행렬을 대각화하는 방법 -

이 페이지에서는 대각화 가능 행렬에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다. 대각화 가능 행렬의 정의, 대각화 가능 여부, 행렬 대각화 방법, 특정 행렬의 적용 및 속성 등. 그리고 여러 가지 연습 문제를 단계별로 풀어서 연습하고 대각선 방향을 완벽하게 이해할 수 있습니다. 마지막으로, 매우 자주 사용되는 컴퓨터 프로그램 MATLAB을 사용하여 행렬 대각화를 수행하는 방법도 배웁니다.

대각화 가능 행렬이란 무엇입니까?

아래에서 볼 수 있듯이 행렬을 대각화하는 것은 선형 대수학 분야에서 매우 유용합니다. 이것이 바로 많은 사람들이 묻는 이유입니다… 행렬 대각화가 무엇입니까? 대각화 가능 행렬의 정의는 다음과 같습니다.

대각화 가능 행렬 은 대각 행렬, 즉 주대각선을 제외하고 0으로 채워진 행렬로 변환될 수 있는 정사각 행렬이다. 행렬의 대각화는 다음과 같이 분류됩니다.

$A = PDP^{-1}$

또는 이에 상응하는,

$D = P^{-1}AP$

금

$A$

는 대각화할 행렬이고,

$P$

열이 다음의 고유벡터(또는 고유벡터)인 행렬입니다.

$A$

$P^{-1}$

역행렬과

$D$

는 고유값(또는 고유값)으로 구성된 대각 행렬입니다.

$A$

매트릭스

$P$

기본 변경 행렬 역할을 하므로 실제로 이 공식을 사용하여 기본을 행렬로 변경합니다.

$A$

, 행렬은 대각 행렬(

$D$

) 새로운 기지에서.

따라서 매트릭스

$A$

그리고 매트릭스

$D$

그것들은 비슷한 행렬입니다. 그리고 분명히,

$P$

이는 일반 또는 비퇴화 행렬입니다.

언제 행렬을 대각화할 수 있나요?

모든 행렬을 대각화할 수 있는 것은 아닙니다. 특정 특성을 충족하는 행렬만 대각화될 수 있습니다. 행렬이 대각선화 가능한지 여부를 다양한 방법으로 알 수 있습니다.

n 차 정사각 행렬은 n개의 선형 독립 고유 벡터(또는 고유 벡터)를 갖는 경우, 즉 이러한 벡터가 기저를 형성하는 경우 대각화 가능합니다. 그 이유는 매트릭스 때문이다.
$P$

행렬을 대각화하는 데 사용되는 는 해당 행렬의 고유벡터로 구성됩니다. 고유벡터가 LI인지 알기 위해서는 행렬의 행렬식으로 충분합니다.

$P$

는 0과 다릅니다. 이는 행렬이 최대 순위를 가짐을 의미합니다.

$\text{si} \quad \text{det}(P)\neq 0 \ \longrightarrow \ \text{matriz diagonalizable}$

고유값과 고유벡터의 속성은 서로 다른 고유값의 고유벡터가 선형독립이라는 것입니다. 따라서 행렬의 고유값이 모두 고유한 경우 행렬은 대각선화 가능합니다.

행렬이 대각행렬에 수용될 수 있는지 여부를 결정하는 또 다른 방법은 대수적 다중성과 기하학적 다중성을 사용하는 것입니다. 대수적 다중성은 고유값(또는 고유값)이 반복되는 횟수이고, 기하학적 다중성은 주대각선에서 고유값을 뺀 행렬의 커널(또는 커널) 차원입니다. 따라서 각 고유값에 대해 대수적 다중도가 기하학적 다중도와 같으면 행렬은 대각선화 가능합니다.

$\alpha_\lambda = \text{multiplicidad algebraica} = \text{multiplicidad del valor propio}$

$m_\lambda = \text{multiplicidad geom\'etrica} = \text{dim } Ker(A-\lambda I) = n -rg(A-\lambda I)$

$\alpha_\lambda \geq m_\lambda \geq 1$

$\text{si} \quad \alpha_\lambda = m_\lambda \quad \forall \lambda \ \longrightarrow \ \text{matriz diagonalizable}$

마지막으로, 실수를 사용한 대칭 행렬의 대각선화를 보장하는 스펙트럼 정리라는 정리가 있습니다. 즉, 모든 실수 및 대칭 행렬은 대각선화 가능합니다 .

