선의 매개변수 방정식

이 페이지에서는 점과 벡터 또는 두 점에서 선의 매개변수 방정식을 계산하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한 매개변수 방정식을 사용하여 선에서 다양한 점을 얻는 방법도 알아봅니다. 게다가, 여러 가지 예를 볼 수 있고, 해결된 연습 문제를 통해 연습할 수도 있습니다.

선의 매개변수 방정식을 찾는 방법

선의 매개변수 방정식을 결정하려면 해당 선의 방향 벡터와 선에 속하는 점만 있으면 됩니다.

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 매개변수 방정식 에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부인 알려진 점의 좌표입니다.
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

따라서 매개변수 방정식은 선을 분석적으로 표현하는 방법입니다.

이것은 평면에 있는 선의 매개변수 방정식입니다. 즉, 2개 좌표(R2)의 점과 벡터로 작업할 때입니다. 그러나 공간(R3)에서 계산을 수행하는 경우 세 번째 구성 요소 Z에 대한 추가 방정식을 추가해야 합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

반면에 매개변수 방정식 외에도 선을 수학적으로 설명하는 다른 방법이 있다는 점을 명심하십시오. 벡터 방정식, 연속 방정식, 암시적(또는 일반) 방정식, 명시적 방정식 및 점-기울기 방정식 앨린. 저희 웹사이트에서 각각의 내용을 확인하실 수 있습니다.

선의 매개변수 방정식을 결정하는 예

이제 예제를 사용하여 선의 매개변수 방정식을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 선의 매개변수 방정식을 작성하십시오.
$P$

그리고

$\vv{\text{v}}$

안내 벡터로:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

선의 매개변수 방정식을 계산하려면 해당 공식을 적용해야 합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

따라서 점의 좌표와 방향 벡터를 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

선의 매개변수 방정식에서 점 얻기

선의 매개변수 방정식을 찾으면 선이 통과하는 점을 계산하는 것이 매우 쉽습니다. 선의 한 점을 결정하려면 매개변수에 값을 지정해야 합니다.

$\bm{t}$

선의 매개변수 방정식.

예를 들어, 다음과 같은 선의 매개변수 방정식이 주어집니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

교체를 통해 선상의 점을 얻을 수 있습니다.

$t$

예를 들어 임의의 숫자로

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

그리고 변수를 바꾸면 선의 다른 점을 계산할 수 있습니다.

$t$

예를 들어 다른 번호로

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

따라서 우리는 선상에서 무한히 많은 점을 얻을 수 있습니다.

$t$

무한한 가치를 가질 수 있습니다.

두 점에서 선의 매개변수 방정식을 계산하는 방법

매개변수 방정식의 또 다른 일반적인 문제는 선에 속하는 2개의 점을 제공하고 그로부터 매개변수 방정식을 계산해야 한다는 것입니다. 예제를 통해 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 점을 통과하는 선의 매개변수 방정식을 구합니다.

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

위 섹션에서 보았듯이 선의 매개변수 방정식을 찾으려면 방향 벡터와 그 위의 점이 필요합니다. 오른쪽에 이미 점이 있지만 방향 벡터가 없습니다. 따라서 먼저 선의 방향 벡터를 계산한 다음 매개변수 방정식을 계산해야 합니다 .

선의 방향 벡터를 찾으려면 표현식에 제공된 두 점으로 정의된 벡터를 계산하면 됩니다.

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

그리고 선의 방향 벡터도 알고 나면 매개변수 방정식을 찾으려면 다음 공식을 적용하면 됩니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

이 경우 매개변수 방정식을 정의하기 위해 점 A를 사용했지만 명령문에서 제공하는 다른 점과 함께 작성하는 것도 옳습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

선의 매개변수 방정식 문제 해결

연습 1

방향 벡터가 다음과 같은 선의 매개변수 방정식을 구합니다.

