주목할만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품) -

여기서는 모든 유형의 주목할만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품)의 해결에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 모든 주목할만한 아이덴티티의 공식이 무엇인지, 예와 연습 문제를 단계별로 풀어볼 수 있습니다. 또한, 이러한 유명한 수학 규칙이 어떤 용도로 사용되는지 보여 드리겠습니다.

👉👉 아래에서는 각 주목할만한 정체성을 단계별로 설명하지만, 원하는 경우 모든 공식이 요약되어 있는 표로 직접 이동할 수 있습니다. 👈👈

주목할 만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품)는 무엇입니까?

놀라운 제품 또는 놀라운 동등성 이라고도 불리는 놀라운 동일성(Remarkable identities )은 다항식 연산을 직접 풀 수 있는 수학적 규칙입니다.

가장 일반적으로 주목할만한 항등식은 합의 제곱 , 차이(또는 빼기)의 제곱, 그리고 합의 곱하기 차이입니다 .

그러나 아래에서는 이러한 주목할만한 제품을 계산하는 방법을 가르칠 뿐만 아니라 존재하는 모든 유형의 주목할만한 아이덴티티도 보여 드리겠습니다.

주목할만한 신원 공식(또는 제품)

주목할 만한 제품(또는 주목할만한 동등성)의 정의를 확인한 후에는 주목할만한 정체성에 대한 공식이 무엇인지 살펴보겠습니다. 반면에 공식 데모에 관심이 있는 경우 “데모 보기” 버튼을 클릭하여 공식을 볼 수 있습니다.

합의 제곱

합계의 제곱 또는 합계 제곱은 주요 주목할만한 정체성 중 하나입니다. 보다 정확하게는 2의 거듭제곱에 대한 두 개의 양수 항을 갖는 이항식입니다. 즉, 대수적 표현은 (a+b) ² 입니다.

따라서 합의 제곱의 공식은 다음과 같습니다.

수식 데모 보기

2로 올려진 양의 이항식에서 시작하면:

$(a+b)^2$

수학적으로 위의 제곱은 다음 요소와 동일합니다.

$(a+b)$

자체적으로 곱한 것 :

$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$

따라서 분배 속성을 사용하여 다항식을 곱합니다.

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a+b) & = a\cdot a +a\cdot b +b\cdot a +b\cdot b \\[2ex] &=a^2+ab+ba+b^2 \end{aligned}$

얻은 4개의 조건 중,

$ab$

그리고

$ba$

유사해 보이도록 그룹화할 수 있습니다.

$a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2$

우리는 이미 제곱합에 대한 공식 표현에 도달했으며 이에 대해 파생됩니다.

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$

호기심으로 이런 종류의 놀라운 제품에 대한 표현의 발전을 완전제곱삼항식이라고 합니다.

따라서 합의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 두 배, 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다.

따라서 제곱합을 풀려면 두 덧셈을 모두 곱하는 것만으로는 충분하지 않고 두 덧셈을 서로 곱하고 2를 곱해야 합니다. 이 유형의 매우 일반적인 오류이기 때문에 이를 기억하는 것이 중요합니다. 제품의 이 용어를 잊은 것은 놀랍습니다.

예:

해당 공식을 적용하여 다음과 같은 주목할만한 항등식을 계산합니다.

$(x+5)^2$

방금 살펴본 바와 같이, 제곱합의 주목할만한 동등성에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

그러므로 먼저 매개변수를 식별해야 합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

을 나타냅니다

$x$

쌍의 그리고

$b$

숫자 5에 해당:

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^2\\[2ex] (x+5)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=5 \end{array}$

이제 우리는

$a$

그리고

$b,$

결과를 찾기 위해 양의 이항 제곱에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

차이의 제곱

차이의 제곱 또는 차이 제곱은 가장 많이 사용되는 3가지 주목할만한 항등식 중 하나입니다. 특히, 이는 양항과 다른 음항이 2로 상승하여 형성된 이항식에 해당합니다. 즉 대수적 표현은 (ab) ² 입니다.

따라서 차이의 제곱(또는 빼기의 제곱) 공식은 다음과 같습니다.

수식 데모 보기

제곱 빼기의 이항식에서:

$(a-b)^2$

분명히 이전 전력은 요인의 곱과 같습니다.

