수직선(수직도) -

이 페이지에서는 수직선에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 수직선이 무엇인지, 두 선이 수직일 때, 다른 선에 수직인 선을 계산하는 방법, 속성 등… 또한 예를 볼 수 있으며 다음을 수행할 수 있습니다. 단계별로 풀어보는 연습문제로 연습해보세요.

두 개의 수직선은 무엇입니까?

수학에서 두 직선은 4개의 동일한 직각(90°)을 이루는 한 점에서 교차할 때 수직입니다.

또한 두 수직선의 방향 벡터도 수직이어야 합니다.

두 선의 직각도는 일반적으로 기호로 표시됩니다.

$\perp .$

반면에, 평면에서는 두 선 사이의 상대 위치 개념에 4가지 가능성이 있다는 것을 기억하십시오. 두 선은 분할, 수직, 일치 또는 평행할 수 있습니다. 원하시면 당사 웹사이트에서 각 선 종류의 의미를 확인하실 수 있습니다.

두 선이 수직인지 어떻게 알 수 있나요?

두 선이 수직인지 확인하는 방법 에는 방향 벡터를 사용하거나 기울기를 사용하는 두 가지 방법이 있습니다. 아래에는 두 가지 방법에 대한 설명이 있습니다. 비록 동일한 목적을 제공하지만 각각 선을 표현하는 방식에 따라 다르기 때문에 두 가지 방법을 모두 수행하는 방법을 알아 두는 것이 좋습니다.

선의 방향 벡터로부터

두 선이 수직인지 확인하는 한 가지 방법은 해당 선의 방향 벡터를 사용하는 것입니다. 방향 벡터는 선의 방향을 나타내는 벡터라는 것을 기억하세요.

두 수직선의 방향 벡터도 서로 직교합니다. 따라서 두 직선의 방향 벡터의 내적이 0이면 두 직선이 수직임을 의미합니다.

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s =0 \quad \longrightarrow \quad r \perp s$

예를 사용하여 두 선의 직각도가 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=3-2t \\[2ex] y=6+3t \end{cases}\qquad \qquad s: \ \begin{cases} x=4+3t \\[2ex] y=-2+2t \end{cases}$

두 선 모두 파라메트릭 방정식으로 표현되므로 각 선의 방향 벡터의 성분은 매개변수 앞의 숫자가 됩니다.

$t:$

$\vv{\text{v}}_r =(-2,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}_s=(3,2)$

각 선의 방향 벡터를 알고 나면 벡터 간의 곱을 계산하여 수직인지 확인합니다.

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s = (-2,3)\cdot (3,2) = -2\cdot 3 +3\cdot 2= \bm{0}$

두 벡터의 내적은 0이므로 선은 수직입니다.

라인 경사

두 선이 수직인지 확인하는 또 다른 방법은 기울기를 사용하는 것입니다. 선의 기울기가 계수라는 것을 기억하세요.

$m$

명시적 방정식과 선의 점-기울기 방정식.

$y=mx+n \qquad \qquad y-y_0=m(x-x_0)$

그리고 선의 기울기는 계수로부터 얻을 수도 있습니다.

$A$

그리고

$B$

선의 암시적(또는 일반) 방정식:

$Ax+By+C= 0 \ \longrightarrow \ m = -\cfrac{A}{B}$

따라서 두 수직선의 기울기는 역이고 부호가 반대입니다. 즉, 다음 동등성이 항상 충족됩니다.

$r \perp s \quad \longrightarrow \quad m_r=-\cfrac{1}{m_s}$

따라서 서로 다른 두 선의 기울기의 곱이 -1이면 선이 수직임을 의미합니다.

$m_r\cdot m_s=-1\quad \longrightarrow \quad r \perp s$

예를 들어, 다음 두 선은 수직입니다.

$r: \ y=2x+4 \qquad \qquad s: \ y=-\cfrac{1}{2} \ x-5$

우리는 그것들이 그들의 기울기로부터 서로 수직인 두 개의 선임을 보여줄 수 있습니다. 각 선의 기울기는 다음과 같습니다.

$m_r = 2 \quad \quad m_s=-\cfrac{1}{2}$

이제 기울기를 곱합니다.

$\displaystyle 2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right) = -\cfrac{2}{2} = \bm{-1}$

두 기울기 사이의 곱은 -1과 같습니다. 이는 실제로 서로 수직인 두 선을 의미합니다.

다른 선과 수직인 선을 계산하는 방법은 무엇입니까?

어려워 보일 수도 있지만 다른 선에 수직인 선을 찾는 것은 매우 간단합니다. 이를 위해서는 선에 수직인 방향 벡터와 선에 속하는 점만 있으면 됩니다.

유일한 어려움은 이전과 마찬가지로 절차가 선이 표현되는 방정식의 유형에 따라 달라진다는 것입니다. 왜냐하면 다른 선에 수직인 선은 방향 벡터 나 경사 로부터 계산될 수 있기 때문입니다.

오른쪽 방향 벡터에서

다른 주어진 선에 수직인 선은 방향 벡터를 사용하여 찾을 수 있습니다. 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

선에 수직인 선을 계산합니다.
$r$

그 지점을 통과하는 것

$P(5,-1)$

. 똑바로하다

$r:$

$\displaystyle r : \ 3x+2y-1=0$

가장 먼저 해야 할 일은 선의 방향 벡터를 식별하는 것입니다. 이 경우 선은 일반(또는 암시적) 방정식의 형태로 정의되므로 선 방향 벡터의 데카르트 좌표는 선의 계수 A와 B를 사용하여 얻을 수 있습니다.

