▷ 연속함수인지 확인하는 방법(풀이연습)

이 기사에서는 연속 함수가 무엇인지, 그리고 함수가 한 점에서 연속인지 여부를 확인하는 방법을 설명합니다. 또한 연속 함수의 속성과 가장 일반적인 함수의 연속성 분석을 확인할 수 있습니다. 마지막으로 연속함수에 대한 풀이 연습을 통해 개념을 완전히 이해할 수 있습니다.

연속함수란 무엇인가?

함수의 연속성은 그래픽으로 연구할 수 있습니다. 연속함수란 종이에서 연필을 떼지 않고도 그래프로 표현할 수 있는 함수를 말합니다.

연속 함수

위의 기능은 종이에서 손을 떼지 않고도 한 획으로 그릴 수 있기 때문에 연속적입니다.

반면, 이전의 연속조건이 함수에 들어가지 않는 경우를 불연속함수 라고 한다.

불연속 기능

이전 기능은 이를 표현하려면 연필로 두 개의 선을 그려야 하기 때문에 불연속적입니다. 이 경우 함수는 x=3에서 연속이 아니므로 x=3을 불연속점 이라고 말합니다.

또한, 불연속에는 피할 수 있는 불연속, 피할 수 없는 유한 점프 불연속, 피할 수 없는 무한 점프 불연속의 세 가지 유형이 있습니다. 다음 링크에서 각 불연속 유형의 모양과 각 불연속의 차이점을 확인할 수 있습니다.

➤ 참조: 불연속 유형

한 지점에서 함수의 연속성

연속함수의 그래프가 어떻게 보이는지 확인한 후에는 함수가 연속인지 아닌지를 분석적으로 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

수학적으로 다음 세 가지 조건이 충족되면 함수는 한 점에서 연속입니다.

이 지점에 함수가 존재합니다. 즉, 지점의 이미지가 존재합니다.

$\exists \ f(a)$

이 시점에서 기능의 한계가 있습니다. 따라서 이 지점에서 함수의 왼쪽 및 오른쪽 측면 극한은 동일합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \quad \exists \lim_{x \to a} f(x)$

점의 이미지는 이 점에서의 함수의 한계와 일치합니다.

$\displaystyle f(a)=\lim_{x \to a} f(x)$

따라서 함수의 모든 점에서 세 가지 연속성 조건이 충족되면 함수는 연속입니다.

예를 들어, 다음 조각별 함수의 연속성을 분석하겠습니다.

구간을 바꿔도 그 시점에서는

$x=-2$

이 지점에서 함수의 측면 한계가 동일하고 이 지점의 함수 값과 더 일치하기 때문에 함수는 연속적입니다.

$\lim\limits_{x \to -2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to -2^+} f(x)= f(-2)=3$

반면에, 함수는 그 점에서 연속적이지 않습니다.

$x=4$

두 개의 측면 극한이 다르기 때문에 이 시점에서는 함수의 극한이 존재하지 않습니다.

$\lim\limits_{x \to 4^-} f(x)=3 \neq \lim\limits_{x \to 4^+} f(x)= 2$

간단히 말해서, 조각으로 정의된 함수는 다음을 제외한 모든 실수에서 연속입니다.

$x=4,$

불연속성이 있는 곳.

또한 함수가 불연속적인지 확인할 수 있습니다.

$x=4$

왜냐하면 그것을 그래픽으로 표현하려면 이 시점에서 종이에서 연필을 떼어내야 하기 때문입니다.

기본 기능의 연속성

특정 유형의 기능은 특성에 따라 연속적입니다.

상수 함수는 모든 실수에서 연속입니다.

$f(x)=k$

다항함수는 모든 실수에 대해 연속입니다.

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n$

유리수(또는 분수) 함수는 분수의 분모를 취소하는 값을 제외하고 모든 실수에서 연속적이며, 이러한 지점에서 함수는 불연속성을 나타냅니다.

$f(x)=\cfrac{p(x)}{q(x)}$

지수 함수는 모든 실수에 대해 연속입니다.

$f(x)=a^x$

로그 함수는 인수를 양수로 만드는 모든 지점에서 연속적입니다.