$(a-b)$

자체적으로 곱한 것 :

$(a-b)^2= (a-b)\cdot (a-b)$

이제 분배 법칙을 적용하여 두 괄호를 곱합니다.

$\begin{aligned}(a-b)\cdot (a-b) & = a\cdot a +a\cdot (-b) - b\cdot a - b \cdot (-b) \\[2ex] & = a^2-ab-ba+b^2 \end{aligned}$

따라서 공식 확인을 완료하려면 비슷한 용어를 그룹화하면 됩니다.

$a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab +b^2$

그런 다음 차이의 제곱에 대한 공식은 수학적으로 증명됩니다.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

따라서 차이의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에서 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 두 배를 빼고 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다.

제곱합의 놀라운 동등성에 관해서는 다음 방정식이 올바르지 않기 때문에 공식의 중간 항을 넣는 것을 잊지 말아야 합니다.

예:

다음과 같은 제곱 차이의 등식을 풀어보세요.

$(x-3)^2$

이는 제곱 빼기의 주목할만한 결과이므로 해당 공식을 적용해야 합니다.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

다음으로, 미지수의 값이 무엇인지 식별해야 합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

변수입니다

$x$

그리고

$b$

숫자 3에 해당합니다.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^2\\[2ex] (x-3)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=3 \end{array}$

음수 부호는 매개변수의 일부가 아닙니다.

$b,$

하지만 이 공식을 올바르게 적용하려면 항상 부호 없이 숫자를 사용해야 합니다.

그러므로 우리는 이미 다음의 가치를 알고 있습니다.

$a$

그리고

$b$

따라서 주목할만한 정체성을 해결하기 위해 이러한 값을 공식에 대체하는 것으로 충분합니다.

차이로 합산

합과 차의 곱은 가장 많이 사용되는 3가지 주목할만한 아이덴티티 중 하나입니다. 이름에서 알 수 있듯이 공액 이항식(동일한 이항식이지만 중간 부호가 변경됨)을 곱한 양의 이항식입니다. 즉, 이러한 유형의 주목할만한 제품의 대수적 표현은 (a +b) · (ab) 입니다. .

차이에 의한 합의 곱의 놀라운 동일성에 대한 공식은 다음과 같습니다.

수식 데모 보기

두 항을 빼서 합계의 곱에서 시작합니다.

$(a+b)\cdot (a-b)$

공식을 설명하려면 분배 속성을 사용하여 첫 번째 괄호에 두 번째 괄호를 곱하기만 하면 됩니다.

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

이제 유사한 용어를 함께 그룹화합니다.

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

그리하여 우리는 놀라운 평등의 표현을 달성했습니다. 따라서 이 놀라운 유형의 정체성에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

따라서 두 수량의 차이에 의한 합의 곱은 이들 수량의 제곱의 차이와 같습니다. 즉, 서로 다른 두 항의 합에 동일한 두 항을 빼는 것은 두 항을 각각 제곱하고 빼는 것과 동일합니다.

예:

해당 공식을 사용하여 두 가지 다른 항의 차이를 뺀 다음과 같은 눈에 띄는 합계를 구하세요.

$(x+2)\cdot (x-2)$

위에서 본 것처럼, 합계에 차이를 곱한 값의 등식 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

우선, 우리가 해야 할 일은 문자의 값을 파악하는 것입니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우

$a$

변수에 해당

$x$

그리고

$b$

숫자 2에 해당합니다.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

그리고 매개변수가 어떤 값을 취하는지 이미 알고 있을 때

$a$

그리고

$b,$

우리는 차이에 의한 합계의 곱에 대한 공식을 적용합니다.

삼항식의 제곱

삼항식(3개의 항으로 구성된 다항식)의 제곱은 첫 번째 항의 제곱, 두 번째 항의 제곱, 세 번째 항의 제곱, 첫 번째 항의 두 배, 두 번째 항의 두 배, 첫 번째 항의 두 배를 더한 것과 같습니다. 세 번째에는 두 번째, 세 번째에는 두 배를 더합니다.

수식 데모 보기

삼항식 제곱에서:

$(a+b+c)^2$

위의 제곱은 그 자체로 곱해진 삼항식으로 인수분해될 수 있습니다.

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

이제 다항식 곱셈을 푼다:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

마지막으로 유사한 용어를 그룹화합니다.

