과장법: 정의, 공식, 요소, 방정식, 예,…

여기에서 쌍곡선에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 그것이 무엇인지, 특징적인 요소는 무엇인지, 방정식을 찾는 방법, 예제, 해결된 연습문제 등.

과장법이란 무엇입니까?

쌍곡선은 두 가지 가지가 있는 열린 곡선으로, 수학적 정의는 다음과 같습니다.

분석 기하학에서 쌍곡선은 다음 조건을 충족하는 평면 위 점의 궤적입니다. 쌍곡선의 임의 점과 두 고정점(초점이라고 함) 사이의 거리 차이의 절대값은 일정해야 합니다.

더욱이, 이 두 거리를 뺀 값은 항상 쌍곡선의 두 꼭지점 사이의 거리와 동일합니다.

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

아래에서는 계수가 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다.

$a$

과장법의.

또한 쌍곡선은 원주, 타원 및 포물선과 함께 원뿔이라고 불리는 기하학적 그룹의 일부입니다. 따라서 쌍곡선은 원뿔 단면, 즉 원뿔에서 얻을 수 있습니다.

특히, 쌍곡선은 회전축에 대해 원뿔 생성기에 의해 형성된 각도보다 작은 각도를 가진 평면으로 원뿔을 단면화한 결과입니다.

쌍곡선의 요소

쌍곡선의 특성은 다음에 따라 달라집니다.

초점 : 이는 각 쌍곡선의 특징인 두 개의 고정점입니다(아래 그래프의 점 F 및 F’). 쌍곡선의 한 점에서 각 초점까지의 거리 차이의 절대값은 일정하며 다음과 같습니다.
$2a.$
초점 또는 주축 : 쌍곡선의 두 초점을 통과하는 선입니다. 이는 상기 기하학적 도형의 대칭축에 해당합니다. 가로축 또는 가로축이라고도 합니다.
보조 축 : 세그먼트 FF'(점 B와 B’를 통과하는 선)의 이등분선입니다. 또한 초점축에 수직인 선이며 쌍곡선의 또 다른 대칭축이다.
중심(O) : 두 축의 교차점과 두 정점과 두 초점의 중간점입니다. 쌍곡선은 두 개의 대칭축을 가지므로 대칭중심이기도 합니다.
정점(A 및 A’) : 쌍곡선 가지와 초점 축의 교차점입니다.
벡터 광선(R) : 쌍곡선의 임의 지점에서 각 초점으로 이동하는 세그먼트입니다.
초점 거리 : 두 초점 사이의 합성 세그먼트의 길이입니다.
장축 또는 실제 축: A 지점에서 A’ 지점으로 가는 세그먼트이며 길이는 다음과 같습니다.
$2a.$
작은 축 또는 가상 축: B 지점에서 B’ 지점으로 가는 세그먼트이며 길이는 다음과 같습니다.
$2b.$
점근선 : 그래프에 표시된 점선입니다. 아래에서 계산 방법을 살펴보겠습니다.

쌍곡선 요소 간의 관계

먼저, 반축(semi-axis)은 축의 절반을 의미한다고 합니다. 예를 들어, 실제 반축은 점 A에서 쌍곡선의 중심까지 가는 선분이며, 그 길이는 다음과 같습니다.

$a.$

따라서 실제 반축, 가상 반축 및 반초점 거리 사이에는 매우 중요한 관계가 있습니다. 실제로 우리가 다음에 추론해 볼 공식은 쌍곡선 연습이나 문제를 해결하는데 많이 사용됩니다.

쌍곡선의 점 B와 B’는 주축과 반지름의 가상원의 교차점에 해당한다는 것을 알아야 합니다.

$c$

(반초점 거리) 중심에서 점 A까지. 따라서 다음 그래픽 표현에서 볼 수 있듯이 점 A와 점 B를 연결하는 선분은 해당 원의 반경(

$c$

따라서 피타고라스 정리를 통해 매개변수 간의 관계를 증명할 수 있습니다.

