▷ 영(0/0) 사이의 영 불확정성 해결

이 기사에서는 불확실성이 0/0일 때 함수의 극한을 저장하는 방법을 설명합니다. 또한, 0과 0 사이의 불확정성에 대한 해결 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

영(0/0) 사이의 불확정성을 해결하는 방법

그런 다음 0(0/0) 사이의 불확정성이 0인 경우 함수의 극한을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 이를 위해 단계별로 예제를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}$

먼저 x 값을 함수에 대입하여 극한을 계산하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x -2}{x^2-3x+2}=\frac{2^2 -2-2}{2^2-3\cdot 2+2}=\frac{0}{0}$

그러나 우리는 불확정성 0을 0으로 나눈 값을 얻습니다.

점 함수의 극한이 불확실성 0/0을 제공하는 경우 분자와 분모의 다항식을 인수분해한 다음 공통 인수를 단순화해야 합니다.

그러므로 우리는 분수의 분자와 분모의 다항식을 인수분해해야 합니다. 이를 위해 Ruffini의 법칙을 사용합니다.

➤ 다항식을 인수분해하는 방법을 모르는 경우 다항식 전문 사이트인 www.polinomios.org 에서 설명을 참조하는 것이 좋습니다.

따라서 다항식을 인수분해하면 극한은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

이제 분수의 분자와 분모에서 반복되는 인수를 제거하여 극한을 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)}{(x-1)}$

마지막으로 한도를 다시 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x+1}{x-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=\cfrac{3}{1}=\bm{3}$

보시다시피 다항식을 인수분해하고 단순화하면 극한에서 해를 찾는 것이 매우 쉽습니다.

뿌리가 있는 불확정성 0/0

우리는 유리 함수의 0/0 불확정성이 어떻게 해결되는지 살펴보았습니다. 그러나 극한이 무리(또는 급진) 함수인 경우 0/0 불확정성은 다르게 해결됩니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

먼저 다음 작업을 수행하여 한도를 해결하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{0}{0}$

그러나 우리는 불확정성이 0이 아닌 0을 얻습니다.

근이 있는 함수의 극한이 불확정성 0/0 을 제공하는 경우 분수의 분자와 분모에 근호 표현식의 켤레를 곱해야 합니다.

➤ 결합형은 동일한 무리수 표현이지만 가운데 기호가 수정되었음을 기억하세요.

다음으로, 분수의 분자와 분모에 근호 표현의 공액을 곱합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}$

이러한 유형의 한계 내에서 이 단계를 수행함으로써 우리는 항상 단순화할 수 있는 주목할만한 정체성을 얻게 될 것입니다. 이 경우 분모에는 합계와 차이의 곱이 있으므로 다음과 같습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$

분자와 분모에서 반복되는 인수를 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\cancel{\left(x-1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\cancel{x-1}}=\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)$

그리고 이런 방식으로 우리는 극한의 결과를 찾을 수 있습니다:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{1}+1=2$

불확정성 0/0에 대한 해결 연습

아래에는 0/0 불확정성을 제공하는 함수의 한계에 대한 몇 가지 단계별 해결 연습이 준비되어 있습니다. 시도해 보고 해결책을 확인할 수 있습니다.

제한 사항 해결에 관해 궁금한 점이 있으면 댓글로 질문할 수 있다는 점을 잊지 마세요!

연습 1

x=-2 지점에서 다음 유리 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}$

솔루션 보기

논리적으로 우리는 먼저 한계를 해결하려고 노력합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\frac{(-2)^2+2\cdot (-2)}{(-2)^2-(-2)-6}=\frac{4-4}{4+2-6}=\frac{0}{0}$

그러나 우리는 0/0 불확정성으로 끝납니다. 그러므로 우리는 분자와 분모의 다항식을 인수분해해야 합니다:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\lim_{x \to -2}\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)}$

이제 분자와 분모에서 반복되는 괄호를 제거하여 분수를 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-3)}=\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}$

마지막으로 단순화된 분수를 사용하여 한계를 다시 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}=\cfrac{-2}{-2-3}=\cfrac{-2}{-5}=\mathbf{\cfrac{2}{5}}$

연습 2

x가 -1에 접근할 때 다음 함수의 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}$

솔루션 보기

먼저 평소처럼 한도를 해결하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3-5(-1)^2+2(-1)+8} =\frac{0}{0}$

그러나 우리는 0 사이의 불확정성 0을 얻습니다. 따라서 분수의 2개 다항식을 인수분해해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x-4)}$

