삼각법 한계 -

여기에서는 삼각법 극한을 해결하는 방법을 알아봅니다. 삼각 함수의 극한에 대한 몇 가지 예를 볼 수 있으며 삼각 극한에 대한 단계별 연습 문제를 해결하여 연습할 수도 있습니다.

삼각법 극한이란 무엇입니까?

삼각 극한은 삼각 함수에 대해 계산된 극한입니다. 삼각법 극한을 해결하려면 일반적으로 불확정이 발생하기 때문에 예비 절차를 적용해야 합니다.

또한 삼각함수는 주기함수이기 때문에 무한한 극한은 존재하지 않습니다. 즉, 그래프는 특정 값을 향하지 않고 주기적으로 지속적으로 반복됩니다.

삼각법 극한 공식

모든 삼각법 한계는 다음 두 공식으로 계산됩니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

공식 시연

대체에 의해 극한을 계산하려고 하면 0 사이의 불확정성 0을 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=\frac{\text{sen}(0)}{0}=\frac{0}{0}$

하지만 이 삼각법 공식은 더 가까운 함수와 x=0(라디안 단위의 각도)에 더 가까운 값을 계산하여 증명할 수 있습니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(-1)=\cfrac{\text{sen}(-1)}{-1}=0,84147\\[3ex]f(-0,1)=\cfrac{\text{sen}(-0,1)}{-0,1}=0,99833\\[3ex]f(-0,01)=\cfrac{\text{sen}(-0,01)}{-0,01}=0,99998\\[3ex]f(-0,001)=\cfrac{\text{sen}(-0,001)}{-0,001}=0,99999\end{array}\\[14ex]\vdots\\[2ex]\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}$

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(1)=\cfrac{\text{sen}(1)}{1}=0,84147\\[3ex]f(0,1)=\cfrac{\text{sen}(0,1)}{0,1}=0,99833\\[3ex]f(0,01)=\cfrac{\text{sen}(0,01)}{0,01}=0,99998\\[3ex]f(0,001)=\cfrac{\text{sen}(0,001)}{0,001}=0,99999\end{array}\\[14ex]\vdots\\[2ex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}$

삼각 함수의 두 측면 극한은 1이므로 x=0 지점에서의 극한은 1입니다.

$\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{\text{sen}(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\\[3ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[2ex]\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}$

따라서 x가 0이 될 때 x를 x로 나눈 사인의 삼각법 극한은 1과 같습니다.

이 공식은 여러 각도에도 적용될 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(kx)}{kx}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

공식 시연

직접 치환으로 극한을 찾으려고 하면 0 사이의 부정형 0을 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=}\frac{1-\text{cos}(0)}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$

하지만 위의 공식을 통해 동등성을 확인할 수 있습니다. 이렇게 하려면 먼저 분수의 분자와 분모에 1과 x의 코사인을 곱해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\bigl(1-\text{cos}(x)\bigr)\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}$

이제 분수의 분자에 주목할 만한 동일성이 있으므로 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1^2-\text{cos}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}$

기본적인 삼각법 항등식부터 시작하여 분자를 다시 작성합니다.

$\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1 \ \longrightarrow \ \text{sen}^2(x)=1-\text{cos}^2(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}$

따라서 분수를 분수의 곱으로 변환할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)\cdot \text{sen}(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}$

극한의 속성을 사용하여 위 표현식을 극한의 곱으로 변환할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}$

위에서 설명한 공식을 사용하면 삼각법 극한을 쉽게 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle 1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}$

마지막으로 결과 한계를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(0)}{1+\text{cos}(0)}=\frac{0}{1+1}=\frac{0}{2}=0$

따라서 삼각법 극한 공식이 검증됩니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

다른 공식과 마찬가지로 여러 각도에도 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(kx)}{kx}=0$

따라서 삼각법 극한을 풀려면 산술을 사용하여 함수를 변환하고 이와 유사한 표현식을 얻어야 합니다. 이런 식으로 두 공식 중 하나를 사용하여 극한 값을 찾을 수 있습니다.

