점과 선 사이의 거리

여기에서는 점과 선 사이의 거리를 계산하는 데 사용되는 공식을 찾을 수 있습니다. 또한 점과 선 사이의 거리에 대한 몇 가지 예와 해결 방법을 볼 수 있으며 심지어 이 작업의 응용 프로그램(예: 평행선 사이의 거리 찾기)도 볼 수 있습니다.

점과 선 사이의 거리를 구하는 공식

점과 선 사이의 거리는 해당 점과 선 사이의 최단 거리입니다. 수학적으로 이 최소 거리는 점에서 선까지 그려지고 선에 수직인 선분의 길이와 동일합니다.

점과 선 사이의 거리에 대한 기하학적 개념을 살펴본 후, 해당 거리를 계산하는 데 사용되는 공식이 무엇인지 살펴보겠습니다.

선의 암시적(또는 일반) 방정식과 평면 위의 모든 점의 좌표를 고려하면 다음과 같습니다.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad P(p_x,p_y)$

점과 선 사이의 거리를 구하는 공식은 다음 과 같습니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

중요: 공식에서 선의 방정식은 암시적(또는 일반) 방정식의 형태이므로 다른 유형의 방정식으로 표현된 선이 있는 경우 먼저 암시적 방정식에 전달한 다음 이를 전달해야 합니다. 우리는 공식을 적용할 수 있습니다.

점과 선 사이의 거리를 계산하는 예

아래에서는 점과 선 사이의 거리를 계산하는 예를 볼 수 있습니다.

점 사이의 거리를 구하세요.
$P$

그리고 법

$r:$

$P(2,-1) \qquad \qquad r: \ 3x+4y-5=0$

점과 선 사이의 거리를 계산하려면 다음 공식을 적용하면 됩니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

이제 각 용어를 해당 값으로 바꿉니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot 2 + 4\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+4^2}}$

그리고 마지막으로 거리를 계산합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 6 -4-5\rvert}{\sqrt{9+16}} =\cfrac{\lvert -3 \rvert}{\sqrt{25}} = \mathbf{\cfrac{3}{5}}$

두 평행선 사이의 거리

선과 점 사이의 거리를 계산하는 응용 프로그램 중 하나는 평행선 사이의 거리를 찾는 것입니다.

당연히, 아래에서 설명할 개념을 이해하려면 평행선이 무엇인지 알아야 하므로, 평행선의 정의를 정확히 모르실 경우 자세히 설명하는 링크를 남겨드리며, 예시도 보실 수 있습니다. 평행선의.

두 평행선 사이의 거리를 찾으려면 두 선 중 하나의 점을 선택하고 해당 점에서 다른 선까지의 거리를 계산하면 됩니다.

따라서 두 평행선 사이의 거리를 결정하려면 선과 점 사이의 거리 공식도 사용됩니다.

반면, 공식을 사용하여 거리가 0 단위가 되면 이는 선이 어떤 지점에서 서로 접촉하므로 선이 평행하지 않고 교차하거나 일치하거나 수직임을 의미합니다. 원하는 경우 당사 웹사이트에서 이러한 유형의 라인 간의 차이점을 확인할 수 있습니다.

그럼 예를 통해 두 평행선 사이의 거리 문제를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 두 평행선 사이의 거리를 구합니다.

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

가장 먼저 해야 할 일은 선 중 하나(원하는 선)에 점을 찍는 것입니다. 이 경우 선 위의 점을 계산하겠습니다.

$s.$

이렇게 하려면 변수 중 하나에 값을 지정해야 합니다. 예를 들어 다음을 수행합니다.

