직선의 명시적 방정식

이 페이지에서는 선의 명시적 방정식에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 선이 무엇인지, 공식은 무엇인지, 계산 예 등. 또한 기울기가 무엇을 의미하는지와 명시적 방정식의 절편에 대한 자세한 설명도 확인할 수 있습니다. 게다가, 다양한 예를 볼 수 있고, 단계별로 문제를 풀어서 연습할 수도 있습니다.

직선의 명시적 방정식은 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 명시적 선 방정식은 모든 선을 수학적으로 표현하는 방법입니다. 이렇게 하려면 선의 기울기 와 선이 Y축과 교차하는 지점만 알면 됩니다.

직선의 명시적 방정식에 대한 공식

직선의 명시적 방정식 에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$y=mx+n$

금

$m$

는 선의 기울기이고

$n$

y절편, 즉 Y축과 교차하는 높이입니다.

예를 통해 직선의 명시적 방정식이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

점을 지나는 직선의 방정식을 직접 써 보세요.
$P(3,1)$

기울기 m=2입니다.

직선의 명시적 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$y= mx+n$

이 경우, 명령문은 선의 기울기가 m=2임을 알려주므로 선의 방정식은 다음과 같습니다.

$y= 2x+n$

따라서 계수 n을 계산하는 것으로 충분합니다. 이를 위해서는 선에 속하는 점을 방정식으로 대체해야 합니다. 그리고 이 경우, 명령문은 선이 점을 통과한다고 알려줍니다.

$P(3,1),$

아직:

$P(3,1)$

$y= 2x+n \ \xrightarrow{x=3 \ ; \ y=1} \ 1=2\cdot 3 +n$

그리고 결과 방정식을 풀어 n 값을 찾습니다.

$1=2\cdot 3 +n$

$1=6 +n$

$1-6=n$

$-5 = n$

따라서 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y= 2x-5}$

명시적 방정식 외에도 선을 분석적으로 표현하는 다른 방법이 있다는 점을 명심하세요. 예를 들어, 벡터방정식은 방향벡터와 선상의 점을 각각의 좌표로 표현하기 때문에 다른 방정식과 다른 선방정식의 일종이다. 링크에서 그것이 무엇인지, 왜 그렇게 특별한지 확인할 수 있습니다.

매개변수 m과 n의 의미

직선의 명시적 방정식의 정의에서 보았듯이 매개변수는

$m$

는 선의 기울기이고

$n$

y절편입니다. 그런데 그게 무슨 뜻인가요? 선의 그래픽 표현을 통해 이를 살펴보겠습니다.

독립이라는 용어

$\bm{n}$

는 컴퓨터 축(OY 축)과 선의 교차점입니다 . 위 그래프에서

$n$

선이 y=1에서 y축과 교차하기 때문에 는 1과 같습니다.

반면에, 용어는

$\bm{m}$

선의 기울기, 즉 기울기를 나타냅니다 . 그래프에서 볼 수 있듯이,

$m$

1 수평 단위에 대해 선이 2 수직 단위만큼 상승하므로 2와 같습니다.

분명히, 기울기가 양수이면 함수는 증가(상승)하고, 반면에 기울기가 음수이면 함수는 감소(하향)합니다.

선의 기울기 계산

또한 선의 기울기를 수치적으로 결정하는 세 가지 방법이 있습니다.

선에 두 개의 서로 다른 점이 주어졌을 때
$P_1(x_1,y_1)$

그리고

$P_2(x_2,y_2),$

선의 기울기는 다음과 같습니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

응
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

는 선의 방향 벡터이고 기울기는 다음과 같습니다.

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

응
$\alpha$

는 가로축(X축)과 선이 이루는 각도이며, 선의 기울기는 해당 각도의 접선과 동일합니다.