$a, b$

그리고

$c$

다음과 같습니다:

$c^2 = a^2+b^2$

쌍곡선 방정식

쌍곡선 방정식에는 여러 유형이 있습니다. 그 속성에 따라 수학적으로 표현하는 데 사용되는 방정식이 있기 때문입니다. 다음으로 각각을 자세히 분석해보겠습니다.

먼저, 쌍곡선의 일반 방정식이 있습니다. 둘째, 우리는 일반 방정식의 변형을 볼 것입니다. 이것은 쌍곡선의 축소된 또는 정식 방정식 입니다. 다음으로 쌍곡선의 일반방정식은 어떻게 되는지 공부하겠습니다. 그리고 마지막으로 쌍곡선의 두 가지 특별한 경우, 즉 등변 쌍곡선 과 켤레 쌍곡선 의 방정식을 분석하겠습니다.

쌍곡선의 일반 방정식

좌표 원점(점 (0,0))에 외부 중심이 있는 쌍곡선을 방정식으로 정의하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

데카르트 좌표계의 쌍곡선 일반 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

금:

$x_0$

그리고

$y_0$

쌍곡선 중심의 좌표는 다음과 같습니다.

$O(x_0,y_0)$
$a$

쌍곡선의 장반경의 길이입니다.
$b$

쌍곡선의 반단축의 길이입니다.

이 방정식을 사용하면 초점 축이 수평(왼쪽과 오른쪽으로 열린 가지)인 쌍곡선을 설명할 수 있습니다. 이는 일반적으로 쌍곡선과 같습니다. 그러나 수직 초점 축(가지가 위에서 아래로 열려 있음)으로 작업하는 경우 음수 부호는 변수 y에서 변수 x 로 전달됩니다.

$\cfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\cfrac{(x-x_0)^2}{b^2} = 1$

금

$x_0$

그리고

$y_0$

이전과 마찬가지로 쌍곡선 중심의 좌표와 항

$a$

그리고

$b$

이전과 달리 이 두 축은 이제 각각 수직 및 수평 방향을 향하게 되지만 여전히 쌍곡선의 장반축과 단축입니다.

쌍곡선의 정식 또는 축소 방정식

이러한 유형의 쌍곡선 방정식은 일반 방정식과 매우 유사하지만, 유일한 차이점은 중심이 (0,0)인 쌍곡선을 분석적으로 표현하는 데 표준 방정식을 사용한다는 것입니다. 그러므로 쌍곡선의 중심이 좌표의 원점일 때 쌍곡선의 정식 또는 축소 방정식을 사용합니다.

이제 우리는 일반 방정식으로부터 쌍곡선의 축소 방정식에 대한 공식을 추론할 것입니다:

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

쌍곡선의 중심이 좌표의 원점, 즉 점 (0,0)이 되어야 한다면 다음은 항상 참입니다:

$x_0 = 0$

$y_0 = 0$

따라서 쌍곡선의 정식 또는 축소 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\color{orange} \boxed{\color{black}\qquad\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1 \vphantom{\cfrac{\vphantom{\Bigl(}}{\vphantom{\Bigl(}}}\qquad }$

이전과 마찬가지로 초점 축이 수평이 아닌 수직인 경우 음수 변수는 x 가 됩니다.

$\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2} = 1$

쌍곡선의 일반 방정식

쌍곡선의 일반 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$Ax^2 +Bxy+Cy^2 +Dx+Ey+F =0$

그러나 위 방정식이 쌍곡선이 되기 위해서는 계수가 다음과 같습니다.

$A$

그리고

$C$

이는 0과 달라야 하며 동시에 반대 부호를 가져야 합니다.

등변 쌍곡선 방정식

정쌍곡선은 실수 반축의 길이가 허수 반축의 길이와 동일한 쌍곡선입니다. 이는 다음을 의미합니다.

$a=b.$

따라서 등변 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{a^2} = 1$

추가적으로, 등변 쌍곡선의 점근선은 서로 수직입니다. 그리고 이 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$y=x$

$y=-x$

주의 깊게 살펴보면 이 두 방정식은 각각 제1(및 제3)사분면과 제2(및 제4)사분면의 이등분선입니다. 따라서 정쌍곡선을 왼쪽으로 45° 회전하면 점근선이 좌표축의 위치를 차지합니다.

