행렬식으로 행렬의 순위를 계산합니다

이 페이지에서는 그것이 무엇인지, 행렬식으로 행렬의 범위를 계산하는 방법을 볼 수 있습니다. 또한 행렬의 범위를 쉽게 찾는 방법을 배울 수 있는 예제와 해결된 연습 문제를 찾을 수 있습니다. 또한 행렬의 범위 속성도 볼 수 있습니다.

행렬의 순위는 무엇입니까?

행렬의 범위 정의는 다음과 같습니다.

행렬의 순위는 행렬식이 0이 아닌 가장 큰 정사각형 부분행렬의 차수입니다.

이번 페이지에서는 행렬식의 방법으로 행렬의 범위를 알아보겠습니다. 행렬의 범위는 가우시안 방법으로도 구할 수 있지만 더 느리고 복잡합니다.

행렬의 범위가 무엇인지 알았으면 행렬식으로 행렬의 범위를 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 그러나 행렬의 범위를 풀려면 먼저 3×3 행렬식을 계산하는 방법을 알아야 합니다.

행렬의 범위를 어떻게 알 수 있나요? 예:

다음 3×4 차원 행렬의 범위를 계산합니다.

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

우리는 항상 가장 큰 순서 결정자를 풀어서 행렬이 최대 순위를 갖는지 확인하는 것부터 시작합니다. 그리고 이 차수의 행렬식이 0이면 0이 아닌 다른 행렬식을 찾을 때까지 더 낮은 차수의 행렬식을 계속 테스트합니다.

이 경우에는 3×4 차원의 행렬입니다. 따라서 차수 4의 행렬식을 만들 수 없기 때문에 최대 순위 3이 됩니다 . 따라서 3×3 부분행렬을 취하고 행렬식이 0인지 확인합니다. 예를 들어 처음 3개 열의 행렬식을 다음과 같이 풉니다. Sarrus 규칙:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

열 1, 2, 3의 행렬식은 0입니다. 이제 다른 행렬식, 예를 들어 열 1, 2, 4의 행렬식을 시도해야 합니다.

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

또한 0을 제공했습니다. 따라서 0 이외의 다른 것이 있는지 확인하기 위해 차수 3의 행렬식을 계속 테스트합니다. 이제 열 1, 3, 4로 구성된 행렬식을 테스트합니다.

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

3차 행렬식 중에서 2열, 3열, 4열로 구성된 행렬식을 시도해 보세요.

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

우리는 이미 행렬 A의 가능한 모든 3×3 행렬식을 시도했는데 이들 중 어느 것도 0과 다르지 않기 때문에 행렬은 랭크 3이 아닙니다 . 따라서 기껏해야 2순위가 될 것이다.

$\displaystyle rg(A) < 3$

이제 행렬이 랭크 2인지 확인하겠습니다. 이를 위해서는 행렬식이 0과 다른 2차 정사각형 부분행렬을 찾아야 합니다. 왼쪽 상단 모서리에 있는 2×2 부분행렬을 시도해 보겠습니다.

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

행렬 내에서 0과 다른 차수 2의 행렬식을 찾았습니다. 결과적으로 행렬은 순위 2입니다.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

해결된 매트릭스 범위 문제

연습 1

다음 2×2 행렬의 순위를 결정합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

해결책 보기

먼저 전체 행렬의 행렬식을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

우리는 0과 다른 차수 2의 행렬식을 찾았습니다. 따라서 행렬은 순위 2입니다.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

연습 2

다음 2 × 2 차원 행렬의 범위를 구합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

해결책 보기

먼저, 전체 행렬의 행렬식을 해결합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

유일하게 가능한 2×2 행렬식은 0을 제공하므로 행렬은 랭크 2가 아닙니다.

그러나 행렬 내부에는 0이 아닌 1×1 결정자가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

따라서 행렬은 순위 1입니다.

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

연습 3

다음 3×3 정사각형 행렬의 크기는 얼마입니까?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

해결책 보기

먼저 전체 행렬의 행렬식은 Sarrus 규칙을 사용하여 계산됩니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

유일하게 가능한 3×3 행렬식은 0을 제공하므로 행렬은 랭크 3이 아닙니다.

그러나 행렬 내에는 0이 아닌 차수 2의 행렬식이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

따라서 행렬은 랭크 2입니다 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

연습 4

다음 3차 행렬의 순위를 계산합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

해결책 보기

먼저, 전체 행렬의 행렬식은 Sarrus 규칙으로 해결됩니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

전체 행렬의 행렬식은 0이 아닌 값으로 평가됩니다. 따라서 행렬의 최대 순위는 랭크 3입니다.

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

연습 5

다음 3차 행렬의 랭크는 무엇입니까?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

해결책 보기

먼저 전체 행렬의 행렬식은 Sarrus 규칙을 사용하여 계산됩니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

유일하게 가능한 3×3 행렬식은 0을 제공하므로 행렬은 랭크 3이 아닙니다.

그러나 행렬 내부에는 다음과 같이 0이 아닌 2 × 2 행렬식이 있습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

따라서 행렬은 랭크 2입니다 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

연습 6

다음 3×4 행렬의 범위를 찾으십시오.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

해결책 보기

행렬은 4×4 행렬식을 만들 수 없기 때문에 순위 4가 될 수 없습니다. 그러면 3×3 행렬식을 계산하여 랭크 3인지 확인해 보겠습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

처음 3개 열의 행렬식은 0을 제공합니다. 그러나 마지막 3개 열의 행렬식은 0이 아닌 값을 제공합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

따라서 내부에는 행렬식이 0과 다른 차수 3의 부분 행렬이 있으므로 행렬은 순위 3입니다 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

연습 7

다음 4×3 행렬의 범위를 계산합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

해결책 보기

4×4 행렬식을 해결할 수 없기 때문에 행렬은 랭크 4가 될 수 없습니다. 그럼 가능한 모든 3×3 행렬식을 수행하여 랭크 3인지 확인해 보겠습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

가능한 모든 3×3 행렬식은 0을 주기 때문에 행렬도 랭크 3이 아닙니다. 이제 2×2 행렬식을 시도해 보겠습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

행렬 A 내에는 행렬식이 0과 다른 차수 2의 부분 행렬이 존재하므로 행렬은 순위 2입니다 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

연습 8

다음 4 × 4 행렬의 범위를 구합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

해결책 보기

행렬이 랭크 4인지 확인하려면 전체 행렬의 행렬식을 풀어야 합니다.

그리고 4×4 행렬식을 풀려면 먼저 행에 대한 연산을 수행하여 열의 요소 중 하나를 제외한 모든 요소를 0으로 변환해야 합니다.

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

이제 대리인별로 행렬식을 계산합니다.

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$