수직 또는 직교 벡터

이 페이지에서는 수직(또는 직교) 벡터에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 벡터가 무엇인지, 두 벡터가 직교할 때, 다른 벡터에 수직인 벡터를 찾는 방법, 수직 벡터의 속성… 수직 또는 직교 벡터에 대한 몇 가지 예와 해결 연습.

두 개의 수직 또는 직교 벡터는 무엇입니까?

수학에서 두 벡터는 서로 직각(90°)을 형성할 때 직교 (또는 수직 )합니다.

다음 그래프에서는 두 개의 수직 벡터를 볼 수 있습니다.

반면에 두 벡터의 직각도는 방향에만 의존하고 모듈(또는 크기)이나 방향에는 의존하지 않습니다. 즉, 두 벡터가 길이가 같든 아니든 90도 각도를 이루면 수직이 됩니다.

두 벡터가 직교인지 수직인지 어떻게 알 수 있나요?

방금 본 것처럼 두 벡터가 수직인지 그래픽으로 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 그러나 두 벡터를 그래프로 표시하지 않고도 두 벡터가 직교하는지 여부를 확인할 수도 있습니다.

수치적으로 두 벡터는 내적이 0일 때 직교 하거나 수직 입니다.

예를 들어, 다음 두 벡터가 그래프로 표시되지 않고 수직임을 보여줍니다.

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

이것이 수직(또는 직교) 벡터인지 확인하기 위해 스칼라 곱 공식을 적용합니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

두 벡터의 내적 결과는 0 이므로 서로 직교(또는 수직)하는 두 벡터입니다 .

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

두 벡터는 기호로 수직으로 표시됩니다.

$\bm{\perp}}.$

따라서 두 수직 벡터 사이의 내적은 0입니다. 그러나 두 벡터의 벡터 곱(벡터 간의 또 다른 유형의 곱셈)은 반대의 결과를 제공합니다. 즉, 다른 두 벡터에 수직인 벡터입니다. 따라서 두 가지 유형의 연산을 구별하는 방법을 아는 것이 중요합니다. 교차곱의 속성 에서 두 연산의 차이점을 확인할 수 있습니다.

다른 벡터와 수직 또는 직교하는 벡터는 어떻게 계산됩니까?

평면(R2)에서 다른 벡터에 수직인 벡터를 계산하는 가장 간단한 방법은 벡터의 두 좌표를 인터리브하고 부호도 1로 변경하는 것입니다.

그리고 공간(R3)에서 다른 벡터에 수직인 벡터를 얻으려면 두 좌표를 서로 삽입한 다음 그 중 하나의 부호를 변경하고 마지막으로 좌표를 남은 0으로 설정해야 합니다.

좌표가 2개인지 3개인지에 따라 하나의 직교 벡터를 다른 벡터와 계산할 때의 차이점을 확인할 수 있도록 각 벡터 유형에 대한 연습 문제를 풀어보겠습니다.

데카르트 평면에서 수직 또는 직교 벡터 찾기

다음 2차원 벡터에 수직인 벡터를 결정합니다.

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

두 개의 구성요소만 있는 벡터이므로 수직 벡터를 얻으려면 해당 구성요소를 대체하고 그 중 하나를 부정해야 합니다.

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

내적 공식을 통해 이것이 실제로 수직 벡터라는 것을 확인할 수 있습니다.

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

데카르트 공간에서 수직 또는 직교 벡터 결정

다음 3차원 벡터에 직교하는 벡터를 계산합니다.

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

이 경우 구성요소가 3개인 벡터가 있으므로 수직 벡터를 얻으려면 해당 구성요소 중 두 개를 교대로 사용하고 그 중 하나의 부호를 변경한 다음 나머지 좌표를 0으로 변환해야 합니다.

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

스칼라 곱 공식을 통해 이것이 실제로 직교 벡터인지 확인할 수 있습니다.

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

수직 및 직교 벡터의 속성

수직 벡터에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

대칭 관계 : 벡터가 다른 벡터에 수직인 경우 이 벡터도 첫 번째 벡터에 수직입니다.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

반사불가 특성 : 분명히 어떤 벡터도 자기 자신에 수직일 수 없습니다.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

유클리드 기하학(R2)에서 세 번째 벡터에 수직인 벡터 쌍은 반드시 평행해야 합니다. 즉, 벡터가 다른 벡터에 수직이고 해당 벡터가 세 번째 벡터에도 수직인 경우 첫 번째 벡터와 마지막 벡터는 평행합니다. 이는 유클리드의 다섯 번째 공리 때문입니다.

반면에, 이러한 속성 덕분에 코르크 따개 규칙을 사용할 수 있다는 것도 알아야 합니다. 이 기술을 사용하면 이 규칙이 없으면 해결하는 데 오랜 시간이 걸리는 벡터 연산 유형을 쉽게 계산할 수 있습니다. 코르크 따개 규칙 에 대한 설명을 클릭하면 이것이 무엇인지 확인할 수 있습니다.