행렬을 대각화하는 방법

행렬을 대각화하는 절차는 행렬의 고유값(또는 고유값)과 고유벡터(또는 고유벡터)를 찾는 것을 기반으로 합니다. 이것이 바로 모든 행렬의 고유값(또는 고유값)과 고유벡터(또는 고유벡터)를 계산하는 방법을 익히는 것이 중요한 이유입니다. 링크를 클릭하면 어떻게 되었는지 기억하실 수 있습니다. 여기서는 찾는 방법과 계산을 훨씬 쉽게 만드는 몇 가지 요령을 단계별로 설명합니다. 또한, 연습할 수 있는 해결된 연습 문제도 찾을 수 있습니다.

다음 방법을 사용하면 2×2, 3×3, 4×4 등 모든 차원의 행렬을 대각화할 수 있습니다. 행렬을 대각화하기 위해 따라야 할 단계는 다음과 같습니다.

행렬의 고유값(또는 고유값)을 구합니다.
각 고유값과 연관된 고유벡터를 계산합니다.
행렬 구성
$P$

, 그 열은 대각화할 행렬의 고유 벡터입니다.
행렬이 대각화될 수 있는지 확인합니다(이전 섹션에서 설명한 조건 중 하나를 충족해야 함).
대각 행렬 구축
$D$

, 그 요소는 1단계에서 찾은 고유값인 주대각선의 요소를 제외하고 모두 0입니다.

경고: 행렬의 고유벡터

$P$

어떤 순서로든 배치할 수 있지만 대각 행렬의 고유값은

$D$

동일한 순서로 배치해야 합니다. 예를 들어, 대각 행렬의 첫 번째 고유값은

$D$

행렬의 첫 번째 열의 고유벡터에 해당하는 것이어야 합니다.

$P$

다음은 연습할 수 있는 몇 가지 단계별 행렬 대각화 연습입니다.

행렬 대각화 문제 해결

연습 1

2×2 차원의 다음 정사각 행렬을 대각선화합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2\\[1.1ex] 1&3\end{pmatrix}$

솔루션 보기

먼저 행렬 A의 고유값을 결정해야 합니다. 따라서 다음 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &2\\[1.1ex] 1&3-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-5\lambda +4$

이제 특성 다항식의 근을 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle \lambda^2-5\lambda +4=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 4 \\[2ex] \lambda = 1 \end{cases}$

고유값을 얻으면 각각과 관련된 고유벡터를 계산합니다. 먼저 고유값 1에 해당하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

$\displaystyle (A-I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\[1.1ex] 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y = 0 \\[2ex] x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-2y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

그런 다음 고유값 4와 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&2\\[1.1ex] 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 구축합니다

$P$

, 행렬의 고유 벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-2&1 \\[1.1ex] 1&1 \end{pmatrix}$

모든 고유값이 다르기 때문에 행렬 A는 대각화 가능합니다. 따라서 해당 대각 행렬은 주 대각선에 고유값을 갖는 행렬입니다.

$\displaystyle D= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&4\end{pmatrix}$

고유값은 고유벡터가 행렬에 배치된 순서와 동일한 순서로 배치되어야 함을 기억하세요.

$P$

결론적으로, 베이시스 변화 행렬과 대각화 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-2&1 \\[1.1ex] 1&1 \end{pmatrix} \qquad D= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&4\end{pmatrix}$

연습 2

다음 2차 정사각 행렬을 대각선화합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&4\\[1.1ex] -1&-2\end{pmatrix}$

솔루션 보기

먼저 행렬 A의 고유값을 결정해야 합니다. 따라서 다음 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &4\\[1.1ex] -1&-2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-\lambda -2$

이제 특성 다항식의 근을 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle \lambda^2-\lambda -2=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

고유값을 얻으면 각각과 관련된 고유벡터를 계산합니다. 먼저 고유값 -1에 해당하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}4&4\\[1.1ex] -1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 4x+4y = 0 \\[2ex] -x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

그런 다음 고유값 2와 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&4\\[1.1ex] -1&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+4y = 0 \\[2ex] -x-4y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-4y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-4 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 구축합니다

$P$

, 행렬의 고유 벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-1&-4 \\[1.1ex] 1&1 \end{pmatrix}$

모든 고유값이 서로 다르기 때문에 행렬 A는 대각화 가능합니다. 따라서 해당 대각 행렬은 주 대각선의 고유값을 포함하는 행렬입니다.