이제 다항식을 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{\cancel{(x+1)}(x-2)(x-4)}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}$

그리고 우리는 한계를 해결합니다:

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{ (-1-1)(-1+2)}{(-1-2)(-1-4)}=\frac{(-2)\cdot (1)}{(-3)\cdot (-5)}=\frac{\bm{-2}}{\bm{15}}$

연습 3

다음 근호 함수의 극한의 해를 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}$

솔루션 보기

먼저, 한계가 일종의 불확정성을 제공하는지 확인합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}=\frac{2^2-3\cdot2+2}{2-\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{4-6+2}{2-2}=\frac{0}{0}$

한계는 불확정성 0을 0으로 나눈 값을 제공하며 함수에 근이 있습니다. 그러므로 우리는 분수의 분자와 분모에 근호 표현의 공액을 곱해야 합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{\left(2-\sqrt{2x}\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}$

분모는 합과 차이의 곱의 주목할 만한 동일성의 개발에 해당하므로 이를 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{2^2-\left(\sqrt{2x}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}$

그러나 아직은 분수의 조건을 단순화할 수 없습니다. 그러므로 우리는 다항식을 인수분해해야 합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)\cdot\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2(x-2)}$

이 방법으로 분수를 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\cancel{(x-2)}\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2\cancel{(x-2)}}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}$

이제 제한 결과를 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}=\frac{(2-1)\left(2+\sqrt{2\cdot 2}\right)}{-2}=\frac{1\cdot (2+2)}{-2}=\bm{-2}$

연습 4

x가 다음 근호 함수의 0에 접근할 때 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}$

솔루션 보기

먼저, 항상 하던 대로 함수의 극한을 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}=\frac{0+0}{3-\sqrt{4\cdot 0+9}}=\frac{0}{3-3}=\frac{0}{0}$

그러나 우리는 0/0의 불확정 형태를 얻습니다. 따라서 우리는 함수의 분자와 분모에 비합리적 표현의 공액을 곱합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{\left(3-\sqrt{4x+9}\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}$

분모를 단순화하기 위해 해당하는 주목할만한 식별 공식을 적용합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{3^2-\left(\sqrt{4x+9}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{9-(4x+9)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

이제 우리는 공통 인수를 취하여 분자의 이항식을 인수분해합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}=\lim_{x\to 0}\frac{\bigl[x(x+6)\bigr]\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

함수의 분자와 분모에서 반복되는 요소를 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x}\left(x+6\right)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4\cancel{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}$

그리고 마지막으로 함수의 한계를 해결합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{(0+6)\left(3+\sqrt{4\cdot 0+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{6\cdot (3+3)}{-4}=\frac{36}{-4}=\bm{-9}\end{array}$

연습 5

0/0 불확정성 방법을 사용하여 다음 극한을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}$

➤ 참고: 함수의 측면 한계를 계산하는 방법

솔루션 보기

먼저 한도를 해결하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3+5(-1)^2+7(-1)+3}=\frac{0}{0}$

그러나 한계 내에서 우리는 0 대 0 불확정성을 얻습니다. 따라서 분자와 분모의 다항식을 인수분해합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$

이제 분자와 분모에서 반복되는 요소를 제거하여 분수를 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \cfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{(x+1)^{\cancel{2}}(x+3)}=\lim_{x \to -1}\cfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}$

그리고 한계를 다시 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)(-1+2)}{(-1+1)(-1+3)}=\frac{-2\cdot 1}{0 \cdot 2}=\frac{-2}{0} =\infty$

그러나 이제 우리는 숫자를 0으로 나눈 불확정성에 직면하게 되었습니다. 따라서 x가 -1에 가까워질 때 함수의 측면 한계를 계산해야 합니다.

먼저 왼쪽의 x=-1 지점에서 함수의 측면 극한을 구합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{-0}=+\infty$

그런 다음 오른쪽 x=-1 지점에서 함수의 측면 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

따라서 두 측면 극한이 일치하지 않으므로 x=-1에서 함수의 극한은 존재하지 않습니다.

$\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to -1^-}f(x)= +\infty\neq\lim_{x \to -1^+}f(x)=-\infty\ \bm{\longrightarrow} \ \cancel{\exists} \lim_{x \to -1} f(x)$

영(0/0) 사이의 불확정성을 해결하는 방법

뿌리가 있는 불확정성 0/0

불확정성 0/0에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

댓글 달기 댓글 취소