합의 제곱(또는 제곱합)

이 페이지에서는 합의 제곱, 즉 주목할만한 항등식 (a+b) ² 에 대한 공식을 찾을 수 있습니다. 또한 제곱합의 예와 해결 연습을 볼 수 있습니다. 게다가 이 놀라운 제품에 숨겨진 기하학적 특성을 발견하게 될 것입니다.

합의 제곱은 무엇입니까?

합의 제곱은 주목할만한 항등식(또는 주목할만한 곱) 중 하나이므로 두 개의 제곱 양수항을 사용하여 이항식의 거듭제곱을 빠르게 계산할 수 있는 수학적 규칙입니다.

따라서 합의 제곱은 서로 다른 두 항을 더해 제곱한 것으로 구성됩니다. 즉, 합의 제곱에 대한 대수식은 (a+b) ² 입니다.

합계의 제곱에 대한 공식

이 놀라운 유형의 항등식에 대한 수학적 정의가 주어지면 이제 합의 제곱의 공식이 무엇인지 살펴보겠습니다.

따라서 합의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 두 배, 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다.

따라서 제곱합을 풀려면 각 덧셈을 2로 늘리는 것만으로는 충분하지 않으며, 또한 두 덧셈을 함께 곱하고 2를 곱해야 합니다.

제곱을 더할 때 가장 흔히 저지르는 실수는 두 항 사이의 곱을 잊어버리고 제곱만 계산하는 것이기 때문에 이를 기억하는 것이 중요합니다.

수식에서 어떤 항도 빼내지 마세요!

반면에 제곱 빼기(또는 빼기의 제곱) 공식은 방금 본 공식과 매우 유사하지만 결과가 완전히 바뀌는 차이점이 있습니다. 그것이 어떻게 생겼는지 확실하지 않다면 여기에서 제곱 빼기 공식이 무엇인지, 어떻게 적용되는지 확인할 수 있습니다.

합계 제곱의 예

다음은 합계를 제곱하는 방법을 확인할 수 있는 몇 가지 실제 예입니다.

실시예 1

수식을 적용하여 다음 합계의 제곱을 계산합니다.

$(x+5)^2$

제곱합의 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

먼저 매개변수를 식별해야 합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

을 나타냅니다

$x$

쌍의 그리고

$b$

숫자 5에 해당:

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^2\\[2ex] (x+5)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=5 \end{array}$

글쎄요, 이제 우리는

$a$

그리고

$b,$

다음 공식을 적용하여 합의 제곱의 결과를 찾을 수 있습니다.

실시예 2

합계의 제곱에 대해 다음 표현식을 풉니다.

$(3x+4)^2$

합계의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

그래서 이 문제에서는

$a$

단항식은

$3x$

그리고 다른 한편으로는,

$b$

독립항 4는 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=4 \end{array}$

마지막으로, 우리가 가치를 확인한 후에는

$a$

그리고

$b$

, 우리는 주목할만한 곱을 풀기 위해 제곱합 공식을 적용합니다:

$\begin{aligned} (3x+4)^2 & =(3x)^2+2 \cdot 3x\cdot 4+4^2 \\[2ex] & =9x^2+24x+16 \end{aligned}$

합의 제곱에 대한 공식 증명

그런 다음 합계의 제곱에서 방금 본 공식을 추론하여 그것이 어디서 왔는지 이해할 것입니다.

양의 이항식에서 시작하여 2로 올림:

$(a+b)^2$

위의 검정력은 분명히 인수와 동일합니다.

$(a+b)$

자체적으로 곱한 것 :

$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$

따라서 분배 속성을 사용하여 두 괄호를 곱합니다.

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a+b) & = a\cdot a +a\cdot b +b\cdot a +b\cdot b \\[2ex] &=a^2+ab+ba+b^2 \end{aligned}$

마지막으로 결과 용어에서 유사한 용어를 그룹화합니다.

$a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2$

그리고 우리는 이미 공식의 다항식 표현에 도달했으므로 다음과 같이 입증되었습니다.

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$

믿기 어려울 수도 있지만, 합 공식의 제곱은 이차 다항식을 인수분해하는 데에도 적용됩니다. 다항식 인수분해는 다항식의 표현을 단순화하기 위해 수학에서 자주 사용되는 절차입니다. 위의 링크를 클릭하여 어떻게 수행되는지 알아보세요.

합의 제곱의 기하학적 해석

지금까지 우리는 합의 제곱이 어떻게 수학적으로 계산되는지 살펴보았지만 이 놀라운 곱은 기하학적으로 해석될 수도 있습니다.

다음 정사각형을 보세요. 각 변의 크기는 다음과 같습니다.

$a+b:$

정사각형의 면적은 한 변의 제곱의 길이와 같습니다. 따라서 이전 사각형의 측면은 다음과 같습니다.

$a+b,$

그 면적 (또는 표면)은 다음과 같습니다

$(a+b)^2.$

음, 정사각형 표현에서 볼 수 있듯이, 면적이 다음과 같은 정사각형입니다.

$a^2,$

두 영역으로 구성된 직사각형

$ab,$

그리고 또 다른 정사각형의 표면

$b^2.$

따라서 제곱합 공식은 기하학적 관점에서도 충족됩니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

합의 제곱 문제 해결

그런 다음 연습을 통해 개념 이해를 완료할 수 있도록 단계별로 몇 가지 제곱합 연습 문제를 풀어보겠습니다. 모든 질문을 댓글로 적어주시면 기꺼이 답변해 드리겠습니다. 💭💭💭

연습 1

다음 합계의 제곱을 결정합니다.

