미성년자, 보조자 및 보조자 보완 매트릭스

이 섹션에서 우리는 그것들이 무엇인지, 그리고 상보 마이너, 수반 및 수반 행렬을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 또한, 완벽하게 이해할 수 있도록 예제를 제공하고, 단계별로 풀어볼 수 있는 연습문제를 통해 연습할 수 있습니다.

보완 부전공이란 무엇입니까?

이를 요소의 작은 보완 이라고 합니다.

$a_{ij}$

직선을 삭제하여 얻은 행렬식에

$i$

그리고 열

$j$

매트릭스의.

요소의 보완적인 마이너를 계산하는 방법은 무엇입니까?

몇 가지 예를 사용하여 요소의 보완 마이너가 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

예시 1:

다음 3 × 3 정사각형 행렬 중 1의 소수 보수를 계산합니다.

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

1의 상보 마이너는 1이 위치한 행과 열을 제거할 때 남아 있는 행렬의 행렬식입니다. 즉, 첫 번째 행과 두 번째 열을 제거합니다.

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

예 2:

이번에는 이전과 동일한 행렬의 0의 상보 마이너를 계산합니다.

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

0의 상보 마이너는 0이 다음과 같은 행과 열을 제거하여 행렬의 행렬식입니다.

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

보완적인 미성년자를 위한 해결된 연습문제

연습 1

다음 3×3 행렬에서 3의 가장 작은 보수를 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

해결책 보기

3의 상보 마이너는 3이 다음과 같은 행과 열을 제거한 후 남아 있는 행렬의 행렬식입니다.

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

연습 2

다음 3차 행렬에서 5의 상보 마이너를 찾습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

해결책 보기

5의 상보 마이너는 5가 있는 행과 열을 삭제하여 얻은 행렬의 행렬식입니다.

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

연습 3

다음 4×4 행렬의 6에 대한 소수 보수를 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

해결책 보기

6의 상보 마이너는 행과 열을 제거한 후에도 남아 있는 행렬의 행렬식입니다. 여기서 6은 다음과 같습니다.

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Sarrus 규칙을 사용하여 행렬식을 해결합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

배열 요소의 수반 요소는 무엇입니까?

대리인

$a_{ij}$

, 즉 광고 항목

$i$

그리고 열

$j$

는 다음 공식으로 구해집니다.

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

배열 요소의 인접 요소를 얻는 방법은 무엇입니까?

몇 가지 예를 통해 요소의 수반이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

예시 1:

다음 3차 행렬 중 4개의 수반 행렬을 계산합니다.

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

4는 행 2 와 열 1 에 있으므로 이 경우에는

$i = 2$

그리고

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

그리고 이전에 보았듯이 4의 소보수는 행렬의 행렬식이며 4가 있는 행과 열을 제거합니다. 그러므로:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

이제 우리는 행렬식을 풀고 4의 수반을 찾습니다:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

짝수 지수로 거듭제곱된 음수는 양수라는 점을 기억하세요 . 따라서 -1을 짝수로 올리면 양수가 됩니다.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

반면, 음수를 홀수 지수로 올리면 음수가 됩니다. 따라서 -1을 홀수로 올리면 항상 음수가 됩니다.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

예 2:

우리는 이전과 동일한 행렬 의 5의 대리인을 찾을 것입니다:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

예시 3:

동일한 행렬의 3의 대리인을 만들어 보겠습니다.

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

요소의 수반은 나중에 살펴보겠지만 행렬식을 계산하고 지금 살펴보게 될 수반 행렬을 계산하는 데 사용됩니다.

보조자를 위한 해결된 연습

연습 1

다음 3×3 행렬 중 2의 수반을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

해결책 보기

2의 수반의 결과를 얻으려면 요소의 수반에 대한 공식을 적용하면 됩니다.

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

연습 2

다음 3차 행렬 중 4개의 수반 행렬을 구합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

해결책 보기

4의 차수를 얻으려면 요소의 차수에 대한 공식을 사용해야 합니다.

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

연습 3

다음 4×4 행렬에서 7의 대리인을 찾으십시오.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

해결책 보기

7의 부속물을 만들기 위해 우리는 요소의 부속물에 대한 공식을 적용합니다:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

우리는 3차 행렬식을 풀기 위해 Sarrus의 법칙을 적용합니다:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

첨부된 매트릭스는 무엇입니까?

첨부된 배열은 모든 요소가 해당 대리인으로 대체된 배열입니다.

수반 행렬을 계산하는 방법은 무엇입니까?

Deputy 행렬을 계산하려면 행렬의 모든 요소를 Deputy로 대체해야 합니다.

예를 통해 결합 행렬이 어떻게 만들어지는지 살펴보겠습니다.

예:

2×2 차원의 다음 정사각 행렬의 수반 행렬을 계산합니다.

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Adjoint 행렬을 계산하려면 행렬의 각 요소에 대한 Adjoint를 계산 해야 합니다. 따라서 먼저 다음 공식을 사용하여 모든 요소의 수반점을 해결합니다.

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

이제 배열의 각 요소를 대체하면 됩니다.

$A$

그 대리인에 의해 의 대리인 행렬을 찾는다.

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

그리고 이런 방식으로 매트릭스의 대리인이 발견됩니다. 하지만 이 모든 계산이 무엇을 위한 것인지 궁금하시죠? 행렬 조인의 유틸리티 중 하나는 행렬의 역행렬을 계산하는 것입니다. 실제로 역행렬을 구하는 가장 일반적인 방법은 Adjoint Matrix 방법이다.

수반 행렬 문제 해결

연습 1

다음 2×2 정사각 행렬의 수반 행렬을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

해결책 보기

Adjoint 행렬을 계산하려면 행렬의 각 요소에 대한 Adjoint를 계산해야 합니다. 따라서 먼저 다음 공식을 사용하여 모든 요소의 수반점을 해결합니다.

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

이제 배열의 각 요소를 대체하면 됩니다.

$A$

그 대리인에 의해 의 대리인 행렬을 찾는다.

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

연습 2

다음 2차 행렬의 수반 행렬을 구합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

해결책 보기

Adjoint 행렬을 계산하려면 행렬의 각 요소에 대한 Adjoint를 계산해야 합니다. 따라서 먼저 다음 공식을 사용하여 모든 요소의 수반점을 해결합니다.

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

이제 배열의 각 요소를 대체하면 됩니다.

$A$

그 대리인에 의해 의 대리인 행렬을 찾는다.

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

연습 3

다음 3×3 행렬의 수반 행렬을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

해결책 보기

Adjoint 행렬을 계산하려면 행렬의 각 요소에 대한 Adjoint를 계산해야 합니다. 따라서 먼저 다음 공식을 사용하여 모든 요소의 수반점을 해결합니다.

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

이제 배열의 각 요소를 대체하면 됩니다.

$A$

그 대리인에 의해 의 대리인 행렬을 찾는다.

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

마이너, 어시스턴트 및 어시스턴트 보완 매트릭스

보완 부전공이란 무엇입니까?

요소의 보완적인 마이너를 계산하는 방법은 무엇입니까?

예시 1:

예 2:

보완적인 미성년자를 위한 해결된 연습문제

연습 1

연습 2

연습 3

배열 요소의 수반 요소는 무엇입니까?

배열 요소의 인접 요소를 얻는 방법은 무엇입니까?

예시 1:

예 2:

예시 3:

보조자를 위한 해결된 연습

연습 1

연습 2

연습 3

첨부된 매트릭스는 무엇입니까?

수반 행렬을 계산하는 방법은 무엇입니까?

예:

수반 행렬 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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