$\displaystyle D= \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 0&2\end{pmatrix}$

고유값은 고유벡터가 행렬에 배치된 순서와 동일한 순서로 배치되어야 함을 기억하세요.

$P$

결론적으로, 베이시스 변화 행렬과 대각화 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-1&-4 \\[1.1ex] 1&1\end{pmatrix} \qquad D= \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 0&2\end{pmatrix}$

연습 3

3×3 차원의 다음 정사각 행렬을 대각선화합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&0&2\\[1.1ex] -1&2&1\\[1.1ex] 0&1&4\end{pmatrix}$

솔루션 보기

첫 번째 단계는 행렬 A의 고유값을 찾는 것으로 구성됩니다. 따라서 다음 행렬의 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&0&2\\[1.1ex] -1&2-\lambda&1\\[1.1ex] 0&1&4-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+8\lambda^2-19\lambda+12$

이제 특성 다항식의 근을 계산해야 합니다. 3차 다항식이므로 Ruffini의 법칙을 적용합니다.

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&8&-19& 12 \\[2ex] 1 & & -1&7&-12 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&7&-12&0 \end{array}$

그런 다음 얻은 다항식의 근을 찾습니다.

$\displaystyle -\lambda^2+7\lambda -12=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 3 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

따라서 행렬의 고유값은 다음과 같습니다.

$\lambda=1 \qquad \lambda =3 \qquad \lambda = 4$

고유값이 발견되면 각 고유값과 관련된 고유벡터를 계산합니다. 먼저 고유값 1에 해당하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

$\displaystyle (A-I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&2\\[1.1ex] -1&1&1\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2z = 0 \\[2ex] -x+y+z = 0\\[2ex] y+3z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}x=-2z \\[2ex] y = -3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

그런 다음 고유값 3과 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0&2\\[1.1ex] -1&-1&1\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2z = 0 \\[2ex] -x-y+z = 0\\[2ex] y+z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}x=2z \\[2ex] y = -z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

마지막으로 고유값 4와 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&0&2\\[1.1ex] -1&-2&1\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2z = 0 \\[2ex] -x-2y+z = 0\\[2ex] y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}x=z \\[2ex] y = 0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 구축합니다

$P$

, 행렬의 고유 벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-2&2&1 \\[1.1ex] -3&-1&0 \\[1.1ex] 1&1&1 \end{pmatrix}$

모든 고유값이 서로 다르기 때문에 행렬 A는 대각화 가능합니다. 따라서 해당 대각 행렬은 주 대각선에 고유값을 갖는 행렬입니다.

$\displaystyle D= \begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&3&0 \\[1.1ex] 0&0&4\end{pmatrix}$

고유값은 고유벡터가 행렬에 배치된 순서와 동일한 순서로 배치되어야 함을 기억하세요.

$P$

간단히 말해서, 기저 변화 행렬과 대각화 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-2&2&1 \\[1.1ex] -3&-1&0 \\[1.1ex] 1&1&1\end{pmatrix} \qquad D= \begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&3&0 \\[1.1ex] 0&0&4\end{pmatrix}$

연습 4

가능하다면 다음과 같은 3차 정사각 행렬을 대각선화합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}-1&3&1\\[1.1ex] 0&2&0\\[1.1ex] 3&-1&1\end{pmatrix}$

솔루션 보기

첫 번째 단계는 행렬 A의 고유값을 찾는 것으로 구성됩니다. 따라서 다음 행렬의 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}-1-\lambda&3&1\\[1.1ex] 0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 3&-1&1-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+2\lambda^2+4\lambda-8$

이제 최소 다항식의 근을 계산해야 합니다. 3차 다항식이므로 Ruffini의 법칙을 적용하여 인수분해합니다.

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&2&\phantom{-}4& -8 \\[2ex] 2 & & -2&0&8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&0&4&0 \end{array}$

그런 다음 얻은 다항식의 근을 찾습니다.

$\displaystyle -\lambda^2+4=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = +2 \\[2ex] \lambda = -2 \end{cases}$

따라서 행렬의 고유값은 다음과 같습니다.

