두 교차선 사이의 거리(공식)

이 페이지에서는 교차하는 두 선 사이의 거리를 결정하는 방법(공식)을 설명합니다. 또한, 교차하는 선 사이의 거리에 대한 연습 문제를 풀어 예시와 실습을 볼 수 있습니다.

두 개의 교차선은 무엇입니까?

교차하는 두 선 사이의 거리가 어떻게 계산되는지 살펴보기 전에 두 선 사이의 이러한 유형의 상대 위치가 정확히 무엇으로 구성되어 있는지 간단히 생각해 보겠습니다.

교차선이라고도 하는 두 개의 교차선은 서로 다른 방향을 갖고 어떤 지점에서도 교차하지 않는 두 개의 서로 다른 선입니다 . 따라서 두 개의 교차된 선은 동일한 평면에 있지 않습니다.

예를 들어, 선 위의 그래픽 표현에서

$s$

항상 앞서 있다

$r$

, 그래서 그들은 결코 서로 접촉하지 않을 것입니다.

교차하는 두 선 사이의 거리를 계산하는 방법

공간에서 교차하는 두 선 사이의 거리를 결정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이 페이지에서는 가장 쉬운 절차 중 하나에 대해서만 설명하겠습니다. 왜냐하면 다른 두 가지 방법은 더 길고 복잡하기 때문에 실제로 거의 사용되지 않기 때문입니다.

방향 벡터와 교차하는 두 선의 임의의 점을 다음과 같이 설정합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

금

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

벡터의 혼합 곱의 절대값입니다.

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

점으로 정의된 벡터

$A$

그리고

$B$

. 그리고 다른 한편으로는,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

는 교차하는 두 선의 방향 벡터의 벡터 곱의 크기입니다.

따라서 교차하는 두 선 사이의 거리를 구하려면 삼중 내적 (또는 세 벡터의 혼합 곱)과 벡터 곱 (또는 두 벡터의 벡터 곱)을 계산하는 방법을 알아야 합니다. 이전 링크에서 이 작업이 어떻게 수행되었는지 검토할 수 있으며 해당 공식, 예제 및 해결된 연습 문제를 찾을 수 있습니다.

교차하는 두 선 사이의 거리를 찾는 방법의 예

두 개의 교차 선 사이의 거리를 결정하는 방법을 볼 수 있도록 예를 들어 문제를 해결하겠습니다.

다음 두 교차선 사이의 거리는 얼마입니까?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

먼저 방향 벡터와 각 선의 점을 식별해야 합니다. 따라서 두 선은 연속 방정식의 형태로 표현됩니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

이제 교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식을 적용합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

한편으로 우리는 혼합 제품을 해결합니다.

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

그리고 다른 한편으로 우리는 벡터 곱의 크기를 찾습니다:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

마지막으로 교차된 두 선 사이의 거리를 공식의 각 항 값으로 대체합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

두 교차선 사이의 거리 문제 해결

연습 1

한 점에서 교차하는 다음 두 선 사이의 거리를 구합니다.

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

해결책 보기

먼저 방향 벡터와 각 선의 점을 찾아야 합니다. 두 선은 연속 방정식의 형태로 정의됩니다. 따라서 다음과 같습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

이제 교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식을 사용합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

혼합 제품을 결정합니다.

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

다음으로 교차곱의 크기를 계산합니다.

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

마지막으로 교차하는 두 선 사이의 거리를 공식의 각 항 값으로 대체합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

연습 2

교차하는 두 선 사이의 거리를 계산합니다.

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

해결책 보기

먼저 방향 벡터와 각 선의 점을 식별해야 합니다. 따라서 두 선은 연속 방정식의 형태로 표현됩니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

이제 교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식을 사용합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

혼합 제품을 결정합니다.

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

다음으로 교차곱의 크기를 계산합니다.

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

마지막으로 교차된 두 선 사이의 거리에 대한 공식의 각 미지수 값을 대체합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

연습 3

교차하는 두 선 사이의 거리를 구합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

해결책 보기

먼저 방향 벡터와 각 선의 점을 찾아야 합니다. 권리

$r$

매개변수 방정식과 선의 형태로 되어 있습니다.

$s$

따라서 벡터 방정식 형식에서는 다음과 같습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

이제 교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식을 사용합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

삼중 스칼라 곱을 결정합니다.

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

다음으로 교차곱의 크기를 계산합니다.

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

마지막으로 교차하는 두 선 사이의 거리를 공식의 각 항 값으로 대체합니다.

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

두 개의 교차선은 무엇입니까?

교차하는 두 선 사이의 거리를 계산하는 방법

교차하는 두 선 사이의 거리를 찾는 방법의 예

두 교차선 사이의 거리 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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