$\vv{\text{v}}$

그리고 그 지점을 지나

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

해결책 보기

선의 매개변수 방정식을 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

연습 2

파라메트릭 방정식으로 정의된 다음 선의 서로 다른 두 점을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

해결책 보기

매개변수 방정식으로 표현된 선에서 점을 얻으려면 매개변수에 값을 부여해야 합니다.

$t.$

따라서 첫 번째 점을 계산하기 위해 미지수를 대체합니다.

$t$

예를 들어

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

그리고 우리가 제공한 선에서 두 번째 점을 찾으려면

$t$

예를 들어

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

매개변수에 부여하는 값에 따라 달라지기 때문에 다른 점수를 얻었을 수도 있습니다.

$t.$

하지만 동일한 절차를 따르면 모든 것이 정상입니다.

연습 3

다음 사항을 고려하면:

$P(3,-1)$

이 점이 다음 선에 속하는지 여부를 확인합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

해결책 보기

점이 선에 속하는지 확인하려면 해당 좌표를 선의 방정식으로 대체하고 각 방정식에서 동일한 매개변수 값을 찾는지 확인해야 합니다.

$t.$

그러한 경우에는 점이 선의 일부라는 것을 의미하고, 그렇지 않으면 선이 이 점을 통과하지 않는다는 것을 의미합니다.

따라서 점의 좌표를 선의 매개변수 방정식으로 대체합니다.

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

그리고 우리는 두 가지 결과 방정식을 푼다:

X 좌표

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y 좌표

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

우리는 두 가지 값을 얻었습니다.

$t$

다르기 때문에 요점이 일치하지 않습니다.

연습 4

다음 두 점을 통과하는 선의 매개변수 방정식을 계산합니다.

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

해결책 보기

선의 매개변수 방정식을 계산하려면 선의 방향 벡터와 점 중 하나를 알아야 합니다. 이 경우 선 위에 이미 점이 있지만 방향 벡터가 없습니다. 따라서 먼저 선의 방향 벡터를 계산한 다음 매개변수 방정식을 계산해야 합니다.

선의 방향 벡터를 찾으려면 표현식에 제공된 두 점으로 정의된 벡터를 계산하면 됩니다.

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

그리고 선의 방향 벡터를 이미 알고 있으면 매개변수 방정식을 찾기 위해 다음 공식을 적용하기만 하면 됩니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

이 경우 매개변수 방정식을 정의하기 위해 점 A를 선택했지만 명령문에서 제공하는 다른 점과 함께 이를 작성하는 것도 유효합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

매개변수 방정식의 응용

분명히 매개변수 방정식의 주요 용도는 앞서 본 것처럼 선을 정의하는 것입니다. 그러나 파라메트릭 방정식은 다른 유형의 기하학적 요소를 설명하는 데에도 사용됩니다.

예를 들어, 모든 원주는 매개변수 방정식으로 표현될 수 있습니다. 응

$r$

는 원의 반지름이고

$C(x_0,y_0)$

는 중심 좌표이고 원의 매개변수화는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

마찬가지로 타원 도 구성할 수 있습니다. 응

$C(x_0,y_0)$

는 타원 중심의 좌표이고,

$a$

수평 반경과

$b$

수직 반경, 타원의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

마찬가지로, 포물선이나 쌍곡선과 같은 다른 곡선의 매개변수 표현도 가능합니다. 훨씬 더 복잡하기 때문에 이 기사에서는 표시하지 않습니다.

마지막으로 계획은 파라메트릭 표현식으로 정의할 수도 있습니다. 실제로 평면의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$

$P(x_0,y_0,z_0)$

평면의 고정점, 계수

$\lambda$

그리고

$\mu$

두 개의 알려지지 않은 매개변수

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_1,\text{u}_2)$

그리고

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2)$

평면에 포함된 서로 다른 방향의 두 벡터.

선의 매개변수 방정식을 찾는 방법

선의 매개변수 방정식을 결정하는 예

선의 매개변수 방정식에서 점 얻기

두 점에서 선의 매개변수 방정식을 계산하는 방법

선의 매개변수 방정식 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

매개변수 방정식의 응용

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