$f(x)=\log_a (x)$

비합리 함수 또는 근이 있는 함수의 연속성은 근호(n)의 지수에 따라 달라집니다. 인덱스가 짝수인 경우 이는 루트 인수를 0보다 크거나 같게 만드는 모든 지점에서 연속 함수입니다. 그러나 지수가 홀수이면 모든 실수에 대해 연속 함수입니다.

$f(x)=\sqrt[n]{x}$

삼각 함수 의 연속성은 함수 유형에 따라 다릅니다. 사인 함수와 코사인 함수는 실수 집합에 대해 연속적이지만 탄젠트 함수는 점에서 불연속적입니다.
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi$

(여기서 k 는 정수입니다).

$f(x)=sen(x)\qquad f(x)=cos(x)\qquad f(x)=tg(x)$

연속 함수의 속성

션

$f(x)$

그리고

$g(x)$

점에서 두 개의 연속 함수

$x=a,$

한 점에서 두 연속 함수의 합은 해당 점에서 또 다른 연속 함수입니다.

$f(x)+g(x)$

한 점에서 두 연속 함수의 곱은 해당 점에서 다른 연속 함수와 같습니다.

$f(x)\cdot g(x)$

한 점에서 두 개의 연속 함수를 나누면 그 점이 나눗셈 기능을 취소하지 않는 한 그 점에서 또 다른 연속 함수가 생성됩니다.

$\cfrac{f(x)}{g(x)}\qquad g(a)\neq 0$

한 점에서 두 개의 연속 함수가 합성되면 동일한 점에서 연속 함수가 발생합니다.

$f(x)\circ g(x)$

➤ 참고: 복합 함수란 무엇입니까?

함수의 연속성에 대한 해결 연습

연습 1

다음 그래프에 표시된 함수의 불연속성을 찾아보세요. 또한 그것이 어떤 유형의 불연속인지 결정하십시오.

참고: 이 연습을 수행하려면 먼저 다양한 유형의 불연속성이 무엇인지, 어떻게 식별하는지 확인하는 것이 좋습니다. 불연속 유형 의 원리 링크에서 설명을 볼 수 있습니다.

솔루션 보기

함수를 그리려면 x=-2, x=1, x=4에서 연필을 올려야 합니다. 따라서 함수는 이 세 지점에서 불연속적입니다.

x=-2에서 왼쪽 극한은 +π이고 오른쪽 극한은 3입니다. 따라서 측면 극한 중 하나가 무한하기 때문에 함수는 x=-2에서 불가피한 무한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

x=1에서 함수의 극한은 0이고, 반면에 x=1에서 함수의 값은 2와 같습니다. 따라서 함수는 x=1에서 피할 수 있는 불연속성을 나타냅니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(0) = 2$

x = 4에서 왼쪽 극한은 -3이고 오른쪽 극한은 1입니다. 따라서 두 측면 극한이 다르고 둘 다 무한대를 제공하지 않으므로 함수는 필연적으로 x =4에서 유한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

연습 2

다음 그래프에 표시된 함수가 불연속적인 지점을 결정합니다.

솔루션 보기

x=6 지점에서 열린 지점이 있기 때문에 기능이 중단됩니다. x가 6에 접근할 때의 한계는 -1.4이지만 f(6)=1입니다. 따라서 함수는 극한 값이 함수 값과 일치하지 않기 때문에 x=6에서 피할 수 있는 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

x=-3에서는 측면 한계가 일치하지 않으며 무한대가 제공되지 않습니다. 따라서 이 함수는 x=-3에서 불가피한 유한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

그리고 마지막으로 함수는 x = 3에서 불가피한 무한 점프 불연속성을 갖습니다. 이 지점에서 적어도 하나의 측면 극한이 무한대가 되기 때문입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

연습 3

다음 유리 함수의 연속성을 분석합니다.

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

솔루션 보기

유리함수는 전체 영역, 즉 분모를 취소하는 값을 제외한 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 어떤 점이 도메인에 속하지 않는지 확인하기 위해 유리 함수의 분모를 0으로 설정합니다.

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

따라서 함수는 x=5를 제외한 모든 점에서 연속입니다.

