오일러의 공식은 수학의 두 가지 기본 개념인복소수 와 삼각법을 연결하는 수학적 개념입니다. 이는 이를 가장 중요한 개념화 중 하나로 만들고 모든 수학에서 가장 많이 적용됩니다. 이 기사 전체에서 우리는 이 공식의 모양과 모든 용도를 살펴보겠습니다.
오일러의 공식은 무엇입니까?
오일러 공식은 복소수를 삼각법과 연관시키는 오일러 수를 기반으로 하는 기본적인 수학 방정식입니다. 이는 18세기 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 에 의해 발견된 이후 물리학부터 컴퓨터 과학까지 다양한 분야에서 사용되었습니다.
오일러의 공식은 e ix = cos(x) + i sin(x) 로 작성됩니다. 여기서 e는 자연 로그의 밑이고, i는 허수 단위 (-1의 제곱근으로 정의됨)이며, x는 실수입니다. 숫자. 이 방정식은 복소수 e ix 가 실수 cos(x)와 허수 i와 실수 sin(x)의 곱의 합과 동일함을 지정합니다.
오일러 공식의 중요성은 복소수를 실수와 삼각법으로 표현하여 조작하고 계산하기 쉽게 한다는 사실에 있습니다.
오일러 공식의 증명
오일러 공식의 증명은 지수 함수에 테일러 급수를 사용하고 코사인과 사인에 대한 삼각법 항등식을 사용하는 것에 기초합니다.
먼저 지수 함수에 대한 Taylor 계열을 고려합니다.
다음으로 위 방정식에서 x를 ix로 대체합니다. 여기서 i는 허수 단위(-1의 제곱근)입니다.
따라서 우리는 i의 거듭제곱을 적용하고 이전 방정식에 대체합니다.
이제 우리는 실제 용어와 용어를 i로 그룹화합니다.
실제로 위의 각 괄호는 코사인과 사인에 대한 Taylor 급수입니다.
마지막으로 (괄호 안의 각 표현식을 x의 코사인 및 사인으로 대체하여) 단순화하고 다음을 얻습니다.
오일러 공식의 예
이제 이 수학 공식이 어떻게 작동하는지 알았으므로 다음 실제 예제를 풀어볼 것을 권장합니다. 복소수 e 2i (라디안)를 이항 형식으로 표현합니다.
오일러 공식의 주요 적용은 지수 형식으로 표현된 복소수를 이항 형식으로 변환하는 것입니다. 따라서 우리는 다음 공식을 사용할 것입니다 : e ix = cos(x) + i sin(x)
e 2i = cos(2) + 나는 죄(2)
e2i = -0.416 + 0.909i
그리고 우리는 이미 이항 형식의 숫자를 갖고 있을 것입니다. 거기에서 우리는 복소 평면 에 그래픽 표현을 만들 수 있습니다. 이를 위해서는 가로좌표(x축)의 실수부와 세로좌표(y축)의 허수부를 좌표로 하여 복소평면 에서 복소수를 표현한다는 것을 이해할 필요가 있다.
이전 이미지에는 복소수 e 2i가 표시되어 있으며 이는 -0.416 + 0.909i와 같습니다. 이는 파란색 점으로 볼 수 있습니다. 비행기에서의 위치는 두 가지 각도 에서 볼 수 있습니다.
첫 번째이자 가장 분명한 것은 숫자를 이항 형식 으로 표현하는 것입니다: -0.416(횡좌표) 및 0.909(컴퓨터). 그리고 두 번째는 지수 형식 입니다. e 2i 의 모듈은 e 앞에 있는 숫자이기 때문에 1과 같습니다(e 앞에 숫자가 없으므로 1이 있다고 상상해야 합니다). 지수에는 2가 있으므로 인수 또는 각도는 2라디안과 같습니다.
이 마지막 단락을 잘 이해하지 못한다면 복소수에 관한 기사를 읽어 보시기 바랍니다. 글쎄요, 여기서 우리는 복소수를 쓰는 다양한 방법과 그 모든 속성에 대해 매우 심층적으로 설명합니다.
오일러 공식의 그래픽 표현
이전 예제에서는 오일러의 공식이 어떻게 적용되고 복소평면에 어떻게 그래픽으로 표현되는지 확인할 수 있었습니다. 그러나 조금 더 나아가 오일러의 공식과 동일한 함수를 표현하려고 하면 매우 흥미로운 점을 발견하게 됩니다. 즉, 반지름이 1인 원 이 생성됩니다.
그러나 원의 반경은 복소수의 모듈 값에 직접적으로 의존합니다. 예를 들어, 반지름이 4인 원을 표현하려는 경우 함수는 4e ix 가 됩니다. 따라서 함수 4e ix 는 다음과 같이 표현됩니다.
반지름이 1인 원으로 돌아가서 e iπ (라디안 단위)를 나타내기로 결정한 경우 먼저 다음을 계산해야 합니다.
e πi = cos(π) + i sin(π)
erπi = -1 + 나는 0
erπi = -1
우리는 유명한 오일러 항등식인 e πi = -1을 얻습니다.
우리는 이것으로부터 복소수 e πi 에는 -1과 같은 실수 부분이 하나만 있다는 것을 추론합니다. 따라서 그 표현은 다음과 같습니다.
오일러 공식의 응용
- 복소수: 오일러의 공식은 삼각함수와 복소수 간의 관계입니다. 이 공식을 통해 복소수를 이항식, 지수식, 극좌표 등 다양한 방식으로 표현할 수 있습니다.
- 테일러 급수: 오일러의 공식은 테일러 급수 함수를 확장하는 데 사용됩니다.
- 선형 대수학: 오일러의 공식은 선형 대수학의 기본 기술인 행렬 대각화에 사용됩니다.
- 미분 및 적분 미적분학: 오일러의 공식은 미적분학의 관련 기술인 미분 방정식의 해법에 사용됩니다.
또한 이는 많은 수학적 이론은 물론 물리학 정리와 같은 수학적 영역 외부의 개념에도 적용됩니다.
결론
이 기사에서 본 것처럼 오일러 공식의 가장 큰 적용은 복소수, 즉 수치 표현과 표현에 있습니다. 이것이 대수학에 일부 적용된다는 것은 사실이지만 본질적으로 복소수를 사용하여 작업하고 있습니다. 그러므로 무엇보다도 그것들을 잘 이해하는 것이 중요합니다.
즉, 이 개념을 더 잘 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 질문이 있거나 운동 방법을 모르는 경우 주저하지 말고 댓글로 문의해 주세요.