$m = \text{tg}(\alpha )$

선의 상대적 위치

마지막으로, 선의 기울기는 여러 선 사이의 관계를 아는 데에도 사용됩니다. 두 개의 평행선 은 동일한 기울기를 갖기 때문에, 반면에 한 선의 기울기가 다른 선의 기울기의 음의 역수라면 이는 이 두 선이 수직 임을 의미합니다.

두 점을 통과하는 선의 양방적 방정식을 계산합니다.

매우 일반적인 문제는 직선이 통과하는 두 지점이 주어졌을 때 직선의 방정식을 찾는 것입니다. 예제를 통해 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 결정하십시오.

$P_1(4,-1) \qquad P_2(2,5)$

직선의 방정식을 찾으려면 매개변수 m과 n의 가치를 알아야 합니다. 따라서 먼저 콜론 공식을 사용하여 선의 기울기를 계산합니다.

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{5-(-1)}{2-4} = \cfrac{6}{-2}= -3$

$y=-3x+n$

그런 다음 방정식에 선의 한 점을 대입하여 y절편을 찾을 수 있습니다.

$P_1(4,-1)$

$y= -3x+n \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ -1=-3\cdot 4 +n$

$-1 =-12+ n$

$-1 +12= n$

$11= n$

따라서 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y=-3x+11}$

암묵적 방정식에서 명시적 방정식 찾기

마지막으로, 우리가 자주 직면하는 또 다른 유형의 문제는 암시적 방정식(일반 방정식 또는 데카르트 방정식이라고도 함)에서 직선의 명시적 방정식을 찾는 것입니다. 분명히, 다음 방법을 이해하려면 내포된 방정식이 무엇인지, 그것이 어떻게 되는지를 정확히 알아야 합니다. 하지만 전혀 기억나지 않는다면 링크에서 확인하실 수 있습니다.

따라서 선의 암시적(또는 일반) 방정식을 이미 마스터했다면 이 절차가 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

다음 줄의 명시적인 방정식을 찾으십시오.

$3x-2y+8 =0$

직선의 명시적 방정식을 찾기 위해 우리가 해야 할 일은 변수를 푸는 것 뿐입니다.

$\bm{y}.$

그래서 우리는 조건을 통과시키지 않고

$y$

방정식의 반대편에서:

$-2y=-3x-8$

이제 변수를 지웁니다.

$y:$

$\displaystyle y=\frac{-3x-8}{-2}$

마지막으로 다음을 단순화합니다.

$\displaystyle y=\frac{-3x}{-2} -\cfrac{8}{-2}$

$\displaystyle y=\frac{3x}{2} -(-4)$

$\displaystyle \bm{y=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x +4}$

따라서 이 직선의 기울기는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \frac{3}{2}$

y절편은 4입니다.

명시적 방정식 문제 해결

연습 1

다음 선의 기울기와 y절편을 구하세요.

$\begin{array}{lll} A) \ y= 3x-1 & \qquad & B) \ y=5x+2 \\[2ex] C) \ y=-x+3 & \qquad & D) \ 4x+2y-6=0 \end{array}$

해결책 보기

직선의 명시적 방정식은 다음 공식을 따릅니다.

$y=mx+n$

금

$m$

경사는 이고

$n$

원본에 있는 컴퓨터. 아직:

$\bm{A)} \ y= 3x-1 \ \begin{cases} m = 3 \\[2ex] n=-1\end{cases}$

$\bm{B)} \ y= 5x+2 \ \begin{cases} m = 5 \\[2ex] n=2 \end{cases}$

$\bm{C)} \ y= -x+3 \ \begin{cases} m = -1 \\[2ex] n=3\end{cases}$

마지막 줄은 암시적 방정식으로 표현되므로 먼저 이를 명시적 방정식에 전달해야 합니다.

$y$

) 그런 다음 매개변수를 식별할 수 있습니다.

