불연속성의 유형

9월 17, 2023

여기에서는 어떤 유형의 불연속성이 존재하는지 알아볼 수 있습니다. 또한, 모든 유형의 불연속성에 대한 예를 볼 수 있으며, 함수의 불연속 유형에 대한 연습문제를 풀어 연습할 수 있습니다.

모든 유형의 불연속은 무엇입니까?

불연속에는 세 가지 유형이 있습니다.

피할 수 있는 불연속성 : 한 점에서 함수의 측면 극한이 함수 값과 일치하지 않습니다.
불가피한 유한 점프 불연속성 : 한 점에서 함수의 측면 한계가 다릅니다.
불가피한 무한 점프 불연속성 : 함수의 측면 한계 중 하나가 무한대를 제공하거나 존재하지 않습니다.

개념 이해를 마무리하기 위해 각 불연속 유형을 더 자세히 설명하고 세 가지 유형의 불연속을 사용한 함수의 예를 살펴보겠습니다.

피할 수 있는 불연속성

회피가능한 불연속성은 한 점에 경계가 존재하지만 함수의 값과 일치하지 않거나 함수의 이미지가 존재하지 않는 경우 그 점에서 함수를 갖는 불연속의 한 유형입니다.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

이 함수의 측면 극한은 서로 동일하지만 해당 지점에서의 함수 값과 다릅니다. 따라서 이 함수는 피할 수 있는 불연속성을 나타냅니다.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

이전 예의 함수는 x=a에서의 측면 한계가 동일한 값을 갖기 때문에 피할 수 있는 불연속성을 가지지만 이 시점에서는 함수의 이미지가 존재하지 않습니다.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ 참조: 함수의 측면 한계

유한 점프의 불가피한 불연속성

불가피한 유한 점프 불연속성은 해당 지점에서 함수의 측면 한계가 동일하지 않을 때 해당 지점에서 함수를 나타내는 불연속 유형입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

예를 들어, 정의 변경 지점에서 다음 조각으로 정의된 함수의 측면 한계가 다르기 때문에 함수는 해당 지점에서 불가피한 유한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

이러한 유형의 불연속성은 일반적으로 조각별(또는 조각별)로 정의된 함수에 나타납니다.

➤ 참조: 조각별 함수의 연속성

무한 점프 불가피한 불연속성

피할 수 없는 무한 점프 불연속성은 그 지점에서 측방한계 중 하나가 무한하거나 존재하지 않을 때 기능을 하는 불연속의 일종이다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

다음 함수의 왼쪽 극한은 실수를 제공하지만 오른쪽 극한은 무한대를 제공합니다. 따라서 이 기능은 불가피한 무한 점프 불연속성을 나타냅니다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

아래에서 두 측면 한계가 무한대를 제공하므로 함수에 불가피한 무한 점프 불연속성이 있는 그래프 함수를 볼 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

이러한 유형의 불연속성은 일반적으로 유리(또는 분수) 함수 에서 발생합니다.

불연속 유형에 대한 해결 연습

연습 1

x=3 지점에서 다음 조각별 함수의 불연속 유형을 결정합니다.

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

솔루션 보기

함수의 첫 번째 요소의 영역,

$-2x+1$

, 두 번째 작품과 마찬가지로

$4x-5$

, 다항 함수이기 때문에 모두 실수입니다.

따라서 함수가 불연속적일 수 있는 유일한 지점은 조각별 함수의 중지 지점입니다. 따라서 이 단계에서는 측면 한계를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

x=3의 두 측면 한계는 서로 다른 결과를 제공합니다. 따라서 x=3 지점은 불가피한 유한 점프 불연속점입니다.

연습 2

다음 유리 함수가 해당 영역에 속하지 않는 점에서 어떤 유형의 불연속성을 나타내는지 찾아보세요.

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

솔루션 보기

논리적으로 이 연습 문제를 해결하려면 먼저 함수의 영역을 찾아야 합니다. 따라서 이것은 유리함수이므로 분모를 0으로 설정하고 결과 방정식을 풉니다.

