평면(기하학) - Mathority

이 페이지에서는 평면이 무엇인지, 계산 방법 및 모든 속성에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한 평면의 예, 두 평면 사이의 상대적 위치, 두 평면 사이의 각도를 결정하는 방법, 마지막으로 평면 방정식을 사용하여 평면을 수치적으로 표현하는 방법을 볼 수 있습니다.

계획이란 무엇입니까?

해석 기하학에서 평면의 정의는 다음과 같습니다.

평면은 두 가지 차원(길이와 너비)을 갖는 기하학적 객체입니다.

따라서 평면에는 무한한 선과 무한한 점이 포함됩니다. 위의 그래픽 표현에서 평면, 선 및 점의 차이를 볼 수 있습니다. 라인이 있는지 확인할 수도 있습니다.

$r$

그리고 팁

$P$

비행기 안에 들어있어요

$\pi.$

그래프로 표시된 계획에서 볼 수 있듯이 계획의 이름은 일반적으로 그리스 문자로 지정됩니다.

$\pi, \alpha, \beta,...$

우리가 수학에서 많이 사용하는 평면의 예로는 데카르트 평면이 있습니다. 데카르트 평면은 가로축(X축)과 세로축(Y축)으로 정의되는 평면입니다. 데카르트 평면의 용도 중 하나는 참조 시스템에서 객체의 위치를 설명하는 데 사용된다는 것입니다.

계획 결정

이제 평면의 의미를 살펴보았으므로 3차원 공간(R3)의 평면이 어떻게 결정될 수 있는지 살펴보겠습니다.

계획은 전적으로 다음 기하학적 요소에 의해 결정됩니다.

세 점이 정렬되지 않았습니다.
직선과 바깥쪽의 점.
두 개의 평행선 또는 두 개의 교차선.

마지막 점에 관해서는 두 선이 평행하다는 것이 무엇을 의미하는지 이미 알고 있을 것입니다. 하지만 시컨트 라인의 의미는 잘 알려져 있지 않기 때문에 여기서 궁금한 점이 있으면 시컨트 라인이 무엇인지 확인하실 수 있습니다.

따라서 앞의 3가지 조건 중 하나라도 충족되면 계획을 세울 수 있다는 의미입니다.

계획 속성

이 계획은 다음과 같은 특징을 충족합니다.

평면에는 무한한 포인트가 포함되어 있습니다.
평면에는 무한한 선이 포함되어 있습니다.
평면은 무제한입니다. 즉, 공간에서 제한 없이 확장되는 표면입니다.
두 개의 교차 평면이 선을 결정합니다.
평면에 한 점이 있는 선이 반드시 거기에 포함될 필요는 없습니다. 선이 평면의 일부가 되려면 평면에 최소한 두 개의 점이 있어야 합니다.
무한한 평면이 직선을 교차합니다.
반평면(half-plane)은 평면이 선 중 하나로 절단될 때 평면이 분할되는 두 부분 각각입니다.

평면 방정식

해석기하학에서 평면의 방정식은 어떤 평면이라도 수학적으로 표현할 수 있게 해주는 방정식이다. 따라서 평면의 방정식을 찾으려면 점 하나와 해당 평면에 속하는 두 개의 선형 독립 벡터만 있으면 됩니다.

그러나 위에서 계획의 개념에 대한 설명에서 살펴본 것처럼 계획을 결정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 글쎄, 같은 방식으로 계획을 분석적으로 표현하는 방법도 여러 가지가 있습니다.

따라서 평면의 모든 유형의 방정식은 벡터 방정식 , 매개변수 방정식 , 암시적(또는 일반) 방정식 및 평면 의 표준(또는 분할) 방정식 입니다.

그런 다음 계획의 모든 방정식에 대한 설명과 공식을 자세히 살펴보겠습니다.

평면의 벡터 방정식

평면의 점과 두 방향 벡터를 고려하십시오.

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 벡터 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}$

또는 이에 상응하는 것:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

금

$\lambda$

그리고

$\mu$

는 두 개의 스칼라, 즉 두 개의 실수를 의미합니다.

