비대칭 행렬 - Mathority

이 페이지에서는 반대칭 행렬이 무엇인지 설명합니다. 또한 몇 가지 예와 일반적인 구조를 통해 완벽하게 이해할 수 있습니다. 또한 반대칭 행렬의 행렬식을 계산하는 특수성과 이러한 유형의 행렬의 모든 속성을 설명합니다. 그리고 마지막으로, 정사각 행렬을 대칭 행렬과 다른 반대칭 행렬의 합으로 분해하는 방법을 알게 될 것입니다.

반대칭 행렬이란 무엇입니까?

반대칭 행렬의 정의는 다음과 같습니다.

반대칭 행렬은 전치가 행렬의 음수와 동일한 정사각 행렬입니다.

$A^t = -A$

금

$A^t$

전치된 행렬을 나타냅니다.

$A$

그리고

$-A$

매트릭스는

$A$

모든 요소가 변경된 기호로 표시됩니다.

반대칭 행렬의 예

반대칭 행렬의 개념을 알게 되면 이를 더 잘 이해하기 위해 반대칭 행렬의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

2 × 2 차 반대칭 행렬의 예

3×3 차원의 반대칭 행렬의 예

크기가 4×4인 비대칭 행렬의 예

이 세 개의 행렬을 전치할 때, 전치된 행렬이 각각의 원래 행렬의 부호가 변경된 것과 동일하기 때문에 이들이 반대칭임을 확인합니다.

반대칭 행렬의 구조

반대칭 행렬 조건이 충족되려면 항상 동일한 유형의 구조를 가져야 합니다. 주대각선의 숫자는 모두 0이고 i 행과 j 열의 요소는 j 행과 열의 요소의 음수입니다. 나 . 즉, 반대칭 행렬의 형태는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & a & b & \cdots & c\\[1.1ex]-a & 0 & d & \cdots &e\\[1.1ex]-b & -d & 0 & \cdots & f\\[1.1ex]\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.1ex] -c & -e & -f & \cdots & 0\end{pmatrix}$

따라서 반대칭 행렬의 주대각선은 반대칭 축 역할을 합니다. 이것이 이 특정 행렬의 이름이 유래된 곳입니다.

반대칭 행렬의 행렬식

반대칭 행렬의 행렬식은 상기 행렬의 차원에 따라 달라집니다. 이는 행렬식의 특성 때문입니다.

$\displaystyle \text{det}(A)=\text{det}(A^t)=\text{det}(-A)=(-1)^n \text{det}(A)$

따라서 반대칭 행렬이 홀수 차수이면 행렬식은 0 이 됩니다 . 반면, 반대칭 행렬이 짝수 차원이면 행렬식은 어떤 값이든 취할 수 있습니다.

따라서 홀수 차원의 반대칭 행렬은 특이 행렬 또는 축퇴 행렬입니다. 반면, 짝수차 비대칭 행렬은 정규 행렬입니다.

반대칭 행렬의 속성

반대칭 행렬의 특징은 다음과 같습니다.

두 개의 반대칭 행렬을 더하거나 빼면 또 다른 반대칭 행렬이 생성됩니다. 두 개의 더해진(또는 뺀) 행렬을 전치하는 것은 각 행렬을 개별적으로 전치하는 것과 동일하므로:

$\displaystyle \left(A+B\right)^t = A^t+B^t = -A-B$

스칼라를 곱한 비대칭 행렬은 또 다른 비대칭 행렬을 생성합니다.

반대칭 행렬의 힘은 반대칭 행렬 또는 대칭 행렬과 동일합니다. 지수가 짝수이면 검정력 결과는 대칭 행렬이 되고, 지수가 홀수이면 검정력 결과는 반대칭 행렬이 됩니다. 이 링크에서 대칭행렬이 무엇인지 알아볼 수 있습니다.

반대칭 행렬의 자취는 항상 0과 같습니다.

반대칭 행렬과 단위 행렬 의 합은 역행렬을 생성합니다.

$\displaystyle \text{det}(A+I)\neq 0$

반대칭 행렬의 모든 실수 고유값(또는 고유값)은 0입니다. 그러나 반대칭 행렬은 복소 고유값을 가질 수도 있습니다.

모든 반대칭 행렬은 정규 행렬입니다. 따라서 비대칭 행렬은 단일 행렬로 대각화될 수 있다는 스펙트럼 정리의 적용을 받습니다.

정사각 행렬을 대칭 행렬과 반대칭 행렬로 분해

정사각 행렬의 특별한 특징은 대칭 행렬과 반대칭 행렬의 합으로 분해될 수 있다는 것입니다.

이를 가능하게 하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{array}{c} C = S + A \\[2ex] S = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t) \qquad A = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^t)\end{array}$

여기서 C는 분해하려는 정사각 행렬이고, C ^는 전치 행렬이며, 마지막으로 S와 A는 각각 행렬 C가 분해되는 대칭 행렬과 반대칭 행렬입니다.

아래에는 공식을 시연하기 위한 해결된 연습 문제가 있습니다. 다음 행렬을 분해해 보겠습니다.

$\displaystyle C=\begin{pmatrix} 1& 5 \\[1.1ex] -3 &2\end{pmatrix}$

다음 공식을 사용하여 대칭 및 반대칭 행렬을 계산합니다.

$\displaystyle S=\cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t)= \begin{pmatrix} 1& 1 \\[1.1ex] 1 &2\end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\cfrac{1}{2}\cdot (C-C^t)= \begin{pmatrix} 0& 4 \\[1.1ex] -4 &0\end{pmatrix}$

그리고 두 행렬을 추가하여 방정식이 충족되는지 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle C=S+A \quad ?$

$\displaystyle\begin{pmatrix} 1& 1 \\[1.1ex] 1 &2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0& 4 \\[1.1ex] -4 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 5 \\[1.1ex] -3 &2\end{pmatrix}$

$\displaystyle C=S+A$

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