반면에 때로는 특정 삼각법 항등식을 적용해야 할 수도 있으므로 아래의 모든 공식은 귀하에게 맡깁니다.

삼각법적 정체성

세 가지 주요 삼각비를 연결하는 공식:

$\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}$

기본 삼각 항등식:

$\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1$

기본에서 파생된 삼각 관계:

$1+\text{tan}^2 (x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}=\text{sec}^2(x)$

$1+\text{cot}^2 (x)=\cfrac{1}{\text{sen}2(x)}=\text{cosec}^2(x)$

반대 각도:

$\text{sen}(-x)=-\text{sen}(x)$

$\text{cos}(-x)=\text{cos}(x)$

$\text{tan}(-x)=-\text{tan}(x)$

두 각도의 합:

$\text{sen}(x+y)=\text{sen}(x)\text{cos}(y)+\text{cos}(x)\text{sen}(y)$

$\text{cos}(x+y)=\text{cos}(x)\text{cos}(y)-\text{sen}(x)\text{sen}(y)$

$\text{tan}(x+y)=\cfrac{\text{tan}(x)+\text{tan}(y)}{1-\text{tan}(x)\text{tan}(y)}$

두 각도의 차이:

$\text{sen}(x-y) = \text{sen}(x)\text{cos}(y)-\text{cos}(x)\text{sen}(y)$

$\text{cos}(x-y) = \text{cos}(x)\text{cos}(y)+ \text{sen}(x) sen(y)$

$\text{tan}(x-y)=\cfrac{\text{tan}(x)-\text{tan}(y)}{1+\text{tan}(x)\text{tan}(y)}$

이중 각도:

$\text{sen}(2x) = 2\text{sen}(x)\text{cos}(x)$

$\text{cos}(2x) =\text{cos}^2(x)-\text{sen}^2(x)$

$\text{tan}(2x) =\cfrac{2\text{tan}(x)}{1-\text{tan}^2(x)}$

반각:

$\displaystyle \text{sen}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\text{cos}(x)}{2}}$

$\displaystyle \text{cos}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+\text{cos}(x)}{2}}$

$\displaystyle\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\text{cos}(x)}{1+\text{cos}(x)}}$

사인과 코사인의 덧셈과 뺄셈:

$\displaystyle \text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2\text{sen}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{cos}\left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle \text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2\text{cos}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{sen}\left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle \text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2\text{cos}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{cos}\left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle \text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2\text{sen}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{sen}\left(\frac{x-y}{2} \right)$

사인과 코사인의 곱:

$\displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{sen}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x-y)-\text{cos}(x+y)\Bigr]$

$\displaystyle \text{cos}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x+y)+\text{cos}(x-y)\Bigr]$

$\displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{sen}(x+y)+\text{sen}(x-y)\Bigr]$

삼각법 한계가 어떻게 계산되는지 정확하게 확인할 수 있도록 아래에 단계별 예를 정리했습니다.

삼각법 극한의 예

다음 예를 사용하여 삼각법 극한이 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}$

삼각법 한계를 계산하려고 하면 0 사이의 0의 불확정성을 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\frac{\text{tan}(0)}{0}=\frac{0}{0}$

➤ 참조: 0 사이의 0 제한

따라서 극한을 해결하려면 삼각함수를 변환해야 합니다. 탄젠트 함수는 사인을 코사인으로 나눈 것과 같습니다.

$\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{x}$

이제 분수의 속성을 적용하여 함수를 곱으로 표현할 수 있습니다.

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{\displaystyle\frac{x}{1}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)\cdot 1}{\text{cos}(x) \cdot x}=\\[6ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)}{x\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{1}{\text{cos}(x)}\end{array}$

극한의 속성을 사용하여 두 곱셈 함수의 극한을 두 극한의 곱으로 변환할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}$

위에서 본 것처럼 첫 번째 삼각법 극한은 1을 제공합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=1\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}$

따라서 다음 계산을 수행하십시오.