$\lambda=2 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = -2$

-2의 고유값은 단순 대수적 다중성을 갖는 반면, 고유값 2는 이중 다중성을 갖습니다.

고유값이 발견되면 각 고유값과 관련된 고유벡터를 계산합니다. 먼저, 고유값 -2에 해당하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

$\displaystyle (A+2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&3&1\\[1.1ex] 0&4&0\\[1.1ex] 3&-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+3y+z = 0 \\[2ex] 4y = 0\\[2ex] 3x-y+3z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}y=0 \\[2ex] x = -z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] -1\end{pmatrix}$

이제 고유값 2와 관련된 고유벡터를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-3&3&1\\[1.1ex] 0&0&0\\[1.1ex] 3&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+3y+z = 0 \\[2ex] 0= 0\\[2ex] 3x-y-z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}y=0 \\[2ex] z=3x \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

고유값 2가 두 번 반복되므로 부분공간(또는 고유공간) 방정식을 만족하는 또 다른 고유벡터를 계산해야 합니다.

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] -3\end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 구축합니다

$P$

, 행렬의 세 고유벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}1&1&-1 \\[1.1ex] 0&0&0 \\[1.1ex] -1&3&-3 \end{pmatrix}$

그러나 고유값 2를 갖는 두 고유벡터가 서로 선형 결합이기 때문에 세 벡터는 선형 독립이 아닙니다. 이는 또한 행렬의 행렬식으로 인해 증명될 수 있습니다.

$P$

0과 같습니다(0으로 가득 찬 줄이 있음).

$\displaystyle \text{det}(P) = \begin{vmatrix}1&1&-1 \\[1.1ex] 0&0&0 \\[1.1ex] -1&3&-3 \end{vmatrix}=0$

따라서 고유벡터는 선형 종속이므로 행렬 A는 대각화 가능하지 않습니다 .

연습 5

가능하다면 크기가 3×3인 다음 정사각 행렬을 대각선화하세요.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&0&0\\[1.1ex] 0&2&1\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

솔루션 보기

첫 번째 단계는 행렬 A의 고유값을 찾는 것으로 구성됩니다. 따라서 다음 행렬의 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3-\lambda&0&0\\[1.1ex] 0&2-\lambda&1\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda \end{vmatrix}$

첫 번째 줄은 3을 제외한 0으로 완전히 구성되므로 이를 활용하여 보조인자(또는 인접인자)로 행렬의 행렬식을 풀 것입니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}3-\lambda&0&0\\[1.1ex] 0&2-\lambda&1\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda \end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\[1.1ex]1&2-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[\lambda^2 -4\lambda +3] \end{aligned}$

이제 특성 다항식의 근을 계산해야 합니다. 괄호를 곱하면 3차 다항식을 얻을 수 있으므로 곱하지 않는 것이 좋습니다. 반면에 두 요인을 별도로 해결하면 고유값을 얻는 것이 더 쉽습니다.

$\displaystyle (3-\lambda)[\lambda^2 -4\lambda +3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] \lambda^2 -4\lambda +3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

따라서 행렬의 고유값은 다음과 같습니다.

$\lambda=1 \qquad \lambda =3 \qquad \lambda = 3$

고유값이 발견되면 각 고유값과 관련된 고유벡터를 계산합니다. 먼저 고유값 1에 해당하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

$\displaystyle (A-I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}2&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x = 0 \\[2ex] y+z = 0\\[2ex] y+z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}x=0 \\[2ex] y = -z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

그런 다음 고유값 3과 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0 = 0 \\[2ex] -y+z = 0\\[2ex] y-z = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l}y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

고유값 3이 두 번 반복되므로 고유공간 방정식을 만족하는 또 다른 고유벡터를 계산해야 합니다.

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 구축합니다

$P$

, 행렬의 고유 벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}0&0&1 \\[1.1ex] -1&1&0 \\[1.1ex] 1&1&0 \end{pmatrix}$

연습 4와 달리, 이 경우 고유값 3의 대수적 다중도는 두 배임에도 불구하고 3개의 선형 독립 벡터를 형성할 수 있었습니다. 이는 행렬의 행렬식을 통해 확인할 수 있습니다.

$P$

0과 다른 결과를 제공합니다.