연습 4

다음 조각별 함수의 연속성을 분석합니다.

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 5x-2 & \text{si} & x < 1 \\[2ex] x^2+2 & \text{si} & x \geq 1 \end{array} \right.$

솔루션 보기

이 기능은 첫 번째 섹션에서도 연속적입니다.

$5x-2$

, 두 번째 섹션에서와 같이,

$x^2+2$

, 이는 다항식 함수이기 때문입니다.

따라서 함수가 불연속적일 수 있는 유일한 지점은 함수가 조각별로 중단되는 지점입니다. 이제 이 시점에서 측면 한계를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (5x-2)=5\cdot 1-2=\bm{3}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2+2)=1^2+2=\bm{3}$

따라서 두 측면 극한은 일치하며, x가 1로 경향일 때 함수의 극한은 3과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \ \bm{\longrightarrow} \ \exists \lim_{x \to 1} f(x) = 3$

게다가 x=1의 이미지도 3입니다.

$f(1)=1^2+2=\bm{3}$

따라서, x=1에서의 함수의 극한은 상기 점의 이미지와 동일하므로, 함수는 점 x=1에서 연속입니다. 그러므로 그것은 모든 실수에서 연속입니다.

$\displaystyle f(1)=\lim_{x \to 1} f(x)$

연습 5

다음 비합리 함수의 연속성을 연구합니다.

$f(x)=\sqrt{2x+6}$

솔루션 보기

이는 짝수 인덱스를 갖는 근호 함수이므로 근호의 인수가 0보다 큰 한(음수의 제곱근이 존재하지 않기 때문에) 함수는 연속입니다.

$2x+6\ge 0$

우리는 불평등을 해결합니다:

$2x\ge -6$

$x\ge \cfrac{-6}{2}$

$x\ge -3$

해는 -3보다 크거나 같은 모든 숫자로 구성됩니다. 따라서 함수는 해당 영역의 간격에서 연속입니다.

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = [-3,+\infty) }$

연습 6

다음 로그 함수의 연속성을 분석합니다.

$f(x)=\log_3 (-3x+6)$

솔루션 보기

이것은 로그 함수이며 음수의 로그나 0의 로그가 없습니다. 따라서 로그의 인수가 양수(0보다 큼)인 한 함수는 존재합니다.

$-3x+6>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”95″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 우리는 불평등을 해결합니다:

$-3x>-6″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”78″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ $x<\cfrac{-6}{-3}$

부등식의 반대편으로 음수를 나눌 때는 부등식의 부호를 뒤집어야 한다는 점을 기억하십시오.

$x<2$

해는 2보다 작은 모든 숫자로 구성됩니다. 따라서 함수 정의 영역은 다음과 같습니다.

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,2) }$

따라서 함수는 해당 영역의 모든 지점에서 연속입니다.

연습 7

다음 함수의 연속성을 계산합니다.

$f(x)=\cfrac{4x-2}{\sqrt{-2x-8}}$

솔루션 보기

분수의 분모에는 지수가 짝수인 근호가 있으므로 근의 내용이 0보다 크거나 같을 때마다 함수가 존재합니다.

$-2x-8\geq 0$

그러나 또한 근은 분수의 분모에 있고 분수의 분모는 결코 0이 될 수 없습니다. 따라서 근의 내용이 엄격하게 0보다 큰 경우에만 함수가 존재합니다.

$-2x-8> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”95″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 이제 불평등을 해결합니다.

$-2x>8″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”64″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ $x<\cfrac{8}{-2}$

부등식을 곱하거나 나누어 음수의 변을 바꿀 때 부등호도 회전해야 한다는 것을 기억하세요.

$x<-4$

결과는 -4보다 작은 모든 숫자입니다. 따라서 함수의 영역과 그에 따른 연속성은 다음 간격으로 정의됩니다.

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,-4) }$

연습 8

함수가 전체적으로 연속되도록 k 값을 계산합니다.

$\mathbb{R} .$

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} kx-1 & \text{si} & x \leq 2 \\[2ex] 3x^2 - 5 & \text{si} & x > 2 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”225″ style=”vertical-align: 0px;”> <div class=$