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

이런 식으로 우리는 이미 공식의 표현에 도달했으므로 삼항식의 제곱에 대한 공식을 보여줍니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

예:

다음과 같은 주목할만한 동등성을 찾으십시오.

$\left(x^2+x+3\right)^2$

삼항식의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

모든 주목할 만한 등식과 마찬가지로 먼저 공식에서 미지의 값을 식별해야 합니다. 이 연습에서는

$a$

동쪽

$x^2,$

계수

$b$

에 해당

$x,$

그리고

$c$

독립항 3은 다음과 같습니다.

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

값을 이미 알고 있으면 이 값을 공식에 대입하고 계산을 수행하면 됩니다.

주목할만한 아이덴티티(또는 제품) 큐브

우리는 방금 모든 주목할 만한 아이덴티티의 제곱, 즉 2의 거듭제곱으로 형성되는 모든 유형의 주목할만한 아이덴티티를 연구했습니다. 이제 주목할만한 아이덴티티의 제곱을 분석해 보겠습니다. 물론, 세제곱 항등 공식은 조금 더 복잡하지만 매우 유용합니다.

합계의 큐브

합계의 주목할 만한 세제곱 곱은 두 요소가 양수인 3의 거듭제곱(단항식이 두 개뿐인 다항식)입니다. 따라서 대수적으로 합의 세제곱은 (a+b) ³ 으로 표현됩니다.

합의 세제곱의 주목할 만한 동등성에 대한 공식은 다음과 같습니다.

수식 데모 보기

양의 이항 세제곱에서 시작:

$(a+b)^3$

위의 검정력은 인수의 곱으로 인수분해될 수 있습니다.

$(a+b)$

제곱으로:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

마찬가지로, 주목할만한 제곱 등식에서 보았듯이, 이항식은

$(a+b)$

이는 합의 제곱 공식으로 풀 수 있습니다:

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

그런 다음 두 다항식을 함께 곱합니다.

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

마지막으로 비슷한 용어를 함께 그룹화하면 됩니다.

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

따라서 합 이항식 세제곱의 주목할만한 항등식에 대한 공식이 검증됩니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

간단히 말해서, 3으로 올린 합은 첫 번째의 세제곱에 두 번째의 제곱의 3배를 더하고 첫 번째의 3배에 두 번째의 제곱을 더한 다음 두 번째의 세제곱을 더한 것과 같습니다.

예:

해당 공식을 사용하여 세제곱합의 다음과 같은 주목할만한 항등식을 풀어보세요.

$(x+2)^3$

이 문제에는 두 항이 양수인 3의 거듭제곱에 대한 이항식이 있습니다. 따라서 세제곱합 공식을 사용해야 합니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

이제 매개변수의 값을 찾아야 합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

변수에 해당

$x$

그리고

$b$

2 번입니다.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

우리는 다음의 값을 대체하여 주목할만한 제품을 계산합니다.

$a$

그리고

$b$

공식에서:

차이의 큐브

차이의 세제곱 또는 빼기의 세제곱은 항에 음수 부호가 있는 3제곱의 이항식입니다. 따라서 이 놀라운 제품 유형의 수학적 표현은 (ab) ³ 입니다.

차이(또는 빼기)의 세제곱 공식은 다음과 같습니다.

수식 데모 보기

분명히 이 공식의 증명은 세제곱합의 주목할 만한 곱의 증명과 매우 유사합니다. 하지만 이 경우에는 음의 세제곱 이항식에서 시작합니다.

$(a-b)^3$

분명히 이전의 강화는 요인의 곱으로 분해될 수 있습니다.

$(a-b)$

제곱으로 곱하면 다음과 같습니다.

$(a-b)^3=(a-b)\cdot (a-b)^2$

그래서 우리가 주목할 만한 제곱 항등식에 대해 연구한 것처럼, 이항식은

$(a-b)$

차이의 제곱 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$(a-b)\cdot (a-b)^2=(a-b)\cdot (a^2-2ab+b^2)$

이제 두 다항식의 곱을 생성합니다.

$\begin{aligned} (a-b)\cdot (a^2-2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot (-2ab) + a\cdot b^2-b\cdot a^2 -b\cdot (-2ab)-b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3-2a^2b+ab^2-ba^2+2ab^2-b^3 \end{aligned}$

마지막 단계는 유사한 용어를 그룹화하는 것입니다.

