

$\text{A)} \ (4x^2 + 1) \cdot (3x^2-2)$

$\text{B)} \ (-3x^4+2x) \cdot (5x^4-x)$

$\text{C)} \ (2x^3-5x^2)\cdot (4x-7)$

솔루션 보기

두 다항식의 곱셈을 계산하려면 첫 번째 다항식의 각 요소에 두 번째 다항식의 각 요소를 곱한 다음 같은 항을 그룹화해야 합니다. 그래서:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (4x^2 + 1) \cdot (3x^2-2) = \\[2ex] =4x^2 \cdot 3x^2 +4x^2\cdot (-2) +1 \cdot 3x^2 +1 \cdot (-2) = \\[2ex] = 12x^4-8x^2+3x^2 -2 = \\[2ex] = \bm{12x^4-5x^2-2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (-3x^4+2x) \cdot (5x^4-x) = \\[2ex] =-3x^4\cdot 5x^4 -3x^4\cdot (-x) +2x \cdot 5x^4 +2x \cdot (-x) = \\[2ex] = -15x^8+3x^5+10x^5-2x^2 = \\[2ex] = \bm{-15x^8+13x^5-2x^2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (2x^3-5x^2)\cdot (4x-7) = \\[2ex] =2x^3\cdot 4x +2x^3\cdot (-7) -5x^2 \cdot 4x -5x^2\cdot (-7) = \\[2ex] = 8x^4-14x^3-20x^3+35x^2 = \\[2ex] = \bm{8x^4-34x^3+35x^2} \end{array}$

연습 4

다음 다항식 곱셈의 결과를 구합니다.

$\text{A)} \ (4x^2-6x+2) \cdot (5x^3-x^2)$

$\text{B)} \ (3x^3-2x+7) \cdot (-4x^3+5x)$

$\text{C)} \ (9x^4-4x^3+x^2)\cdot (2x^5-4x^4-5x^3)$

솔루션 보기

두 다항식의 곱셈을 계산하려면 첫 번째 다항식의 각 요소에 두 번째 다항식의 각 요소를 곱한 다음 같은 항을 더해야 합니다. 그래서:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (4x^2-6x+2) \cdot (5x^3-x^2) = \\[2ex] =4x^2 \cdot 5x^3 +4x^2\cdot (-x^2) -6x \cdot 5x^3 -6x \cdot (-x^2) + 2 \cdot 5x^3 +2 \cdot (-x^2) = \\[2ex] = 20x^5-4x^4-30x^4+6x^3+10x^3-2x^2 = \\[2ex] = \bm{20x^5-34x^4+16x^3-2x^2} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (3x^3-2x+7) \cdot (-4x^3+5x) = \\[2ex] =3x^3 \cdot (-4x^3) +3x^3\cdot 5x -2x \cdot (-4x^3) -2x \cdot 5x + 7 \cdot (-4x^3) +7 \cdot 5x = \\[2ex] =-12x^6+15x^4+8x^4-10x^2-28x^3+35x = \\[2ex] = \bm{-12x^6+23x^4-28x^3-10x^2+35x} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (9x^4-4x^3+x^2)\cdot (2x^5-4x^4-5x^3) = \\[2ex] = 18x^9-36x^8-45x^7-8x^8+16x^7+20x^6+2x^7-4x^6-5x^5 = \\[2ex] = \bm{18x^9-44x^8-27x^7+16x^6-5x^5} \end{array}$

연습 5

다음과 같은 다항식의 곱셈을 계산합니다.

$\text{A)} \ (2x^4+3x^3-6x^2+5x-1) \cdot (4x^2-6x)$

$\text{B)} \ (x^2-4x+7) \cdot (-x^3-5x^2+2x+9)$

$\text{C)} \ (2x^7+6x^5+3x^4-5x^2)\cdot (4x^6-8x^3-x^2+8)$

솔루션 보기

2개의 다항식의 곱을 만들려면 첫 번째 다항식의 각 항에 두 번째 다항식의 각 항을 곱한 다음 얻은 유사한 단항식을 그룹화해야 합니다. 아직:

$\color{blue} \mathbf{A}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l}(2x^4+3x^3-6x^2+5x-1) \cdot (4x^2-6x)= \\[2ex] = 8x^6-12x^5+12x^5-18x^4-24x^4+36x^3+20x^3-30x^2-4x^2+6x = \\[2ex] = \bm{8x^6-42x^4+56x^3-34x^2+6x} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{B}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (x^2-4x+7) \cdot (-x^3-5x^2+2x+9)= \\[2ex] =-x^5-5x^4+2x^3+9x^2+4x^4+20x^3-8x^2-36x-7x^3-35x^2+14x+63 = \\[2ex] = \bm{-x^5-x^4+15x^3-34x^2-22x+63} \end{array}$

