합계에서 파생됨

9월 17, 2023

여기서는 함수의 합(공식)을 도출하는 방법을 설명합니다. 또한 합계의 도함수의 예를 볼 수 있으며 합계의 도함수에 대한 연습문제를 풀어 연습할 수도 있습니다. 마지막으로 합계의 미분 공식에 대한 데모를 찾을 수 있습니다.

합계의 미분 공식

두 함수의 합의 도함수는 각 함수의 도함수를 개별적으로 합한 것과 같습니다.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

즉, 두 개의 함수를 따로 도출한 뒤 더하는 것은 먼저 함수를 더한 뒤 도함수를 취하는 것과 같습니다.

합계에서 파생

덧셈의 미분 규칙은 뺄셈에도 적용됩니다. 따라서 함수 앞에 양수 부호 대신 음수 부호가 있는 경우 이를 미분하기 위해 동일한 공식을 사용해야 합니다.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

또한 덧셈은 결합 속성을 갖는 연산입니다. 즉, 전체 함수의 도함수는 계속해서 각 함수의 도함수의 덧셈이 되기 때문에 덧셈에 포함된 덧셈의 수는 무관하다는 것을 의미합니다.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

합의 미분의 예

합의 도함수에 대한 공식이 무엇인지 확인한 후에는 함수의 합이 어떻게 도출되는지 완전히 이해하기 위해 이러한 유형의 연산의 도함수에 대한 몇 가지 예를 볼 것입니다.

예시 1: 잠재적인 함수의 합 도출

$f(x)=3x^2+5x$

두 함수의 합의 도함수는 각 함수의 도함수와 같습니다. 따라서 먼저 각 함수의 미분을 개별적으로 계산합니다.

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

따라서 전체 함수의 도함수는 계산된 두 도함수의 합이 됩니다.

$f'(x)=6x+5$

예 2: 다양한 함수의 합 파생

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

함수의 합을 미분하려면 두 함수를 따로 미분한 후 더해야 합니다. 따라서 우리는 다음과 같은 함수를 도출합니다.

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

그런 다음 찾은 두 파생 상품을 추가합니다.

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

예 3: 제곱합의 파생

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

이 경우에는 함수의 합이 거듭제곱되었으므로 복합 함수가 있습니다. 따라서 전체 함수를 도출하려면 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ 참조: 힘 도출

함수 합의 도함수에 대한 연습문제 해결

다음과 같은 함수의 합을 도출합니다.

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

솔루션 보기

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

합계의 미분 공식 시연

이 마지막 섹션에서는 함수 합의 도함수에 대한 공식을 보여 드리겠습니다. 그리고 이를 위해 우리는 다음과 같은 미분의 수학적 정의에 의존합니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

그런 다음 z를 두 가지 다른 함수의 합으로 둡니다.

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

이제 극한 표현식의 함수 합계를 z로 대체합니다.

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

분수를 두 분수의 합으로 변환합니다. 각 분수는 각 덧셈 함수에 해당합니다.

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

극한의 속성 덕분에 이전 표현식을 두 극한으로 분리할 수 있습니다. 왜냐하면 합의 극한은 극한의 합과 동일하기 때문입니다.

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

그리고 위에서 도함수의 정의에서 본 것처럼 각 극한은 함수의 도함수에 해당합니다. 따라서 다음과 같은 평등이 달성됩니다.

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

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