$a^3-2a^2b+ab^2-ba^2+2ab^2-b^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

따라서 입방체에 올려진 뺄셈 이항식의 주목할 만한 항등식에 대한 공식이 검증됩니다.

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

따라서 3으로 올린 차이(또는 빼기)는 첫 번째의 세제곱에서 첫 번째의 제곱의 3배와 두 번째의 제곱을 더하고 첫 번째의 3배에 두 번째의 제곱을 더하고 두 번째의 세제곱을 뺀 것과 같습니다.

예:

해당 공식을 사용하여 다음 세제곱 이항식(차이)을 계산합니다.

$(3x-2)^3$

이 연습에서는 양수 요소와 음수 요소가 있는 쌍을 갖습니다. 따라서 세제곱 차이에 대한 공식을 사용해야 합니다.

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

먼저, 항상 그렇듯, 미지의 가치를 식별합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우

$a$

단항식을 나타냅니다

$3x$

그리고

$b$

는 이항식의 독립항, 즉 2입니다.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

매개변수는

$b$

숫자의 음수 부호 없이 단순히 2와 같습니다. 공식을 올바르게 적용하려면 이 점을 염두에 두는 것이 중요합니다.

마지막으로, 우리는

$a$

그리고

$b$

공식에서:

주목할만한 신원 요약표

요약하면, 지금까지 본 모든 주목할만한 아이덴티티(또는 제품)를 표로 만들어서 공부하기가 더 쉬울 것입니다. 😉

주목할만한 아이덴티티(또는 제품)의 문제 해결

놀라운 제품 또는 놀라운 평등이라고도 불리는 놀라운 정체성의 개념을 이해할 수 있도록 단계별로 해결되는 몇 가지 연습을 준비했습니다. 연습을 해보고 연습 문제를 잘 풀었는지 확인할 수 있습니다.

⬇⬇ 아래 댓글로 모든 질문을 할 수 있다는 것을 잊지 마세요! ⬇⬇

연습 1

다음과 같은 주목할만한 항등식(제곱합)을 확장합니다.

$\text{A)} \ (x+3)^2$

$\text{B)} \ (6x+2)^2$

$\text{C)} \ \left(x^2+7\right)^2$

$\text{D)} \ (5x+8y)^2$

해결책 보기

문제에서 주목할만한 모든 항등식은 제곱합이므로 이 경우 항상 동일한 공식을 적용해야 합니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+3)^2& =x^2+2\cdot x\cdot 3 +3^2\\[2ex] & = \bm{x^2+6x +9}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}(6x+2)^2 & =(6x)^2+2\cdot 6x \cdot 2+2^2\\[2ex] & = \bm{36x^2+24x+4}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(x^2+7\right)^2 & = \left(x^2\right)^2+2\cdot x^2\cdot 7 +7^2\\[2ex] & = \bm{x^4+14x^2 +49}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+8y)^2 & =(5x)^2+2\cdot 5x\cdot 8y +(8y)^2\\[2ex] & = \bm{25x^2+80xy+64y^2}\end{aligned}$

연습 2

다음과 같은 주목할만한 제품을 개발하십시오(차이점의 제곱).

$\text{A)} \ (x-2)^2$

$\text{B)} \ (3-7x)^2$

$\text{C)} \ \left(x^2-6\right)^2$

$\text{D)} \ (-3x+y)^2$

해결책 보기

이 연습에서 주목할만한 모든 제품은 제곱 빼기이므로 다음 공식 하나만 적용하면 됩니다.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x-2)^2& =x^2-2\cdot x\cdot 2 +2^2\\[2ex] & = \bm{x^2-4x +4}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}(3-7x)^2 & =3^2-2\cdot 3\cdot 7x +(7x)^2\\[2ex] & = \bm{9-42x+49x^2}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(x^2-6\right)^2 & = \left(x^2\right)^2-2\cdot x^2\cdot 6 +6^2\\[2ex] & = \bm{x^4-12x^2 +36}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(-3x+y)^2 & = (y-3x)^2 \\[2ex] & = y^2-2\cdot y\cdot 3x +(3x)^2\\[2ex] & = \bm{y^2-6yx+9x^2}\end{aligned}$

연습 3

다음과 같은 주목할 만한 등식(차이에 의한 합계의 곱)을 개발합니다.