따라서 45° 회전할 때 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.

$x\cdot y = \cfrac{a^2}{k}$

공액 쌍곡선

한 쌍곡선의 실수 축이 다른 쌍곡선의 허수 축과 같을 경우 두 쌍곡선은 공액이 됩니다 . 따라서 두 켤레 쌍곡선 방정식 간의 유일한 차이점은 분모의 계수가 동일하게 유지되어야 하기 때문에 어떤 변수가 부정되는지입니다.

다음은 서로 공액된 두 쌍곡선 방정식의 예입니다.

$\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2}=1 \qquad \qquad \cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{x^2}{a^2} =1$

추가적으로, 그래프로 표시된 쌍곡선에서 볼 수 있듯이, 켤레 쌍곡선은 동일한 점근선을 공유합니다.

쌍곡선의 점근선

이전 그래프에서 보았듯이 각 쌍곡선에는 두 개의 점근선이 있습니다. 점근선은 함수에 매우 가깝지만 결코 교차하거나 닿지 않는 직선이라는 것을 기억하세요.

따라서 쌍곡선의 점근선에 해당하는 공식은 다음과 같습니다.

$y= \cfrac{b}{a} x$

$y= -\cfrac{b}{a}x$

모든 쌍곡선의 점근선은 해당 계수를 사용하여 쉽게 결정할 수 있습니다.

$a$

그리고

$b,$

이는 각각 쌍곡선의 실수 반축과 허수 반축의 길이입니다.

쌍곡선의 이심률

쌍곡선의 이심률은 쌍곡선이 얼마나 열려 있는지 또는 닫혀 있는지를 결정하는 특성 매개변수입니다. 수치적으로 쌍곡선의 이심률은 절반 초점 거리를 실제 절반 축으로 나누어 계산됩니다.

$e=\cfrac{c}{a}$

쌍곡선의 이심률은 항상 1보다 큽니다.

$e>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”40″ style=”vertical-align: -2px;”></p> </p> <p> 이 매개변수의 값은 주어진 쌍곡선의 모양을 나타내기 때문에 매우 관련성이 높습니다. 쌍곡선의 이심률이 1에 가까울수록 가지가 더 닫혀집니다. 반면에 이심률의 값이 클수록 해당 분기가 더 많이 열립니다. </p> <figure class=$

마지막으로, 등변 쌍곡선의 이심률은 항상 다음과 같다는 점에 유의해야 합니다.

$\sqrt{2}.$

쌍곡선 문제 해결

아래에서는 쌍곡선과 쌍곡선 방정식의 문제와 해결 연습에서 본 개념을 연습할 수 있습니다.

연습 1

중심이 점(-1.3)이고 실수 반축의 길이가 3단위이고 허수 반축의 길이(Y축에 평행한)가 7단위인 쌍곡선의 방정식은 무엇입니까?

해결책 보기

쌍곡선의 방정식을 찾으려면 쌍곡선의 일반 방정식에 대한 공식을 적용하면 됩니다.

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

쌍곡선 중심의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

$\cfrac{(x-(-1))^2}{a^2}-\cfrac{(y-3)^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{(x+1)^2}{a^2}-\cfrac{(y-3)^2}{b^2} = 1$

그리고 마지막으로 미지수의 값을 대체합니다.

$a$

그리고

$b:$

$\cfrac{(x+1)^2}{3^2}-\cfrac{(y-3)^2}{7^2} = 1$

$\cfrac{\bm{(x+1)^2}}{\bm{9}}\bm{-}\cfrac{\bm{(y-3)^2}}{\bm{49}} \bm{= 1}$

연습 2

방정식이 다음과 같이 정의되는 쌍곡선의 중심, 꼭짓점, 초점, 이심률 값 및 점근선의 좌표를 찾습니다.

$\cfrac{x^2}{25}-\cfrac{y^2}{144} = 1$

해결책 보기

우선, 방정식의 음수 변수는 변수 y 이므로 쌍곡선의 가지가 오른쪽과 왼쪽(X축에 평행한 초점 축)으로 열립니다.