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

따라서 함수는 x=-2를 제외한 모든 지점에서 연속이므로 x=-2 지점이 어떤 유형의 불연속인지 살펴보겠습니다. 이를 위해 해당 지점에서 함수의 한계를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

그러나 우리는 0 사이의 불확정성을 0으로 얻으므로 분자와 분모의 다항식을 인수분해하고 단순화합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

이제 한계를 해결합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

결과적으로, x=-2 지점에서 함수의 극한은 존재하며 -4를 제공합니다. 이제 존재하는지 확인해보자

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

함수의 이미지를 계산할 때 불확정성 0/0은 단순화할 수 없으며 해법도 없습니다. 그래서

$f(-2)$

존재하지 않는다.

결론적으로 x=-2에서 함수의 극한은 존재하지만,

$f(-2)$

아니요. 따라서 x=-2는 피할 수 있는 불연속입니다.

연습 3

다음 유리 함수의 연속성을 분석합니다.

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

솔루션 보기

연속함수인지 확인하려면 먼저 정의역을 계산해야 합니다. 따라서 어떤 점이 도메인에 속하지 않는지 확인하기 위해 유리 함수의 분모를 0으로 설정합니다.

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

따라서 함수는 x=5를 제외한 모든 점에서 연속입니다. 따라서 이 시점에서 한계를 계산하여 x=5가 어떤 유형의 불연속인지 살펴보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

우리는 0으로 나눈 숫자의 불확정성을 발견합니다. 따라서 x=5에서 함수의 측면 한계를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

x=5에서 함수의 왼쪽 극한은 마이너스 무한대를 제공하고 오른쪽 극한은 플러스 무한대를 제공합니다. 따라서 함수는 x = 5에서 불가피한 무한 점프 불연속성을 갖습니다. 이 지점에서 적어도 하나의 측면 극한은 무한대 경향이 있기 때문입니다.

연습 4

다음 그래프에 표시된 조각별 함수의 모든 불연속성을 결정합니다.

솔루션 보기

함수를 그리려면 x=-2, x=1, x=4에서 연필을 올려야 합니다. 따라서 함수는 이 세 지점에서 불연속적입니다.

x=-2에서 왼쪽 극한은 +이고 오른쪽 극한은 3입니다. 따라서 측면 극한 중 하나가 무한하기 때문에 함수는 x=-2에서 불가피한 무한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

x=1에서 함수의 극한은 0이고, 반면에 x=1에서 함수의 값은 2와 같습니다. 따라서 함수는 x=1에서 피할 수 있는 불연속성을 나타냅니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

x = 4에서 왼쪽 극한은 -3이고 오른쪽 극한은 1입니다. 따라서 두 측면 극한이 다르고 둘 다 무한대를 제공하지 않으므로 함수는 필연적으로 x =4에서 유한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

연습 5

다음 그래프에 표시된 함수의 점근선과 불연속점을 모두 찾아보세요.

솔루션 보기

점근선

이 함수는 수직선 x=3에 매우 가깝지만 절대 건드리지 않습니다. 또한 x=3에서 왼쪽 측면 극한은 +무한대이고 오른쪽 측면 극한은 -무한대입니다. 따라서 x=3은 수직 점근선입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

수평선 y=-1에서도 같은 일이 발생합니다. 함수는 y=-1에 매우 가까워지지만 절대 교차하지 않습니다. 또한 x가 +무한대에 접근하고 -무한대에 접근할 때 함수의 극한은 -1입니다. 따라서 y=-1은 수평 점근선입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

불연속

x=6에서는 열린 지점이 있기 때문에 기능이 중단됩니다. x가 6에 접근할 때의 한계는 -1.4이지만 f(6)=1입니다. 따라서 함수는 극한 값이 함수 값과 일치하지 않기 때문에 x=6에서 피할 수 있는 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

x=-3에서는 측면 한계가 일치하지 않으며 무한대가 제공되지 않습니다. 따라서 이 함수는 x=-3에서 불가피한 유한 점프 불연속성을 갖습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

그리고 마지막으로 함수는 x = 3에서 불가피한 무한 점프 불연속성을 갖습니다. 이 지점에서 적어도 하나의 측면 극한이 무한대가 되기 때문입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

모든 유형의 불연속은 무엇입니까?

피할 수 있는 불연속성

유한 점프의 불가피한 불연속성

무한 점프 불가피한 불연속성

불연속 유형에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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