무능한 행렬

이 페이지에서는 무능 행렬이 무엇인지에 대한 설명과 몇 가지 예를 찾아 이해할 수 있으며 의심의 여지가 없습니다. 또한, 무능한 행렬의 구조와 이러한 유형의 행렬의 모든 속성을 볼 수 있습니다.

무능한 행렬이란 무엇입니까?

nilpotent 행렬의 정의는 다음과 같습니다.

무능 행렬(nilpotent 행렬) 은 정수로 올려진 정사각 행렬로 영 행렬을 제공합니다.

$N^k =0$

금

$N$

무능한 행렬이고

$k$

제로 행렬을 제공하는 거듭제곱의 지수입니다.

이 조건은 nilpotent 행렬의 거듭제곱이 지수에 관계없이 항상 0을 제공한다는 의미가 아니라 오히려 결과가 0으로 가득 찬 행렬인 행렬의 거듭제곱이 하나 이상 존재하는 경우 해당 행렬은 nilpotent임을 의미합니다.

한편, nilpotency 행렬의 nilpotency index는 nilpotency 조건을 만족하는 가장 작은 숫자입니다. 또한 nilpotent 행렬은 k 차수라고 말할 수 있습니다. 여기서 k 는 nilpotency 지수입니다.

무능한 행렬의 예

무능 행렬의 개념을 완전히 이해하기 위해 이러한 유형의 행렬에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

2 × 2 무능 행렬의 예

다음과 같은 2×2 차원의 정사각 행렬은 무효입니다.

행렬 A를 제곱하여 결과적으로 영 행렬을 얻기 때문에 행렬은 무능합니다.

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bm{0} &\bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} \end{pmatrix}$

따라서 영 행렬은 2승으로 얻어지기 때문에 무능 행렬이고 무능 지수는 2입니다.

3×3 무능 행렬의 예

다음 3차 정사각 행렬 은 무효입니다.

행렬을 2로 올리면 제로 행렬을 얻지 못합니다.

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}$

그러나 행렬의 세제곱을 계산할 때 모든 요소가 0인 행렬을 얻습니다.

$\displaystyle B^3= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex]\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex] \bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\end{pmatrix}$