$\color{blue} \mathbf{C}\bm{)} \color{black} \ \begin{array}{l} (2x^7+6x^5+3x^4-5x^2)\cdot (4x^6-8x^3-x^2+8) = \\[2ex] = 8x^{13}-16x^{10}-2x^9+16x^7+24x^{11}-48x^8-6x^7+48x^5+ \\[2ex] + \ 12x^{10}-24x^7-3x^6+24x^4-20x^8+40x^5+5x^4-40x^2 = \\[2ex] = \bm{8x^{13}+24x^{11}-4x^{10}-2x^9-68x^8-14x^7-3x^6+} \\[2ex] \bm{+ \ 88x^5+29x^4-40x^2} \end{array}$

연습 6

3개의 다항식의 다음 곱셈을 푼다:

$(2x^2-3) \cdot (-5x^4+3x^2-6) \cdot (9x^3-6x)$

솔루션 보기

문제의 연산은 다항식의 2번의 곱셈으로 구성되며, 보다 정확하게는 2개의 이항식과 1개의 삼항식으로 구성됩니다. 따라서 먼저 곱을 구한 다음 그 결과에 나머지 다항식을 곱해야 합니다.

따라서 첫 번째 곱셈을 계산합니다.

$\begin{array}{l} (2x^2-3) \cdot (-5x^4+3x^2-6) \cdot (9x^3-6x) = \\[2ex] = \bigl[-10x^6+6x^4-12x^2+15x^4-9x^2+18 \bigr]\cdot (9x^3-6x) = \\[2ex] = (-10x^6+21x^4-21x^2+18)\cdot (9x^3-6x)\end{array}$

이제 남은 곱셈을 푼다:

$\begin{array}{l} (-10x^6+21x^4-21x^2+18)\cdot (9x^3-6x)= \\[2ex] = -90x^9+60x^7+189x^7-126x^5-189x^5+126x^3+162x^3-108x \\[2ex] =\bm{-90x^9+249x^7-315x^5+288x^3-108x} \end{array}$

연습 7

다음 다항식에 유리수 계수(분수 포함)를 곱합니다.

$\displaystyle \left( \frac{1}{3}x^2- 4x \right) \cdot \left( 5x- \frac{2}{7} \right)$

솔루션 보기

다항식에는 분수가 있지만 여전히 두 다항식 사이의 곱셈입니다. 따라서 이 문제는 다항식 곱처럼 풀어야 합니다. 즉, 모든 요소를 곱한 다음 유사한 단항식을 그룹화해야 합니다.

따라서 우리는 다항식을 곱합니다:

$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle\left( \frac{1}{3}x^2- 4x \right) \cdot \left( 5x- \frac{2}{7} \right) = \\[4ex] = \displaystyle\frac{1}{3}x^2 \cdot 5x +\frac{1}{3}x^2\cdot \left(- \frac{2}{7} \right) -4x \cdot 5x - 4x \cdot \left(- \frac{2}{7} \right) = \\[4ex] =\displaystyle \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -20x^2+\frac{8}{7} x\end{array}$

그리고 마지막으로 문자 그대로의 부분이 동일한 용어를 더하거나 뺍니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -20x^2+\frac{8}{7} x= \\[4ex] \displaystyle= \frac{5}{3}x^3 -\frac{2}{21}x^2 -\frac{420}{21}x^2+\frac{8}{7} x \\[4ex] \displaystyle=\mathbf{\frac{5}{3}}\bm{x^3} -\mathbf{\frac{422}{20}}\bm{x^2}+\mathbf{\frac{8}{7}} \bm{x} \end{array}$

이 연습을 성공적으로 완료하려면 분수 연산을 익히는 것이 중요했습니다. 하지만 어떤 단계에서든 궁금한 점이 있으면 댓글로 질문해 주시면 최대한 빨리 답변해 드리겠습니다.

다항식의 곱셈(또는 곱)

다항식에 숫자 곱하기

다항식과 단항식의 곱하기

두 다항식의 곱셈

수직 다항식 곱셈

다항식 곱셈의 속성

다항식의 곱셈에 대한 해결 연습

연습 1

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