$\displaystyle \text{det}(P) = \begin{vmatrix}0&0&1 \\[1.1ex] -1&1&0 \\[1.1ex] 1&1&0 \end{vmatrix} =-2 \neq 0$

따라서 행렬 A의 대각 분해를 수행할 수 있습니다. 그리고 해당 대각 행렬은 주대각선에 고유값을 갖는 행렬입니다.

$\displaystyle D= \begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&3&0 \\[1.1ex] 0&0&3\end{pmatrix}$

고유값은 고유벡터가 행렬에 배치된 순서와 동일한 순서로 배치되어야 함을 기억하세요.

$P$

즉, 행렬을 대각화하는 데 필요한 기본 변경 행렬과 그 대각화 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}0&0&1 \\[1.1ex] -1&1&0 \\[1.1ex] 1&1&0 \end{pmatrix}\qquad D= \begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&3&0 \\[1.1ex] 0&0&3\end{pmatrix}$

연습 6

가능하다면 다음과 같은 4×4 차원 행렬의 대각화를 수행하십시오.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&2&0\\[1.1ex] 1&-3&1&0\\[1.1ex] 0&-1&0&0\\[1.1ex] 0&0&0&5\end{pmatrix}$

솔루션 보기

첫 번째 단계는 행렬 A의 고유값을 찾는 것으로 구성됩니다. 따라서 다음 행렬의 행렬식을 풀어 특성 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&2&0\\[1.1ex] 1&-3-\lambda&1&0\\[1.1ex] 0&-1&-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&5-\lambda\end{vmatrix}$

이 경우 행렬식의 마지막 열은 하나의 요소를 제외하고 0으로만 구성되므로 이를 활용하여 이 열을 통해 보조 인자로 행렬식을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}2-\lambda&1&2&0\\[1.1ex] 1&-3-\lambda&1&0\\[1.1ex] 0&-1&-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&5-\lambda\end{vmatrix}& = (5-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}2-\lambda&1&2\\[1.1ex] 1&-3-\lambda&1\\[1.1ex] 0&-1&-\lambda\end{vmatrix}\\[3ex] & = (5-\lambda)[-\lambda^3 -\lambda^2 +6\lambda] \end{aligned}$

이제 특성 다항식의 근을 계산해야 합니다. 괄호의 곱을 사용하지 않는 것이 더 좋습니다. 그러면 4차 다항식을 얻게 되기 때문입니다. 그러나 두 요인을 별도로 해결하면 고유값을 계산하는 것이 더 쉽습니다.

$\displaystyle (5-\lambda)[-\lambda^3 -\lambda^2 +6\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 5-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 5 \\[2ex] -\lambda^3 -\lambda^2 +6\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 -\lambda +6) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 -\lambda +6)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 -\lambda +6=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=2 \\[2ex] \lambda = -3 \end{cases}\end{cases}$

따라서 행렬의 고유값은 다음과 같습니다.

$\lambda=0 \qquad \lambda =-3 \qquad \lambda = 2\qquad \lambda = 5$

모든 고유값을 찾으면 고유벡터를 향해 이동합니다. 고유값 0과 연관된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&2&0\\[1.1ex] 1&-3&1&0\\[1.1ex] 0&-1&0&0\\[1.1ex] 0&0&0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w+x+2y = 0 \\[2ex] w-3x+y = 0\\[2ex] -x=0 \\[2ex] 5z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=0 \\[2ex] z=0 \\[2ex]w=-y \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

고유값 -3과 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A+3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5&1&2&0\\[1.1ex] 1&0&1&0\\[1.1ex] 0&-1&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 5w+x+2y = 0 \\[2ex] w+y = 0\\[2ex] -x+3y=0 \\[2ex] 8z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=-y \\[2ex]x=3y \\[2ex] z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-1 \\[1.1ex] 3 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

고유값 2와 연관된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&2&0\\[1.1ex] 1&-5&1&0\\[1.1ex] 0&-1&-2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y = 0 \\[2ex] w-5x+y = 0\\[2ex] -x-2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-2y \\[2ex] w=-11y \\[2ex] z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-11 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

고유값 5와 관련된 고유벡터를 계산합니다.