둘째, 방정식은 쌍곡선의 표준(또는 축소) 방정식에 해당하므로 중심이 좌표의 원점입니다.

$\bm{O(0,0)}$

쌍곡선의 중심을 알고 나면 다른 모든 것을 계산하려면 실제 반축(매개변수)의 값을 찾아야 합니다.

$a$

) 및 가상의 반축(매개변수

$b$

). 우리는 쌍곡선의 정식(또는 축소) 방정식의 공식으로부터 두 가지를 추론할 수 있습니다:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{25}-\cfrac{y^2}{144} = 1$

$a^2 = 25$

$a = \sqrt{25}$

$a = 5$

$b^2 = 144$

$b= \sqrt{144}$

$b = 12$

따라서 중심과 꼭지점 사이의 거리가 5단위인 경우 쌍곡선의 꼭지점은 다음과 같습니다.

$\bm{A(-5,0) \qquad A'(5,0)}$

각 초점의 좌표를 결정하려면 절반 초점 거리(매개변수) 값을 알아야 합니다.

$c$

). 그리고 이를 위해 쌍곡선의 요소를 연결하는 공식을 사용할 수 있습니다.

$c^2 = a^2+b^2$

$c = \sqrt{a^2+b^2}$

$c = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} =13$

따라서 중앙과 집 사이에는 13유닛의 공간이 있습니다. 따라서 각 가구의 좌표는 다음과 같습니다.

$\bm{F(-13,0) \qquad F'(13,0)}$

그런 다음 쌍곡선의 이심률을 계산하려면 해당 공식을 사용해야 합니다.

$e= \cfrac{c}{a} = \cfrac{13}{5} = \bm{2,6}$

그리고 마지막으로 우리는 공식을 사용하여 쌍곡선의 점근선을 찾습니다.

$y= \cfrac{b}{a} x \ \longrightarrow \ \bm{y=}\mathbf{\cfrac{12}{5}}\bm{ x}$

$y= -\cfrac{b}{a}x \ \longrightarrow \ \bm{y=-}\mathbf{\cfrac{12}{5}}\bm{ x}$

연습 3

쌍곡선의 한 점에서 초점 F(-4.0)과 F(4.0)까지의 거리 차이가 6 단위임을 알고 좌표의 원점을 중심으로 하는 쌍곡선 방정식을 계산합니다.

해결책 보기

첫째, 쌍곡선의 중심은 좌표 원점에 있으므로 표준 방정식 또는 축소 방정식을 사용합니다.

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

그런 다음 쌍곡선의 정의에 따르면 점 중 하나에서 초점까지의 거리 차이의 절대값(이 경우 6)은 실제 축의 길이와 같아야 합니다(

$2a$

). 아직:

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

$6 = 2a$

$\cfrac{6}{2} = a$

$3 = a$

반면 쌍곡선의 중심은 점(0,0)이고 초점은 점(4,0)입니다. 두 지점까지의 거리(매개변수)

$c$

)은 4개 단위입니다.

$c =4$

이제 매개변수의 값을 알 수 있습니다.

$b$

쌍곡선의 3가지 특성 계수 사이의 수학적 관계는 다음과 같습니다.

$c^2 = a^2+b^2$

$b^2 = c^2-a^2$

$b = \sqrt{c^2-a^2}$

$b= \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} =\sqrt{7}$

따라서 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{3^2}-\cfrac{y^2}{\left(\sqrt{7}\right)^2} = 1$

$\cfrac{\bm{x^2}}{\bm{9}}-\cfrac{\bm{y^2}}{\bm{7}} \bm{= 1}$

과장법이란 무엇입니까?

쌍곡선의 요소

쌍곡선 요소 간의 관계

쌍곡선 방정식

쌍곡선의 일반 방정식

쌍곡선의 정식 또는 축소 방정식

쌍곡선의 일반 방정식

등변 쌍곡선 방정식

공액 쌍곡선

쌍곡선의 점근선

쌍곡선의 이심률

쌍곡선 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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