평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식

일반 방정식 또는 데카르트 방정식이라고도 알려진 암시적 평면 방정식(공식)이 계산되는 방법에 대한 설명입니다. 또한 법선 벡터에서 평면의 방정식을 찾는 방법도 알아봅니다. 게다가 단계별로 해결되는 예제와 연습문제도 볼 수 있습니다.

계획의 암묵적이거나 일반적인 방정식은 무엇입니까?

해석기하학에서 평면의 일반 방정식 또는 데카르트 방정식이라고도 불리는 평면의 암시적 방정식은 모든 평면을 수학적으로 표현할 수 있는 방정식입니다. 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 찾으려면 점과 해당 평면에 속하는 두 개의 선형 독립 벡터가 필요합니다.

계획의 암시적 또는 일반 방정식의 공식

평면의 점과 두 방향 벡터를 고려하십시오.

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음 행렬식을 풀고 결과를 0으로 설정하여 얻습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

따라서 결과 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

공식의 두 벡터가 서로 선형 독립이라는 것이 중요합니다. 즉, 방향이 달라야 합니다. 그리고 이 조건이 충족되려면 두 벡터가 평행하지 않은 것만으로도 충분합니다.

이 공식의 이유를 알 필요는 없지만 아래에서 그 데모를 볼 수 있습니다.

계획의 매개변수 방정식에서 시작하여 계획의 암시적(또는 일반) 방정식으로 넘어갑니다.

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

먼저, 각 매개변수 방정식의 독립항을 방정식의 반대편에 전달합니다.

$\displaystyle \begin{cases}x-P_x= \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y-P_y = \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z-P_z = \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

또는 이에 상응하는 것:

$\displaystyle \begin{cases} \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x =x-P_x\\[1.7ex] \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y=y-P_y \\[1.7ex] \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z =z-P_z\end{cases}$

위의 방정식 시스템이 실행 가능한 해를 가지려면 다음 행렬의 순위가 2와 같아야 합니다(Rouche-Frobenius 정리).

$\displaystyle\begin{pmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z\end{pmatrix}$

따라서 이전 행렬의 범위가 2여야 한다면 3×3 행렬식은 반드시 0과 같아야 합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

그리고 이 행렬식을 풀면 평면의 일반, 암시적 또는 데카르트 방정식을 얻을 수 있습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

따라서 우리는 방금 평면의 암시적(또는 일반) 방정식과 매개변수 방정식을 살펴보았습니다. 그러나 벡터 방정식 및 표준 방정식과 같이 평면을 분석적으로 표현하는 훨씬 더 많은 방법이 있습니다. 이 링크에서 계획에 포함된 모든 방정식 의 공식과 설명을 볼 수 있습니다.

평면의 암시적 또는 일반 방정식을 찾는 방법의 예

예를 통해 평면의 암시적(또는 일반 또는 데카르트) 방정식을 결정하는 방법을 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 구합니다.
$P(3,1,-1)$

그리고 벡터를 포함합니다

$\vv{\text{u}}=(2,0,3)$

그리고

$\vv{\text{v}}=(4,-1,2).$

평면의 일반 방정식 또는 암시적 방정식을 계산하려면 두 벡터, 변수 및 점의 좌표로 구성된 다음 행렬식을 풀어야 합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

따라서 벡터와 점을 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z-(-1) \end{vmatrix} =0$

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z+1 \end{vmatrix} =0$

이제 예를 들어 Sarrus 규칙이나 보조인자(또는 대리인)를 사용하여 차수 3의 행렬식을 해결합니다.

$-2(z+1)+12(y-1)+3(x-3)-4(y-1) = 0$

이제 용어를 운영하고 그룹화합니다.

$3(x-3)+8(y-1) -2(z+1) = 0$

$3x-9+8y-8 -2z-2 = 0$

$3x+8y-2z-19 = 0$

따라서 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{3x+8y-2z-19 = 0}$

법선 벡터로부터 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 계산합니다.

평면 방정식의 매우 일반적인 문제는 점과 해당 법선(또는 수직) 벡터가 주어지면 주어진 평면의 방정식이 어떻게 보이는지 찾는 것입니다. 그럼 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

그러나 먼저 평면에 수직인 벡터의 구성 요소 X, Y, Z 가 해당 평면의 암시적(또는 일반) 방정식의 계수 A, B, C와 각각 일치한다는 것을 알아야 합니다.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

금

$\vv{n}$

는 평면에 직교하는 벡터이다

$\pi.$

이전 관계를 알고 나면 이러한 유형의 평면 방정식 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 결정합니다.
$P(1,0,-2)$

법선 벡터 중 하나는 다음과 같습니다.

$\vv{n}=(3,-1,2) .$

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

따라서 법선 벡터에서 법선 벡터의 구성 요소와 동일하기 때문에 계수 A, B 및 C를 찾을 수 있습니다.

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

매개변수 D만 찾으면 됩니다. 이를 위해 평면에 속하는 점의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

따라서 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

평면의 암시적 또는 일반 방정식 문제 해결

연습 1

점을 통과하는 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 구합니다.

$P(-2,1,3)$

그리고 벡터를 포함합니다

$\vv{\text{u}}=(4,1,3)$

그리고

$\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

해결책 보기

평면의 일반 방정식 또는 암시적 방정식을 계산하려면 두 벡터, 세 변수 및 점의 좌표로 구성된 다음 행렬식을 풀어야 합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

따라서 벡터와 점을 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

이제 선택한 방법을 사용하여 3×3 행렬의 행렬식을 풉니다.

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

마지막으로 작업을 수행하고 유사한 용어를 그룹화합니다.

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

따라서 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

연습 2

점이 있는지 판단

$P(-1,5,-3)$

다음 계획에 속합니다.

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

해결책 보기

점이 평면에 있으려면 해당 방정식을 검증해야 합니다. 따라서 점의 데카르트 좌표를 평면 방정식으로 대체하고 방정식이 충족되는지 확인해야 합니다.

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

점은 평면의 방정식을 따르지 않으므로 이 평면의 일부가 아닙니다.

연습 3

다음 세 가지 사항을 포함하는 계획의 암시적(또는 일반) 방정식을 찾으십시오.

$A(5,-1,-2) \qquad B(2,1,3) \qquad C(4,1,-2)$

해결책 보기

평면의 암시적 방정식을 찾으려면 평면에 결합하는 두 개의 선형 독립 벡터를 찾아야 합니다. 그리고 이를 위해 3개의 점으로 정의되는 두 개의 벡터를 계산할 수 있습니다.

$\vv{AB} = B - A = (2,1,3) - (5,-1,-2) = (-3,2,5)$

$\vv{AC} = C - A = (4,1,-2) - (5,-1,-2) = (-1,2,0)$

발견된 두 벡터의 좌표는 비례하지 않으므로 사실상 서로 선형 독립입니다.

이제 우리는 이미 두 개의 방향 벡터와 평면의 한 점을 알고 있으므로 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 이미 적용할 수 있습니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

벡터와 세 점 중 하나를 공식에 대체합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}-3 & -1 & x-5 \\[1.1ex]2 & 2 & y+1 \\[1.1ex]5& 0 & z+2 \end{vmatrix} =0$