행렬 덧셈과 뺄셈을 계산하는 방법

이 페이지에서는 행렬을 더하고 빼는 방법을 살펴보겠습니다. 완벽하게 이해하는 데 도움이 되는 예문도 있고, 연습할 수 있도록 문제도 풀었습니다. 또한 행렬 추가의 모든 속성을 찾을 수 있습니다.

행렬을 더하고 빼는 방법은 무엇입니까?

두 행렬의 덧셈(또는 뺄셈)을 계산하려면 행렬에서 동일한 위치를 차지하는 요소를 더하거나 빼야 합니다.

예:

2x2 행렬의 덧셈과 뺄셈, 행렬 연산의 예

두 행렬을 더하거나 빼려면 차원이 동일해야 합니다. 예를 들어 다음 행렬은 첫 번째 행렬이 2×2 행렬이고 두 번째 행렬이 3×2 행렬이므로 추가할 수 없습니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\[1.1ex] -2 & 4 \\[1.1ex] 7 & 1 \end{pmatrix} \ \longleftarrow \ \color{red} \bm{\times}}

행렬의 덧셈과 뺄셈을 위한 해결된 연습문제

연습 1

다음과 같은 2×2 행렬의 합을 계산합니다.

2x2 행렬을 추가하기 위해 단계별로 문제 해결

이는 2×2 차원의 두 정사각 행렬의 합입니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 & 3+1 \\[1.1ex] 4+3 & 1+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{0} \end{pmatrix}

연습 2

다음 행렬 빼기를 수행합니다.

행렬의 단계별 빼기, 행렬 연산을 통해 해결되는 연습

이는 3×2 차원의 두 행렬을 빼는 것입니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2 \\[1.1ex] 1 & 6 \\[1.1ex] -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 6 \\[1.1ex] -3 & 1 \\[1.1ex]-2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4 & 2-6 \\[1.1ex] 1-(-3) & 6-1 \\[1.1ex] -3-(-2) & 0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{1}& \bm{-4} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-1} & \bm{-5} \end{pmatrix}

연습 3

3×3 차원의 다음 행렬 합의 결과를 구합니다.

3x3 행렬을 추가하고 행렬을 이용한 연산을 단계별로 해결하는 연습

이는 3×3 차수의 두 정사각 행렬의 합입니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 1 \\[1.1ex] 1 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2 & 1+0 & -2+5 \\[1.1ex] 0+(-3) & 3+4 & 2+1 \\[1.1ex] 5+1 & 1+7 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6}& \bm{1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{7} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{8} & \bm{14} \end{pmatrix}

연습 4

2차 정사각 행렬의 다음 덧셈과 뺄셈을 계산합니다.

2x2 행렬의 단계별 덧셈과 뺄셈, 행렬 연산을 통해 해결되는 연습

이는 2차 정사각 행렬의 덧셈과 뺄셈이 결합된 연산입니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}

먼저 왼쪽에 행렬을 추가합니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 11 & -1 \\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}

그런 다음 행렬의 뺄셈을 계산합니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{14} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}

연습 5

다음 행렬 덧셈과 뺄셈을 풀어보세요.

3x3 행렬의 단계별 덧셈과 뺄셈, 행렬 연산을 통해 해결되는 연습

이는 3차 정사각 행렬의 뺄셈과 덧셈을 결합한 연산입니다.

\displaystyle \begin{pmatrix}5 & 3 & -1 \\[1.1ex] 6 & -4 & -2 \\[1.1ex] 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\[1.1ex]-1 & 5 & 0 \\[1.1ex] 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}

먼저, 행렬 빼기를 푼다:

\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & -7 \\[1.1ex] 7 & -9 & -2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}

그리고 마지막으로 행렬을 추가합니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{0} & \bm{-2} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-8} & \bm{2} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{-1} & \bm{4} \end{pmatrix}

이제 행렬을 더하고 빼는 방법을 알았으니 행렬 연산 중 가장 중요한 행렬 곱셈 방법을 알아보겠습니다. 또한 이 사이트의 모든 페이지에서와 같이 연습할 수 있도록 해결된 단계별 행렬 곱셈 연습도 찾을 수 있습니다. 😉

행렬 속성 추가

행렬 추가에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

  • 행렬 덧셈에는 교환 특성이 있습니다.

\displaystyle A +B = B + A

따라서 행렬을 추가하는 순서는 동일합니다. 이를 시연하기 위해 순서를 변경하여 두 개의 행렬을 추가하고 결과가 어떻게 동일한지 확인합니다.

따라서 우리는 특정 순서로 두 개의 행렬을 추가합니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1} \end{pmatrix}

행렬의 덧셈 순서를 반대로 바꿔도 결과는 동일하게 유지됩니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1} \end{pmatrix}

  • 행렬 덧셈의 또 다른 속성은 반대 요소의 속성입니다.

\displaystyle A + (-A) =0

즉, 동일한 행렬에 모든 요소의 부호가 변경된 행렬을 추가하면 결과는 0 행렬이 됩니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 0 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \end{pmatrix}

  • 행렬 덧셈에는 중립 요소 속성도 있습니다.

\displaystyle A + 0 =A

이 속성은 가장 명백하며, 모든 행렬에 0으로 가득 찬 행렬을 더하면 동일한 행렬과 동일하다는 사실을 나타냅니다.

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 9 \\[1.1ex] 1 & 12 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{1} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{4} & \bm{9} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{12} & \bm{6} \end{pmatrix}

  • 행렬 덧셈에는 다음과 같은 결합 속성이 있습니다.

\displaystyle\left( A + B \right) + C =A + \left( B + C \right)

따라서 행렬을 추가하는 순서는 동일합니다. 다음 예를 보세요. 순서가 다른 3개의 행렬을 추가하면 결과가 동일합니다.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\begin{aligned}\left( A + B \right) + C & =\left( \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \\[2ex] & =\begin{pmatrix} \bm{9} \\[1.1ex] \bm{0} \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} A + \left( B + C \right) & = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \right) \\[2ex] & = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} \bm{9} \\[1.1ex] \bm{0}\end{pmatrix} \end{aligned}

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