쌍곡선 아크코탄젠트의 미분

이 기사에서는 함수의 쌍곡선 아크코탄젠트를 유도하는 방법을 설명합니다. 또한 쌍곡선 역코탄젠트의 미분에 대한 해결된 예를 볼 수 있습니다.

쌍곡선 아크코탄젠트의 미분에 대한 공식

x의 쌍곡선 아크코탄젠트의 도함수는 1/1 – x 제곱입니다.

$f(x)=\text{arccoth}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{1-x^2}$

따라서 함수의 쌍곡선 역코탄젠트의 도함수는 해당 함수의 도함수를 1로 나눈 값에서 해당 함수의 제곱을 뺀 값과 같습니다.

$f(x)=\text{arccoth}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

두 번째 공식은 첫 번째 공식과 비슷하지만 체인 규칙을 적용하므로 실제로 동일한 공식으로 간주될 수 있습니다.

일부 수학 책에서 이러한 유형의 역삼각함수의 미분은 다음과 같습니다.

$f'(x)=\cfrac{-1}{x^2-1}$

그러나 자세히 보면 동일한 수식이며, 분수의 분자와 분모에 -1을 곱했다는 점만 다를 뿐입니다.

쌍곡선 아크코탄젠트의 도함수 예

실시예 1

$f(x)=\text{arccoth}(5x)$

쌍곡선 아크코탄젠트 인수에는 x와 다른 함수가 있으므로 이를 파생하려면 체인 규칙 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{arccoth}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

5x의 도함수는 5이므로 분수의 분자에 5를 넣고 분모에 -5x의 제곱을 넣습니다.

$f(x)=\text{arccoth}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{1- 25x^2}$

실시예 2

$f(x)=\text{arccoth}(e^{3x})$

이 함수의 도함수를 풀려면 다음과 같은 쌍곡선 아크코탄젠트의 도함수 공식을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{arccoth}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

이 경우 삼각 함수의 인수에는 지수 함수가 있으므로 복합 함수가 있습니다. 따라서 전체 함수의 도함수를 찾으려면 체인 규칙을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{arccoth}(e^{3x}) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3\cdot e^{3x}}{1-\left(e^{3x}\right)^2}=\cfrac{3e^{3x}}{1-3^{6x}}$

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