$\text{A)} \ (x+3)^2$

$\text{B)} \ (2+6x)^2$

$\text{C)} \ \left(x^2+7\right)^2$

$\text{D)} \ (5x+8y)^2$

해결책 보기

문제의 모든 주목할만한 정체성을 해결하려면 합계의 제곱에 대한 공식을 적용하는 것으로 충분합니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+3)^2& =x^2+2\cdot x\cdot 3 +3^2\\[2ex] & = \bm{x^2+6x +9}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}(2+6x)^2 & =2^2+2\cdot 2\cdot 6x +(6x)^2\\[2ex] & = \bm{4+24x+36x^2}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(x^2+7\right)^2 & = \left(x^2\right)^2+2\cdot x^2\cdot 7 +7^2\\[2ex] & = \bm{x^4+14x^2 +49}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+8y)^2 & =(5x)^2+2\cdot 5x\cdot 8y +(8y)^2\\[2ex] & = \bm{25x^2+80xy+64y^2}\end{aligned}$

연습 2

다음 공식을 적용하여 두 항의 제곱합을 풉니다.

$\text{A)} \ \left(4x^2+2y^3\right)^2$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\sqrt{2x}+\sqrt{8x}\right)^2$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{4}{3}x^2+\frac{3}{2}x\right)^2$

해결책 보기

문제의 주목할만한 모든 곱을 계산하려면 제곱합 공식을 사용해야 합니다.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2+2y^3\right)^2 & =\left(4x^2\right)^2+2\cdot 4x^2\cdot 2y^3 +\left(2y^3\right)^2\\[2ex] & = \bm{16x^4+16x^2y^3+4y^6}\end{aligned}$

섹션 B)에서는 근을 제곱하면 단순화된다는 점을 기억해야 합니다.

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(\sqrt{2x}+\sqrt{8x}\right)^2 & =\left(\sqrt{2x}\right)^2+2\cdot \sqrt{2x}\cdot \sqrt{8x} +\left(\sqrt{8x}\right)^2\\[2ex] & =2x+2\sqrt{2x\cdot 8x} +8x \\[2ex] & = 10x+2\sqrt{16x^2} \\[2ex] &= 10x+2\cdot 4x = \\[2ex] & = 10x +8x \\[2ex] & = \bm{18x}\end{aligned}$

마지막 제곱합의 단항식은 분수 계수를 가지므로 이를 해결하려면 분수의 속성도 사용해야 합니다.

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{4}{3}x^2+\frac{3}{2}x\right)^2 & = \left(\frac{4}{3}x^2\right)^2+2\cdot \frac{4}{3}x^2\cdot \frac{3}{2}x +\left(\frac{3}{2}x\right)^2\\[2ex] & = \frac{4^2}{3^2}x^4+2\cdot \frac{12}{6}x^3 +\frac{3^2}{2^2}x^2 \\[2ex] &= \frac{16}{9}x^4 +2\cdot 2x^3+\frac{9}{4}x^2 \\[2ex] & = \mathbf{\frac{16}{9}} \bm{x^4+4x^3+}\mathbf{\frac{9}{4}}\bm{x^2}\end{aligned}$

연습 3

계산기를 사용하지 않고 합계의 제곱 공식을 적용하여 다음 거듭제곱을 구합니다.

$17^2$

해결책 보기

우선, 숫자 17은 10 더하기 7의 합으로 나눌 수 있습니다.

$17^2=(10+7)^2$

그래서 우리는 전력을 제곱합으로 변환했습니다. 따라서 이제 해당 공식을 적용할 수 있습니다.

$\begin{aligned}(10+7)^2 & = 10^2+2\cdot 10 \cdot 7 +7^2 \\[2ex] & =100+140+49\\[2ex] & =289 \end{aligned}$

즉, 강화의 결과는 다음과 같습니다.

$17^2=\bm{289}$

이 연습에서 보았듯이, 제곱합 공식은 계산기를 사용하지 않고 큰 숫자의 거듭제곱을 계산하는 데에도 유용합니다.

3항의 합의 제곱

때때로 우리는 세 개의 더해진 항의 제곱, 즉 (a+b+c) ^{2 를} 풀어야 할 때가 있습니다. 논리적으로 이러한 경우에는 우리가 설명한 공식을 사용할 수 없습니다. 왜냐하면 괄호 안에 이항식 대신 삼항식이 있기 때문입니다. 따라서 다른 공식을 사용해야 합니다.

3항의 합을 제곱하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{blauquadreejemplo}{HTML}{ff5733} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=blauquadreejemplo, boxrule=1.2pt, boxsep=2.5mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2.5mm}{-2.5mm}{0mm}{blauquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (a+b+c)^2 = a^2+2a(b+c)+b^2+2bc+c^2 \end{empheq}$

예제를 통해 이 공식이 어떻게 적용되는지 살펴보겠습니다.

$\begin{aligned} (2x+3y+5)^2 & = (2x)^2 + 2\cdot 2x (3y+5)+(3y)^2+2\cdot 3y \cdot 5 + 5^2 \\[2ex] & =4x^2 +4x (3y+5)+9y^2+30y +25 \\[2ex] &=4x^2 +12xy+20x+9y^2+30y +25 \end{aligned}$

보시다시피 수식에 요소 하나를 추가하면 결과가 훨씬 더 복잡해집니다.

합의 제곱(또는 합의 제곱)

합의 제곱은 무엇입니까?

합계의 제곱에 대한 공식

합계 제곱의 예

실시예 1

실시예 2

합의 제곱에 대한 공식 증명

합의 제곱의 기하학적 해석

합의 제곱 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

3항의 합의 제곱

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