함수의 대칭: 대칭 및 비대칭 함수

이 기사에서는 대칭 함수(짝수 및 홀수 함수)가 무엇인지, 그리고 함수의 대칭성을 연구하는 방법을 설명합니다. 또한 이러한 유형의 함수의 속성을 볼 수 있으며 마지막으로 대칭 함수를 단계별로 해결하는 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

대칭 함수란 무엇입니까?

대칭 함수는 그래픽 표현에서 대칭 축을 찾을 수 있는 함수입니다. 대칭 함수에는 Y축을 기준으로 대칭인 짝수 함수와 좌표 원점을 기준으로 대칭인 홀수 함수의 두 가지 유형이 있습니다.

대칭축은 모든 것을 두 부분으로 나누어 반대점이 서로 같은 거리에 있도록 하는 가상의 선이라는 점을 기억하십시오.

짝수 함수

함수도 y축을 기준으로 대칭인 함수입니다. 즉, Y축은 함수의 대칭축입니다.

위에 표시된 이차 함수에서 볼 수 있듯이 독립 변수(x)의 임의 값에 대한 짝수 함수의 이미지는 반대 값(-x)에 대한 함수의 이미지와 동일합니다. 즉, 수학적으로 다음 조건을 만족하더라도 함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=f(-x)$

짝수 함수는 일종의 대칭 함수입니다. 이제 홀수 함수가 어떻게 생겼는지 살펴보겠습니다.

이상한 기능

홀수 함수는 좌표의 원점, 즉 점(0,0)을 기준으로 대칭인 함수입니다.

아래에서 이상한 함수 그래프를 볼 수 있습니다.

함수가 좌표 원점을 기준으로 대칭이라는 사실은 함수 그래프를 먼저 OY 축을 통해 접은 다음 OX 축을 통해 접으면 함수 그래프가 겹쳐진다는 것을 의미합니다.

대수적으로 함수는 이미지 간의 다음 관계가 충족되면 홀수입니다.

$f(-x)=-f(x)$

함수의 대칭성을 아는 것은 함수를 표현하는 데 매우 유용합니다. 그래프의 절반만 알면 다른 부분도 빠르게 그릴 수 있기 때문입니다.

함수의 대칭성을 찾는 방법

함수의 대칭성을 연구하려면 다음의 이미지를 계산해야 합니다.

$-x$

즉, 계산이 필요하다는 뜻이다.

$f(-x).$

따라서 이미지 결과에 따라 함수의 대칭성은 다음과 같습니다.

만약 채워져 있다면
$f(-x)=f(x)$

, 함수는 짝수이므로 Y축을 기준으로 대칭입니다.
만약 채워져 있다면
$f(-x)=-f(x)$

, 함수는 홀수이므로 좌표 원점을 기준으로 대칭입니다.
위의 조건 중 어느 것도 충족되지 않으면 비대칭 함수 (대칭축이 없음)입니다.

예를 들어, 다음 삼차 함수의 대칭성을 분석해 보겠습니다.

$f(x)=x^3$

함수의 대칭성을 연구하기 위해 다음을 계산합니다.

$f(-x):$

$f(-x)=(-x)^3=-x^3$

결과 대수 표현식은 원래 함수 표현식과 동일하지만 부호가 변경되었습니다. 즉, 다음 등식이 충족됩니다.

$f(-x)=-f(x)$

따라서 함수는 홀수이므로 좌표(0,0)의 원점을 기준으로 대칭입니다.

대칭 함수의 속성

대칭 함수에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

두 짝수/홀수 함수의 합은 다른 짝수/홀수 함수와 같습니다.
두 개의 짝수 함수 또는 두 개의 홀수 함수의 곱은 짝수 함수를 제공합니다.
짝수/홀수 함수의 미분은 짝수/홀수 함수입니다.
두 개의 짝수/홀수 함수 사이의 합성은 짝수/홀수 함수와 동일합니다.
짝수이면서도 홀수인, 즉 OY 축과 원점에 대해 대칭인 유일한 함수는 다음 함수입니다.
$f(x)=0.$

함수 대칭 문제 해결

연습 1

다음 함수의 대칭성을 구합니다.

$f(x)=x^4+5x^2$

해결책 보기

함수의 대칭성을 계산하려면 다음을 평가해야 합니다.

$f(-x):$

$f(-x)=(-x)^4+5(-x)^2=x^4+5x^2$

음수의 거듭제곱을 지수로 거듭제곱하면 양수가 됩니다. 따라서 이 경우 다음 방정식은 참입니다.

$f(-x)=f(x)$

따라서 함수는 짝수이므로 y축(Y축)을 기준으로 대칭입니다.

연습 2

다음 유리 함수의 대칭성을 연구합니다.

$f(x)=\cfrac{7x^2}{3+x^3}$

해결책 보기

함수의 대칭성을 결정하기 위해 다음을 수행합니다.

$f(-x):$

$f(-x)=\cfrac{7(-x)^2}{3+(-x)^3}=\cfrac{7x^2}{3-x^3}$

이 문제에서는 대칭 조건이 충족되지 않습니다.

$-x$

같지 않다

$f(x)$

도 아니다

$-f(x).$

$f(-x)\neq f(x)\neq -f(x)$

따라서 함수에는 대칭축이 없으며 오히려 비대칭 함수입니다.

연습 3

다음 함수의 대칭성을 계산합니다.

$f(x)=2x|x|$

해결책 보기

함수의 대칭성을 분석하려면 다음을 계산해야 합니다.

$f(-x):$

$\begin{aligned}f(-x)&=2(-x)|(-x)|\\[2ex]&=-2x|-x|\\[2ex]&=-2x|x|\\[2ex]&=-(2x|x|)\\[2ex]&=-f(x)\end{aligned}$

이 경우 결과 표현식은 원래 표현식과 유사하지만 부호가 변경되므로 다음 방정식이 충족됩니다.

$f(-x)=-f(x)$

따라서 함수는 홀수이므로 좌표(0,0)의 원점을 기준으로 대칭입니다.

대칭 함수란 무엇입니까?

짝수 함수

이상한 기능

함수의 대칭성을 찾는 방법

대칭 함수의 속성

함수 대칭 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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