두 평면 사이의 거리(공식)

이 페이지에서는 두 평면 사이의 거리를 구하는 방법을 알아봅니다. 특히 존재하는 두 가지 방법과 둘 중 하나를 사용하는 것이 더 나은 경우를 확인할 수 있습니다. 또한, 두 평면 사이의 거리에 대한 예와 풀이 연습문제를 제시하여 이해하기 쉽도록 하였습니다.

두 평면 사이의 거리는 어떻게 계산됩니까?

공간에서 두 평면 사이의 거리는 이 두 평면 사이의 상대적인 위치에 따라 달라집니다.

두 평면이 교차하거나 일치하는 경우 한 점에서 교차하므로 두 평면 사이의 거리는 0입니다.
두 평면이 평행 한 경우 두 평면 사이의 거리는 두 평면 중 하나의 점을 선택하고 해당 점과 다른 평면 사이의 거리를 계산하여 계산됩니다.

수직 평면은 일종의 교차 평면이므로 두 수직 평면 사이의 거리도 0이라는 점을 기억하세요.

따라서 두 평면 사이의 거리를 계산하려면 먼저 두 평면 사이의 상대 위치가 무엇인지 결정해야 합니다. 따라서 두 평면의 상대 위치를 찾는 방법을 아는 것이 중요합니다. 수행 방법이 완전히 명확하지 않은 경우 링크를 살펴보는 것이 좋습니다. 여기에서 매우 자세한 설명과 예제 및 해결된 연습 문제를 찾을 수 있습니다.

두 평행 평면 사이의 거리를 계산하는 방법

두 평행 평면은 항상 서로 같은 거리에 있습니다. 따라서 두 평행 평면 사이의 거리를 찾으려면 두 평면 중 하나의 점을 선택하고 해당 점에서 다른 평면까지의 거리를 계산하면 됩니다.

따라서 평행한 두 평면 사이의 거리를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

평면 중 하나에 점이 있고 다른 평면의 일반(또는 암시적) 방정식이 주어지면 두 개의 평행 평면을 고려하십시오.

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

한 평면의 점을 통과하는 두 평행 평면 사이의 거리를 구하는 공식 과 다른 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

평행한 두 평면 사이의 거리를 구하는 공식입니다. 그러나 때로는 더 간단한 다른 방법을 사용할 수도 있습니다.

두 계획의 암시적(또는 일반) 방정식의 계수 A, B 및 C는 비례해야 합니다. 음, 문제에서 계수 A, B, C가 정확히 동일한 두 평면을 찾으면 평면의 어떤 점도 알 필요 없이 다른 공식을 사용할 수 있습니다.

동일한 계수 A, B 및 C를 갖는 두 평행 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하십시오.

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

두 평면의 일반 방정식에서 두 평행 평면 사이의 거리를 찾는 공식은 다음과 같습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

궁극적으로 두 평행 평면 사이의 거리를 찾는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 두 평면 중 하나의 점을 알 때 더 유용합니다. 그러나 두 평면의 일반 방정식을 알고 있다면 두 번째 공식을 사용하여 거리를 계산하는 것이 좋습니다.

두 평행 평면 사이의 거리를 계산하는 예

예를 들어, 다음 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

먼저 두 개의 평행 평면을 다루고 있는지 확인해야 합니다. 따라서 평면 방정식의 모든 계수는 독립 항을 제외하고 비례하므로 사실상 두 평행 평면입니다.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

이 경우 두 평면 방정식의 항 A, B 및 C는 일치하지 않지만 두 번째 평면의 전체 방정식을 2로 나누어 이를 달성할 수 있습니다.

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

따라서 두 평면의 방정식은 이제 이미 동일한 계수 A, B 및 C를 갖습니다. 따라서 두 평행 평면 사이의 거리에 대한 다음 공식을 사용하여 두 평면 사이의 거리를 쉽게 계산할 수 있습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

값을 대체하고 작업을 해결합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

따라서 한 평면 과 다른 평면 사이의 거리는 1과 같습니다.

두 평면 사이의 거리 문제 해결

연습 1

다음 두 평면 사이의 거리를 구합니다.

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

해결책 보기

먼저 두 개의 평행 평면을 다루고 있는지 확인해야 합니다. 두 평면 방정식의 모든 계수는 독립 항을 제외하고 비례하므로 이는 실제로 두 평행 평면입니다.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

이 경우 계수 A, B 및 C가 동일하므로 직접 공식을 사용하여 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

따라서 값을 공식에 대체하고 작업을 수행합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

연습 2

다음 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

해결책 보기

우선, 두 평면을 분리하는 거리를 결정하려면 두 평면이 평행한지 확인해야 합니다. 이를 위해 두 계획의 계수 사이의 비례성을 확인합니다.

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

그러나 두 평면의 계수 A, B, C는 비례하지 않고 매개변수 A와 B만 비례합니다. 따라서 두 평면은 평행하지 않고 교차하므로 두 평면 사이의 거리는 0과 같습니다.

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

연습 3

다음 두 평행 평면 사이의 거리를 구합니다.

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

해결책 보기

전경 평면은 파라메트릭 방정식의 형태로 정의되므로 평행한 두 평면 사이의 거리에 대한 직접 공식을 적용하려면 먼저 이를 일반 방정식의 형태로 변환해야 하며 이는 많은 계산과 시간이 소요됩니다. 따라서 해당 평면의 한 점을 선택하고 해당 점에서 다른 평면까지의 거리를 계산하면 더 빠릅니다.

따라서 평면 π ₁ 에 속하는 점의 좌표는 각 매개변수 방정식의 독립 항에 해당합니다.

$P(3,-2,5)$