평면의 매개변수 방정식

평면의 매개변수 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}$

금:

$\lambda$

그리고

$\mu$

는 두 개의 스칼라, 즉 두 개의 실수를 의미합니다.
$\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z$

계획의 두 가지 안내 벡터 중 하나의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z).$
$\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z$

계획의 다른 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z).$

평면의 암시적 또는 일반 방정식

평면의 점과 두 방향 벡터를 고려하십시오.

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음 행렬식을 풀고 결과를 0으로 설정하여 얻습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

따라서 결과 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

이러한 유형의 평면 방정식을 데카르트 평면 방정식이라고도 합니다.

평면의 정식 또는 분할 방정식

평면의 표준 또는 세그먼트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1 \end{empheq}$

금:

$a$

평면과 X축 사이의 교차점입니다.
$b$

평면과 Y축 사이의 교차점입니다.
$c$

이곳은 평면이 Z축과 교차하는 곳입니다.

평면의 표준 방정식(또는 분할 방정식)은 일반 방정식에서도 얻을 수 있습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

먼저 방정식에서 계수 D를 푼다.

$Ax+By+Cz=-D$

그런 다음 계획의 전체 방정식을 매개변수 D 변경 부호의 값으로 나눕니다.

$\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\cfrac{-D}{-D}$

$\cfrac{Ax}{-D}+\cfrac{By}{-D}+\cfrac{Cz}{-D}=1$

그리고 분수의 성질을 이용하여 다음과 같은 식을 얻습니다.

$\cfrac{x}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{z}{-\frac{D}{A}}=1$

따라서 우리는 이 표현에서 평면의 정식 또는 분할 방정식의 항을 직접 계산할 수 있는 공식을 추론합니다.

$a=-\cfrac{D}{A} \qquad b=-\cfrac{D}{B} \qquad c=-\cfrac{D}{C}$

결과적으로 계획 방정식의 변형을 형성할 수 있으려면 계수 A, B 및 C가 0과 달라야 하므로 분수의 불확정을 방지할 수 있습니다.

두 평면의 상대적 위치

분석 형상에서는 두 평면 사이에 가능한 상대 위치가 세 가지(할선 평면, 평행 평면, 일치 평면)뿐입니다.

교차 평면 : 두 평면이 한 선에서만 교차하는 경우 교차합니다.
평행 평면 : 두 평면이 어떤 점에서도 교차하지 않으면 평행합니다.
일치 평면 : 두 평면이 모두 공통점을 갖고 있으면 일치합니다.

교차 평면

평행면

일치하는 평면

또한 두 개의 교차 평면이 90°의 각도로 교차하는 경우 두 개의 서로 수직인 평면 입니다.

두 평면 사이의 각도

두 평면 사이의 각도는 해당 평면의 법선 벡터에 의해 형성된 각도와 같습니다. 따라서 두 평면 사이의 각도를 찾으려면 두 평면이 동일하므로 법선 벡터에 의해 형성된 각도가 계산됩니다.

따라서 두 평면 사이의 각도가 무엇인지 정확히 알았으면 공간에서 두 평면 사이의 각도를 계산하는 공식을 살펴보겠습니다. 이는 두 벡터 사이의 각도 공식에서 추론됩니다.

서로 다른 두 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하면 다음과 같습니다.

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

각 평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

그리고 이 두 평면이 이루는 각도는 다음 공식을 사용하여 법선 벡터가 이루는 각도를 계산하여 결정됩니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert} \end{empheq}$

분명히, 공식에서 두 평면에 의해 형성된 각도의 코사인을 계산한 후에는 해당 각도의 값을 찾기 위해 코사인을 뒤집어야 합니다.

반면에 두 평면이 수직이거나 평행한 경우 두 평면 사이의 각도를 직접 결정할 수 있으므로 공식을 적용할 필요가 없습니다.

평행한 두 평면 사이의 각도는 법선 벡터의 방향이 동일하므로 0°입니다.
수직인 두 평면 사이의 각도는 90°입니다. 그 이유는 법선 벡터도 서로 수직(또는 직교)이므로 직각을 형성하기 때문입니다.