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&2&0\\[1.1ex] 1&-8&1&0\\[1.1ex] 0&-1&-5&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3w+x+2y = 0 \\[2ex] w-8x+y = 0\\[2ex] -x-5y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

우리는 매트릭스를 만든다

$P$

, 행렬의 고유 벡터로 구성됩니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-1&-1&-11&0 \\[1.1ex] 0&3&-2&0 \\[1.1ex] 1&1&1&0 \\[1.1ex]0&0&0&1\end{pmatrix}$

모든 고유값이 서로 다르기 때문에 행렬 A는 대각화 가능합니다. 따라서 해당 대각 행렬은 주 대각선에 고유값을 갖는 행렬입니다.

$\displaystyle D= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\[1.1ex] 0&-3&0&0 \\[1.1ex] 0&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&5\end{pmatrix}$

고유값은 고유벡터가 행렬에 배치된 순서와 동일한 순서로 배치되어야 함을 기억하세요.

$P$

요약하면, 행렬 A와 대각 형태의 행렬을 대각화하는 데 필요한 기본 행렬 변경 사항은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}-1&-1&-11&0 \\[1.1ex] 0&3&-2&0 \\[1.1ex] 1&1&1&0 \\[1.1ex]0&0&0&1\end{pmatrix} \qquad D=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\[1.1ex] 0&-3&0&0 \\[1.1ex] 0&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&5\end{pmatrix}$

대각화 가능 행렬의 응용

여기까지 했다면 아마도 대각화 가능한 행렬이 무엇인지 궁금할 것입니다.

음, 대각화 가능 행렬은 매우 유용하며 수학에서 널리 사용됩니다. 그 이유는 대각 행렬이 실제로 0으로 가득 차 있어 계산이 훨씬 쉬워지기 때문입니다.

이에 대한 명확한 예는 대각화 가능 행렬의 거듭제곱입니다. 그 결과는 다음 공식으로 단순화되기 때문입니다.

$\displaystyle A^k=PD^kP^{-1}$

이 동등성은 귀납법으로 쉽게 증명될 수 있습니다. 따라서 매트릭스를 높이는 것으로 충분합니다.

$D$

전시자에게. 그리고 이는 대각 행렬이므로 주대각선의 각 항을 지수로 올리는 작업으로 축소됩니다.

$\displaystyle D^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k, \ldots , \lambda_n^k)$

대각화 가능 행렬의 거듭제곱의 예

더 잘 이해하기 위해 대각화 가능한 행렬의 검정력을 예를 들어 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&0\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}$

기본 변경 매트릭스

$P$

, 고유 벡터와 대각화 행렬로 구성됨

$D$

는 자체 값으로 구성되며 다음과 같습니다.

$\displaystyle P = \begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3 \end{pmatrix} \qquad D= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&2\end{pmatrix}$

따라서 예를 들어 7로 승격된 행렬 A는 다음과 같습니다.

$\displaystyle A^7=PD^7P^{-1}$

$\displaystyle A^7=\begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&2\end{pmatrix}^7\left.\begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3 \end{pmatrix}\right.^{-1}$

이제 행렬을 반전시킵니다.

$P:$

$\displaystyle A^7=\begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&2\end{pmatrix}^7\begin{pmatrix}-3&1 \\[1.1ex] 1&0 \end{pmatrix}$

우리는 행렬의 거듭제곱을 해결합니다.

$D:$

$\displaystyle A^7=\begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^7&0\\[1.1ex] 0&2^7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3&1 \\[1.1ex] 1&0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^7=\begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 1&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 0&128\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3&1 \\[1.1ex] 1&0 \end{pmatrix}$

그리고 마지막으로 행렬의 곱셈을 수행합니다.

$\displaystyle \bm{A^7=}\begin{pmatrix}\bm{128}&\bm{0}\\[1.1ex] \bm{381}&\bm{1}\end{pmatrix}$

보시다시피, 동일한 행렬을 연속으로 7번 곱하는 것보다 대각 행렬을 사용하여 검정력을 계산하는 것이 더 편리합니다. 그런 다음 훨씬 더 큰 지수 값을 상상해보십시오.

대각화 가능 행렬의 속성

이 유형의 매트릭스의 특징은 다음과 같습니다.

매트릭스의 경우
$A$

대각화 가능합니다.

$A$

.

복잡한 환경에서는 거의 모든 행렬을 대각선화할 수 있습니다.
$\mathbb{C}$

. 아래에는 대각선화할 수 없는 예외가 있습니다.