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

해결책 보기

이 연습에서 눈에 띄는 모든 등식은 합계에 차이를 곱한 것이므로 모두 동일한 공식으로 해결됩니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+5)(x-5) &=x^2-5^2\\[2ex] & = \bm{x^2-25}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}(2x+6)(2x-6) & =(2x)^2-6^2 \\[2ex] & = \bm{4x^2-36}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}(x+7)(x-7) & =x^2-7^2 \\[2ex] & = \bm{x^2-49}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(x-4y)(x+4y) & =(x+4y)(x-4y) \\[2ex] & =x^2-(4y)^2\\[2ex] & = \bm{x^2-16y^2}\end{aligned}$

연습 4

다음의 주목할만한 신원을 모두 해결하십시오.

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x^2+2y^3\right)^2$

$\text{C)} \ \left(6x^3-4y^4\right)^2$

$\text{D)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{E)} \ \left(5x^2-9x\right)^2$

해결책 보기

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) & =\left(x^2\right)^2-10^2\\[2ex] & = \bm{x^4-100}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(4x^2+2y^3\right)^2 & =\left(4x^2\right)^2+2\cdot 4x^2\cdot 2y^3 +\left(2y^3\right)^2\\[2ex] & = \bm{16x^4+16x^2y^3+4y^6}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(6x^3-4y^4\right)^2 & =\left(6x^3\right)^2-2\cdot 6x^3\cdot 4y^4 +\left(4y^4\right)^2 = \\[2ex] &= \bm{36x^6-48x^3y^4+16y^8}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) & =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2 \\[2ex] & = \bm{64x^6-y^4}\end{aligned}$

$\text{E)} \ \begin{aligned}\left(5x^2-9x\right)^2 & =\left(5x^2\right)^2-2\cdot 5x^2\cdot 9x +\left(9x\right)^2 \\[2ex] & = \bm{25x^4-90x^3+81x^2}\end{aligned}$

연습 5

다음과 같은 주목할만한 제품을 계산하십시오.

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

해결책 보기

문제의 주목할만한 모든 결과를 찾으려면 경우에 따라 합계와 차이의 세제곱에 대한 공식을 적용해야 합니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

연습 6

다음과 같은 주목할만한 평등을 해결하십시오.

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

해결책 보기

이러한 주목할 만한 모든 항등식을 풀려면 삼항식의 제곱에 대한 공식을 사용해야 합니다. 이는 다음과 같습니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

연습 7

근과 분수를 사용하여 다음과 같은 주목할만한 항등식을 계산합니다(난이도 높음):

$\text{A)} \ \displaystyle \left(\sqrt{2x}-\sqrt{8x}\right)^2$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{4}{3}x^2+\frac{3}{2}x\right)^2$

$\text{D)} \ \Bigl(9x^3+\sqrt{5x}\Bigr)\Bigl(9x^3-\sqrt{5x}\Bigr)$

해결책 보기

섹션 A)는 제곱 뺄셈으로 구성되므로 이를 풀려면 해당 공식을 적용해야 하며, 또한 근을 제곱하면 단순화된다는 점을 기억해야 합니다.

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(\sqrt{2x}-\sqrt{8x}\right)^2 & =\left(\sqrt{2x}\right)^2-2\cdot \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} +\left(\sqrt{8x}\right)^2\\[2ex] & =2x-2\sqrt{2x\cdot 8x} +8x \\[2ex] & = 10x-2\sqrt{16x^2} \\[2ex] &= 10x-2\cdot 4x = \\[2ex] & = 10x -8x \\[2ex] & = \bm{2x}\end{aligned}$

섹션 B)는 뺄셈에 의한 덧셈을 다루고 단항식은 분수 계수를 가지며, 이 주목할만한 곱은 뺄셈에 의한 덧셈 공식과 분수의 특성을 사용하여 결정되어야 합니다.

$\text{B)} \ \begin{aligned}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) & \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2\\[4ex] \displaystyle & =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2\\[4ex]\displaystyle & = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{aligned}$

섹션 C)의 눈에 띄는 동등성은 합이 2로 증가한 것이며 마찬가지로 분수로 구성됩니다. 따라서 이를 계산하려면 제곱합에 분수의 속성을 더한 공식을 사용해야 합니다.