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\frac{1}{\text{cos}(0)}=\frac{1}{1}=1$

삼각법 한계에 대한 해결 연습

연습 1

다음 삼각법 한계를 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}$

솔루션 보기

먼저 직접 평가를 통해 삼각법 한계를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}=\frac{\text{sen}(4\cdot 0)}{2\cdot 0}=\frac{0}{0}$

그러나 우리는 불확정성이 0이 아닌 0을 얻습니다. 따라서 함수에 변환을 적용해야 합니다.

먼저 다음을 수행하여 분모에 x를 그대로 둡니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{sen}(4x)}{x}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{x}$

이제 분수에 4를 곱하고 나누어 삼각법 극한에 대한 첫 번째 공식을 적용할 수 있는 표현식을 얻습니다.

$\displaystyle\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)\cdot 4}{x\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}=2\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}$

마지막으로, 처음에 본 공식을 적용하고 삼각법 극한을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(kx)}{kx}=1$

$\displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}=2\cdot 1=\bm{2}$

연습 2

다음 삼각법 한계를 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}$

솔루션 보기

먼저 삼각법 극한을 찾으려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}=\frac{\text{sen}(0)+\text{tan}(0)}{0}=\frac{0}{0}$

그러나 불확정 형식 0은 0에 도달한 것과 같습니다.

그런 다음 탄젠트를 사인과 코사인의 몫으로 변환합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\text{sen}(x)+\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{x}$

x의 코사인을 곱하고 나눕니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(\displaystyle\text{sen}(x)+\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\right)\cdot\text{cos}(x)}{x\cdot\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{x\cdot\text{cos}(x)}$

분자에서 공통 인수를 취하고 삼각 극한을 두 개로 분리합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(x)+1)}{x\cdot\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{cos}(x)+1}{\text{cos}(x)}$

그리고 마지막으로 삼각법 극한의 결과를 찾습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{cos}(x)+1}{\text{cos}(x)}=1\cdot\frac{\text{cos}(0)+1}{\text{cos}(0)} =\frac{1+1}{1}=\bm{2}$

연습 3

x가 0에 가까워질 때 다음 삼각 함수의 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)-\text{sen}{(x)}}{3x\cdot\text{tan}(x)}$

솔루션 보기

직접 계산을 수행하여 0 사이의 불확정 한계 0을 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}}\frac{\text{tan}(x)-\text{sen}(x)}{3x\cdot\text{tan}(x)}=\frac{\text{tan}(0)-\text{sen}(0)}{3\cdot 0\cdot\text{tan}(0)}=\frac{0}{0}$

따라서 각 항을 x의 탄젠트로 나누어 극한을 단순화하겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{tan}(x)}{\text{tan}(x)}-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{\displaystyle\frac{3x\cdot\text{tan}(x)}{\text{tan}(x)}}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle 1-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{3x}$

둘째, 기본적인 삼각법 항등식으로부터 분자의 분수가 x의 코사인과 동일하다는 것을 추론할 수 있습니다.

$\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ \longrightarrow \ \text{cos}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle 1-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{3x}$

그리고 삼각법 극한 이론에서 입증된 두 번째 공식을 적용하면 극한을 쉽게 풀 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\frac{1}{3}\cdot 0=\bm{0}\end{array}$

연습 4

x=0 지점에서 다음 삼각 극한의 해를 구합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}$

솔루션 보기

극한을 풀려고 하면 부정형 0/0을 찾습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}=\frac{2\text{sen}(0)\text{cos}(0)\text{sen}(5\cdot 0)}{0^2}=\frac{0}{0}$

분자에 대한 대수식은 이중 각도 사인의 삼각 항등식을 사용하여 다시 작성할 수 있습니다.

$\text{sen}(2x)=2\text{sen}(x)\text{cos}(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)\text{sen}(5x)}{x^2}$

이제 삼각 함수의 극한을 곱으로 분리해 보겠습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)\cdot \text{sen}(5x)}{x\cdot x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}\end{array}$

그리고 마지막으로 극한의 속성을 적용하여 삼각 극한을 해결합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{2x}\cdot 5\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{5x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot 1\cdot 5\cdot 1=\bm{10}\end{array}$

삼각법 극한이란 무엇입니까?

삼각법 극한 공식

삼각법 극한의 예

삼각법 한계에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

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