평행 벡터 - Mathority

이 페이지에서는 평행 벡터에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 평행 벡터의 의미, 두 벡터가 평행할 때, 다른 벡터와 평행한 벡터를 찾는 방법, 이러한 유형의 벡터의 속성… 예제와 해결된 병렬 벡터 연습 문제입니다.

평행 벡터란 무엇입니까?

평행 벡터는 동일한 방향을 갖는 벡터입니다. 즉, 두 벡터가 두 개의 평행선에 포함되어 있으면 평행합니다. 따라서 두 개의 평행 벡터는 0도 또는 180도 사이의 각도를 만듭니다.

예를 들어, 다음 세 벡터는 평행합니다.

게다가 두 벡터의 평행성은 방향에만 의존합니다. 즉, 방향이 같든 반대든 방향이 일치하면 두 벡터는 평행합니다. 모듈러스(또는 크기)에서도 동일한 일이 발생합니다. 두 벡터는 서로 다른 모듈러스를 가지며 평행할 수 있습니다.

반면, 두 벡터가 동일하지만 반대 방향을 갖는 경우 이를 역평행 벡터 라고 합니다.

두 벡터가 평행한지 어떻게 알 수 있나요?

두 벡터는 비례할 때 평행합니다. 따라서 두 벡터가 평행한지 확인하려면 해당 구성 요소가 비례하는지 여부를 확인해야 합니다.

우리는 2개의 좌표를 갖는 벡터와 3개의 좌표를 갖는 벡터의 두 가지 서로 다른 풀이 연습을 통해 두 벡터가 평행한지 확인하는 방법을 살펴보겠습니다.

평면에 평행한 벡터의 예(R2)

다음 두 벡터가 평행한지 확인합니다.

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

그들이 실제로 평행 벡터인지 알려면 데카르트 좌표가 비례하는지 확인해야 합니다.

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

X 구성 요소와 Y 구성 요소를 나누면 동일한 결과(-2)가 나오므로 두 벡터는 비례하므로 평행합니다 .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

수학에서 두 개의 기하학적 요소가 평행할 때 이는 두 개의 수직 막대(II)로 표시됩니다.

공간 내 평행 벡터의 예(R3)

다음 두 벡터에서 병렬성 조건이 충족되는지 확인합니다.

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

실제로 평행 벡터인지 확인하려면 벡터의 좌표가 비례하는지 확인해야 합니다.

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

벡터의 X 구성 요소와 Y 구성 요소는 나누어도 동일한 결과를 얻기 때문에 서로 비례하지만, Z 구성 요소에는 비례하지 않습니다. 따라서 벡터는 모든 것에 비례하지 않으므로 평행하지 않습니다 .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

평행 벡터를 계산하는 방법은 무엇입니까?

다른 벡터와 평행한 벡터를 찾으려면 해당 벡터에 0이 아닌 스칼라(실수)를 곱하면 됩니다 . 따라서 벡터에 무한한 수의 숫자를 곱할 수 있으므로 서로 평행한 무한한 수의 벡터가 있습니다.

예를 들어, 다음 벡터의 여러 평행 벡터를 계산합니다.

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

다음 모든 곱의 결과는 이전 벡터와 평행한 벡터입니다.

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

평행 벡터의 속성

평행 벡터에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

반사 속성 : 각 벡터는 자신과 평행합니다.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

대칭 속성 : 벡터가 다른 벡터와 평행하면 이 벡터도 첫 번째 벡터와 평행합니다. 이 속성은 수직 벡터 에도 적용됩니다.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

전이적 속성 : 벡터가 다른 벡터와 평행하고 이 두 번째 벡터가 세 번째 벡터와 평행하면 첫 번째 벡터도 세 번째 벡터와 평행합니다.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

두 평행 벡터의 내적은 모듈러스의 곱과 같습니다. 내적 속성 에서 이러한 특정 현상이 발생하는 이유를 확인할 수 있습니다.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

두 개의 평행 벡터는 항상 선형 종속입니다. 이 개념은 꽤 중요하므로 모르신다면 두 개의 선형종속벡터가 무엇인지 참고하시면 됩니다.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$