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{4}{3}x^2+\frac{3}{2}x\right)^2 & = \left(\frac{4}{3}x^2\right)^2+2\cdot \frac{4}{3}x^2\cdot \frac{3}{2}x +\left(\frac{3}{2}x\right)^2\\[2ex] & = \frac{4^2}{3^2}x^4+2\cdot \frac{12}{6}x^3 +\frac{3^2}{2^2}x^2 \\[2ex] &= \frac{16}{9}x^4 +2\cdot 2x^3+\frac{9}{4}x^2 \\[2ex] & = \mathbf{\frac{16}{9}} \bm{x^4+4x^3+}\mathbf{\frac{9}{4}}\bm{x^2}\end{aligned}$

마지막으로 주목할만한 항등식은 비합리적 계수를 갖는 합계 곱하기 차이를 다루므로 합계 곱하기 차이에 대한 공식을 적용한 다음 제곱근을 단순화합니다.

$\text{D)} \ \begin{aligned}\Bigl(9x^3+\sqrt{5x}\Bigr)\Bigl(9x^3-\sqrt{5x}\Bigr) & =\Bigl(9x^3\Bigr)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2\\[2ex] & = \bm{81x^6-5x}\end{aligned}$

기타 주목할만한 ID 유형

위에서 논의한 모든 주목할만한 ID는 가장 일반적으로 사용되는 ID입니다. 그러나 수학에는 다양한 목적으로 사용되기 때문에 알아두면 흥미로운 다른 주목할만한 제품 유형이 있습니다.

큐브의 합

세제곱의 합은 두 항이 양수이고, 더욱이 그 세제곱근이 정확한 이항식에 해당합니다. 따라서 세제곱의 합에 대한 대수식은 a ³ +b ³ 입니다.

이 주목할만한 곱의 공식은 다항식을 인수분해하는 데 사용됩니다. 즉, 공식을 통해 다항식을 삼항식에 의한 이항식의 곱으로 변환합니다.

이것이 어떻게 수행되었는지 볼 수 있습니다. 여기에 이 놀라운 아이덴티티를 적용한 예가 있습니다.

$x^3+8$

실제로 이전 표현식은 단항식의 세제곱근이므로 큐브의 추가로 구성됩니다.

$x^3$

정확하며(십진수를 제공하지 않음) 숫자 8도 마찬가지입니다.

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

따라서 완전 세제곱의 합 공식을 사용하여 삼차 표현을 삼항식에 의한 이항식의 곱으로 변환할 수 있습니다.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\begin{aligned} x^3 +2^3 & = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2) \\[2ex] & = (x+2)(x^2-2x + 4) \end{aligned}$

큐브의 차이

세제곱의 차(또는 뺄셈)는 양의 항과 음의 항으로 구성된 이항식이며, 그 삼차근은 정확합니다. 즉, 세제곱의 차이는 a ³ -b ³ 의 형태로 표현됩니다.

이 놀라운 ID 유형이 어떻게 해결되는지 확인할 수 있는 예를 만들어 보겠습니다.

$x^3-27$

단항식의 세제곱근이 모두 다르기 때문에 세제곱의 차이입니다.

$x^3$

27이 정확합니다.

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{27} = 3$

$x^3-27=x^3-3^3$

따라서 완벽한 입방체의 차이에 대한 공식을 사용하여 이항식을 인수분해할 수 있습니다.

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\begin{aligned} x^3 -3^3 & = (x-3)(x^2+x \cdot 3 + 3^2) \\[2ex] & =(x-3)(x^2+3x + 9) \end{aligned}$

공통항을 갖는 이항식의 곱

이 주목할만한 곱은 공통항을 갖는 두 이항식의 곱을 2차 다항식으로 변환하는 데 사용됩니다.

다음은 이러한 유형의 놀라운 제품에 대한 정교한 예입니다.

$\begin{aligned} (x+4)(x+5) &= x^2+(4+5)x+4\cdot 5 \\[2ex] & = x^2+9x+20 \end{aligned}$

더 많은 정체성

주목할 만한 아이덴티티는 가장 흔하기 때문에 가장 유명하지만, 다른 이름을 가진 아이덴티티도 더 많다는 점에 유의해야 합니다. 궁금하신 경우를 대비해 잘 알려지지 않은 다른 신원 목록은 다음과 같습니다.