$\bm{D)} \ 4x+2y-6=0$

$2y =-4x+6$

$y =\cfrac{-4x+6}{2}$

$y =-2x+3$

$\begin{cases} m = -2 \\[2ex] n=3 \end{cases}$

연습 2

점을 통과하는 직선의 방정식을 찾아보세요.

$P(2,-3)$

그리고 경사가 있어요

$m=-2.$

해결책 보기

직선의 명시적 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$y= mx+n$

이 경우 선의 기울기는 -2여야 하므로 선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$y= -2x+n$

따라서 계수 n을 계산하는 것으로 충분합니다. 이렇게 하려면 선에 속하는 점을 방정식으로 대체하고 결과 방정식을 풀어야 합니다.

$P(2,-3)$

$y= -2x+n \ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=-3} \ -3=-2\cdot 2 +n$

$-3=-4 +n$

$-3+4= n$

$1= n$

즉, 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y= -2x+1}$

연습 3

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 찾아보세요.

$P_1(6,-1) \qquad P_2(3,2)$

해결책 보기

직선의 방정식을 찾으려면 매개변수 m과 n의 가치를 알아야 합니다. 따라서 먼저 두 점의 좌표에서 선의 기울기를 계산합니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{2-(-1)}{3-6} = \cfrac{3}{-3}= -1$

$y=-x+n$

그런 다음 방정식에 선의 한 점을 대입하여 절편을 결정합니다.

$P_1(6,-1)$

$y= -x+n \ \xrightarrow{x=6 \ ; \ y=-1} \ -1=-6 +n$

$-1 +6= n$

$5= n$

따라서 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y=-x+5}$

연습 4

X축과 45°의 각도를 이루고 좌표의 원점을 통과하는 선의 양방정식을 계산합니다.

해결책 보기

선이 OX 축과 45도 각도를 이루면 기울기는 다음과 같습니다.

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y=x+n$

그리고 선의 기울기를 알면 선 위의 점을 방정식에 대입하여 y절편을 계산할 수 있습니다. 또한 이 명령문은 선이 좌표 원점을 통과한다는 것을 알려줍니다. 이는 점(0,0)을 통과한다는 의미입니다. 아직:

$P(0,0)$

$y= x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ 0=0 +n$

$0= n$

따라서 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y=x}$

연습 5

직선과 평행한 직선의 방정식을 찾아보세요.

$r$

그리고 그 지점에서 무슨 일이 일어나는지

$P(-2,4).$

똑바로하다

$r:$

$r: \; y=3x+4$

해결책 보기

선이 선과 평행이 되도록

$r,$

둘 다 동일한 기울기를 가져야 합니다. 따라서:

$m = 3$

$y=3x+n$

그리고 선의 기울기를 알면 선에 속하는 점을 방정식에 대입하여 y절편을 계산할 수 있습니다.

$P(-2,4)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=-2 \ ; \ y=4} \ 4=3\cdot (-2) +n$

$4=-6+ n$

$4+6= n$

$10= n$

따라서 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y=3x+10}$

연습 6

각 그래프 선의 명시적 방정식은 무엇입니까?

해결책 보기

파란색 오른쪽

파란색 선은 각각 Y씩 증가합니다.

$y =x+2$

오른쪽 녹색

녹색 선은 X마다 3Y만큼 증가하므로 기울기는 3입니다. 또한 선은 -4에서 Y축과 교차하므로 y절편은 -4입니다.

$y =3x-4$

레드 라인

빨간색 선은 X마다 2Y씩 감소하므로 기울기는 -2입니다. 그리고 선은 y=-2에서 y축과 교차하므로 y절편도 -2입니다.

$y =-2x-2$

직선의 명시적 방정식은 무엇입니까?

직선의 명시적 방정식에 대한 공식

매개변수 m과 n의 의미

선의 기울기 계산

선의 상대적 위치

두 점을 통과하는 선의 양방적 방정식을 계산합니다.

암묵적 방정식에서 명시적 방정식 찾기

명시적 방정식 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

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