매트릭스의 경우
$P$

는 직교 행렬이고, 그러면 행렬은 다음과 같습니다.

$A$

는 직교 대각선화 가능 하므로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$\displaystyle A=PDP^t$

행렬은 정규 행렬인 경우에만 단일 행렬로 대각선화할 수 있습니다.

두 개의 대각화 가능 행렬이 주어지면, 동시에 대각화할 수 있는 경우, 즉 고유벡터(또는 고유벡터)의 동일한 정규 직교 기반을 공유하는 경우에만 교환 가능합니다.

내배엽형이 대각화 가능하다면 유사성에 의해 대각화 가능 하다고 말합니다. 그러나 모든 내배엽형이 대각화 가능한 것은 아닙니다. 즉, 내형형의 대각화가 보장되지 않습니다.

동시 대각선화

이 집합의 행렬을 대각화하기 위한 기초 역할을 하는 역행렬이 존재하는 경우 행렬 집합 은 동시에 대각화 가능하다고 합니다 . 즉, 두 행렬이 동일한 고유벡터 기준으로 대각화되면 이는 두 행렬이 동시에 대각화 가능하다는 의미입니다.

또한 행렬 대각화의 속성에서 설명했듯이 두 행렬이 동시에 대각화할 수 있는 경우 서로 통근해야 합니다.

예를 들어, 다음 두 행렬은 교환 가능하므로 고유벡터 또는 고유벡터를 동일한 기준으로 대각화합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0 \\[1.1ex] 1&-1 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}3&0\\[1.1ex] 1&0 \end{pmatrix}$

동일한 고유벡터를 갖는다고 해서 동일한 고유값을 갖는다는 의미는 아닙니다. 실제로 위의 행렬 A와 B는 유사한 고유벡터를 가지지만 서로 다른 고유값을 갖습니다.

대각선화할 수 없는 행렬

대부분의 행렬은 복소수 환경에서 대각화할 수 있지만 일부 행렬은 절대 대각화할 수 없습니다.

이 사실은 고유값(또는 고유값)의 대수적 다중성이 기하학적 다중성과 일치하지 않을 때 발생합니다.

예를 들어, 다음 행렬은 어떤 방식으로도 대각화할 수 없으며 “대각화 가능”합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] 0&0 \end{pmatrix}$

또한 실수 환경에서는 대각화할 수 없지만 다음 행렬과 같이 복소수를 사용할 때는 대각화하는 행렬이 있습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&1 \\[1.1ex] -1&0 \end{pmatrix}$

마지막으로, 완전히 대각화할 수는 없지만 좀 더 복잡한 일부 행렬 블록 대각화 절차가 있습니다. 가장 잘 알려진 방법은 Jordan의 표준 형식을 사용한 대각화입니다.

MATLAB을 사용하여 행렬 대각선화

컴퓨터 프로그램은 행렬을 대각화할 때, 특히 행렬이 매우 큰 경우 매우 편리합니다. 가장 잘 알려진 소프트웨어는 확실히 MATLAB 이므로 다음에는 이 프로그램을 사용하여 행렬을 대각선 인수분해하는 방법을 살펴보겠습니다.

MATLAB을 사용하여 행렬을 대각화하는 데 사용되는 명령은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \text{[P, D] = eig(A)}$

금

$A$

는 대각화할 행렬이고

$P$

그리고

$D$

프로그램이 반환하는 행렬은 다음과 같습니다.

$P$

는 고유벡터에 의해 형성된 행렬이고

$D$

는 주 대각항이 고유값인 대각 형태의 행렬입니다.

따라서 이 코드를 프로그램에 입력하기만 하면 됩니다.

반면에 고유값만 알고 싶다면 다음 명령문을 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle e= eig(A)}$

금

$e$

MATLAB이 행렬의 고유값과 함께 반환하는 열 벡터입니다.

$A$

대각화 가능 행렬이란 무엇입니까?

언제 행렬을 대각화할 수 있나요?

행렬을 대각화하는 방법

행렬 대각화 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

대각화 가능 행렬의 응용

대각화 가능 행렬의 거듭제곱의 예

대각화 가능 행렬의 속성

동시 대각선화

대각선화할 수 없는 행렬

MATLAB을 사용하여 행렬 대각선화

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