라그랑주 항등식:

$(a^2+b^2)\cdot (x^2+y^2) =(ax+by)^2+(ay-bx)^2$
$(a^2-b^2)\cdot (x^2-y^2) =(ax+by)^2-(ay+bx)^2$

르장드르의 정체성:

$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$
$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
$(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2)$

아르간드의 정체성:

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1$

가우스 항등식:

$a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\right]$

주목할만한 신원 확인 앱

여기까지 왔다면 이미 주목할만한 ID로 계산을 수행하는 방법을 알고 있다는 의미입니다. 밝은! 그런데 정말… 주목할만한 정체성은 무엇입니까? 그리고 주목할만한 신원은 언제 사용됩니까?

이 기사 전체에서 살펴본 것처럼 주목할만한 ID의 주요 목적은 계산을 단순화하는 것입니다. 즉, 놀라운 제품 덕분에 어려운 연산을 수행하지 않고도 복잡한 다항식의 특정 거듭제곱을 직접 풀 수 있다는 것입니다.

그러나 주목할 만한 등식에는 다항식 인수분해 및 제곱 완성과 같은 다른 기능도 있습니다. 그런 다음 각 애플리케이션이 무엇으로 구성되어 있는지 살펴보겠습니다.

다항식 인수분해

일부 매우 특정한 유형의 다항식은 주목할만한 항등식으로 인수분해될 수 있습니다. 예를 들어, 완전제곱수(그들의 제곱근은 정확함)인 두 항으로 구성된 다항식을 찾는 경우, 차이에 의한 합의 곱에 대한 놀라운 등식 공식을 사용하여 이를 인수분해할 수 있습니다.

$a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

$x^2-9 =(x+3)(x-3)$

마찬가지로, 덧셈이나 뺄셈의 제곱의 주목할만한 동일성을 존중하는 삼항식은 인수분해될 수 있습니다:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$x^2+4x+4=(x+2)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$x^2-10x+25=(x-5)^2$

마찬가지로 다항식을 인수분해하면 해당 다항식의 근(또는 0)을 찾을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 이 개념은 이해하기가 조금 더 복잡하므로, 더 관심이 있으시면 당사 웹사이트(오른쪽 상단)의 검색 엔진에서 설명을 검색해 보시기 바랍니다. 이에 대한 전체 기사가 나와 있습니다.

정사각형 완성

완전제곱식은 2차 삼항식을 제곱에 숫자를 더한(또는 빼기) 합으로 변환하는 데 사용되는 수학적 절차입니다.

삼항식이 주어지면:

$ax^2+bx+c$

그러면 삼항식은 다음 표현식으로 변환될 수 있습니다.

$a(x+h)^2+k$

여기서 매개변수는

$h$

그리고

$k$

다음 공식으로 계산됩니다.

$h=\cfrac{b}{2a} \qquad \qquad k=c-ah^2$

여러분이 보기엔 그렇게 보이지 않더라도 이 두 공식은 주목할만한 정체성에서 추론된 것입니다. 그래서 눈에 띄는 제품들 덕분에 사각형이 완성될 수 있었습니다.

예를 들어, 이 절차를 다음 삼항식에 적용하겠습니다.

$2x^2+4x+3$

매개 변수를 계산합니다.

$h$

그리고

$k:$

$h=\cfrac{b}{2a}=\cfrac{4}{2\cdot 2} =1$

$k=c-ah^2 = 3-2\cdot 1^2 = 1$

따라서 다항식은 다음과 같이 유지됩니다.

$2(x+1)^2+1$

주목할 만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품)는 무엇입니까?

주목할만한 신원 공식(또는 제품)

합의 제곱

예:

차이의 제곱

예:

차이로 합산

예:

삼항식의 제곱

예:

주목할만한 아이덴티티(또는 제품) 큐브

합계의 큐브

예:

차이의 큐브

예:

주목할만한 신원 요약표

주목할만한 아이덴티티(또는 제품)의 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

기타 주목할만한 ID 유형

큐브의 합

큐브의 차이

공통항을 갖는 이항식의 곱

더 많은 정체성

주목할만한 신원 확인 앱

다항식 인수분해

정사각형 완성

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