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

이제 다른 변수(

$y$

) 이 시점에서 그것이 얼마나 가치가 있는지 알기 위해 얻은 방정식:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

따라서 직선에서 얻은 점은

$s$

동쪽:

$P(0,-2)$

그리고 선 위에 이미 점이 있으면 다음 공식을 사용하여 해당 점에서 다른 선까지의 거리를 계산합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

점과 선 사이의 거리 문제 해결

연습 1

점 사이의 거리 계산

$P$

그리고 법

$r:$

$P(4,2) \qquad \qquad r: \ 5x-3y+6=0$

해결책 보기

점과 선 사이의 거리를 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

각 항을 해당 값으로 바꾸고 거리를 계산합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 5\cdot 4 + (-3)\cdot 2+6\rvert}{\sqrt{5^2+(-3)^2}}=\cfrac{20}{\sqrt{34}}= \bm{3,43}$

연습 2

점 사이의 거리는 얼마나 됩니까?

$P$

그리고 법

$r$

$P(-3,-1) \qquad \qquad r: \ y=-3x+5$

해결책 보기

이 경우 직선의 방정식은 암시적(또는 일반) 형식입니다. 대신, 점에서 선까지의 거리 공식을 사용하려면 선을 암시적 방정식으로 표현해야 합니다. 따라서 먼저 선을 변환하여 암시적 방정식에 전달해야 합니다(방정식의 같은 쪽에 있는 모든 항을 전달하기만 하면 됩니다).

$r: \ 3x+y-5=0$

그리고 선이 이미 명시적인 형태로 되어 있으면 이제 점과 선 사이의 거리에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

따라서 각 항을 해당 값으로 대체하고 거리를 계산합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot (-3) + 1\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+1^2}}=\cfrac{\lvert -9-1-5\rvert}{\sqrt{9+1}}=\cfrac{15}{\sqrt{10}}= \bm{4,74}$

연습 3

다음 두 선 사이의 거리는 얼마입니까?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

해결책 보기

먼저, 이것이 두 개의 평행선인지 확인하겠습니다. 이를 위해 변수의 계수

$x$

그리고

$y$

서로 비례해야 하지만 독립 항에는 비례하지 않아야 합니다.

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

실제로 선은 평행하므로 이 절차를 적용할 수 있습니다.

이제 선 중 하나(원하는 선)에서 점을 가져와야 합니다. 이 경우 선 위의 점을 계산하겠습니다.

$s.$

이렇게 하려면 변수 중 하나에 값을 할당해야 합니다. 예를 들어 다음을 수행합니다.

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

이제 다른 변수(

$y$

) 이 시점에서 그 값을 알기 위해 얻은 방정식:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

그래서 선에서 얻은 점은

$s$

동쪽:

$P(0,-1)$

선의 한 점을 알고 나면 다음 공식을 사용하여 해당 점에서 다른 선까지의 거리를 계산합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

연습 4

미지의 가치를 계산하다

$k$

그래서 점 사이의 거리가

$P$

그리고 법

$r$

즉 5개 단위.

$P(-2,5) \qquad \qquad r: \ 12x-5y+k=0$

해결책 보기

먼저 점과 선 사이의 거리에 대한 공식을 적용해야 합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

이제 각 항을 해당 값으로 바꾸고 표현식을 단순화합니다.

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 12\cdot (-2) + (-5)\cdot 5+k\rvert}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}= \cfrac{\lvert -24-25+k\rvert}{\sqrt{169}}=\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}$

문제 설명은 점과 선 사이의 거리가 5와 같아야 함을 알려주므로 이전 표현식을 5와 동일하게 만듭니다.

$\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}=5$

그리고 우리는 결과 방정식을 푼다. 분수의 분자에는 절대값이 있으므로 절대값이 양수일 때와 음수일 때를 별도로 분석해야 합니다.

$\cfrac{+(-49+k)}{13}=5$

$-49+k= 5 \cdot 13$

$-49+k= 65$

$k= 65+49$

$\bm{k= 114}$

$\cfrac{-(-49+k)}{13}=5$

$49-k= 5 \cdot 13$

$49-k= 65$

$49-65=k$

$\bm{-16=k}$

따라서 두 가지 가능한 값이 있습니다.

$k$

옳은:

$k=114$

어느 하나

$k=-16.$

점과 선 사이의 거리를 구하는 공식

점과 선 사이의 거리를 계산하는 예

두 평행선 사이의 거리

점과 선 사이의 거리 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

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