$\vv{\text{v}}_r =(-B,A)=(-2,3)$

그리고 선의 방향 벡터를 알고 나면 선에 수직인 벡터를 계산해야 합니다. 이렇게 하려면 벡터의 좌표를 삽입하고 그 중 하나(원하는 것)의 부호를 변경하면 됩니다 .

$\vv{\text{v}}_\perp =(3,2)$

이제 우리는 선의 방향 벡터를 알았습니다. 따라서 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=-3 \end{array}$

$Ax+By+C \ \longrightarrow \ 2x-3y+C=0$

따라서 매개변수 C를 결정하는 것으로 충분합니다. 이를 위해 직선에 속하는 점을 방정식에 대입하고 결과 방정식을 풉니다.

$P(5,-1)$

$2x-3y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 2\cdot 5-3\cdot (-1)+C=0$

$10+3+C=0$

$13+C=0$

$C=-13$

결론적으로 수직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{2x-3y-13=0}$

라인의 경사면에서

특정 직선에 수직인 직선을 찾는 또 다른 방법은 기울기를 이용하는 것입니다. 예제를 통해 이러한 유형의 문제가 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

선에 수직인 선을 계산합니다.
$r$

그 지점을 통과하는 것

$P(0,1)$

. 똑바로하다

$r:$

$\displaystyle r : \ y=4x-3$

선의 기울기

$r$

동쪽:

$m_r = 4$

선의 기울기를 알았으면 수직선의 기울기를 찾아야 합니다. 위 섹션에서 보았듯이 두 수직선의 기울기는 반대이고 부호가 변경됩니다. 따라서 수직선의 기울기를 결정하려면 발견된 기울기를 반전시키고 그 부호를 변경해야 합니다.

$m_\perp =-\cfrac{1}{4}$

따라서 수직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$y= mx+n$

$y=-\cfrac{1}{4} \ x + n$

마지막으로 점의 좌표를 선 방정식에 대입하여 수직선 원점의 세로 좌표를 계산합니다.

$P(0,1)$

$y=-\cfrac{1}{4} \ x + n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=1} \ 1 =-\cfrac{1}{4}\cdot 0 + n$

$1 = n$

즉, 수직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y=-}\mathbf{\cfrac{1}{4}} \ \bm{x + 1}$

수직선의 속성

모든 수직선에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

대칭 관계 : 선이 다른 선과 수직인 경우 해당 선도 첫 번째 선과 수직입니다.

$r \bm{\perp} s \ \longrightarrow \ s \bm{\perp} r$

비반사성 : 분명히 어떤 선도 그 자체에 수직일 수 없습니다.

$r \ \cancel{\bm{\perp}}} \ r$

정리: 유클리드 기하학(R2)에서 세 번째 선에 수직인 선 쌍은 반드시 평행해야 합니다. 즉, 선이 다른 선과 수직이고 해당 선이 세 번째 선에도 수직인 경우 첫 번째 선과 마지막 선은 평행합니다.

수직선 문제 해결

연습 1

다음 직선 중 직선과 수직인 것은 무엇입니까?

$r: y=3x+4$

$a : \ y=3x-\cfrac{1}{3}$

$b : \ y=-\cfrac{1}{3} \ x+5$

$c : \ y=-4x-3$

$d : \ y=\cfrac{1}{3} \ x-5$

$e : \ y=-\cfrac{1}{3} \ x-2$

해결책 보기

선의 기울기

$r$

3이다:

$m_r=3$

그리고 두 수직선의 기울기는 반대이고 반대 부호이므로 직선에 수직인 모든 직선의 기울기는

$r$

다음과 같아야 합니다:

$m_\perp=-\cfrac{1}{3}$

선이 선과 수직이 되도록

$r$

기울기가 다음과 같은 사람들입니다.

$-\cfrac{1}{3}$

. 즉, 라인

$\bm{b}$

그리고

$\bm{e}.$

연습 2

다음 두 선이 수직인지 확인합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4-t \\[2ex] y=1-3t \end{cases}\qquad \qquad s: \ \cfrac{x-2}{4} = \cfrac{y+3}{6}$

해결책 보기

권리

$r$

는 파라메트릭 방정식의 형태로 표현되며, 해당 선의 방향 벡터의 구성 요소는 매개변수 앞의 숫자입니다.

$t:$

$\vv{\text{v}}_r =(-1,-3)$

반면 직선은

$s$

는 연속 방정식의 형태로 정의되므로 방향 벡터의 좌표는 분모의 숫자입니다.

$\vv{\text{v}}_s =(4,6)$

각 선의 방향 벡터를 알고 나면 두 벡터의 곱을 계산하여 두 선이 수직인지 확인할 수 있습니다.

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s = (-1,-3)\cdot (4,6) = -1\cdot 4 + (-3)\cdot 6= -22 \bm{\neq 0}$

두 벡터의 내적은 0이 아니므로 선은 수직이 아닙니다 .

연습 3

직선과 수직인 직선 찾기

$r$

그 지점을 통과하는 것

$P(-2,1)$

. 똑바로하다

$r:$

$\displaystyle r : \ 4x-y+5=0$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 선의 방향 벡터를 식별하는 것입니다. 이 경우 선은 일반(또는 암시적) 방정식의 형태로 정의되므로 방향 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{\text{v}}_r =(-B,A)=(1,4)$

선의 방향 벡터를 알고 나면 선에 수직인 벡터를 계산해야 합니다. 이렇게 하려면 벡터의 좌표를 삽입하고 그 중 하나(원하는 것)의 부호를 변경하면 됩니다.

$\vv{\text{v}}_\perp =(4,-1)$

따라서 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (4,-1) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=-1 \\[2ex] B=-4 \end{array}$