파생상품

여기에서는 모든 유형의 함수를 파생하는 방법을 설명합니다. 예제와 단계별 파생 연습과 함께 모든 파생 상품에 대한 공식을 찾을 수 있습니다.

파생상품이란 무엇인가요?

도함수는 함수를 연구하는 데 사용되는 수학적 규칙입니다. 특히, 한 지점에서 함수의 도함수는 극한의 결과이며 해당 지점에서 함수의 동작을 나타냅니다.

함수의 도함수는 소수 기호 ‘ 로 표현됩니다. 즉, 함수 f'(x) 는 함수 f(x) 의 도함수입니다.

기하학적으로, 한 점에서 함수의 도함수의 의미는 해당 점에서 함수에 대한 접선의 기울기입니다.

함수 도함수의 수학적 정의는 다음과 같습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

그러나 함수의 미분은 일반적으로 위의 공식을 사용하여 계산되지 않으며 함수의 유형에 따라 미분 규칙이 적용됩니다. 모든 파생 공식은 아래에 설명되어 있습니다.

파생 공식

파생상품의 정의를 살펴본 후, 파생상품의 각 유형을 예를 들어 설명하면서 파생상품이 어떻게 만들어지는지 살펴보겠습니다. 이 게시물의 목적은 도함수의 개념을 잘 이해하는 것입니다. 따라서 마지막으로 함수가 어떻게 파생되는지에 대해 의문이 있는 경우 댓글로 질문할 수 있습니다.

상수에서 파생

상수의 도함수는 상수 값에 관계없이 항상 0입니다.

따라서 상수 함수의 도함수를 찾으려면 수학적인 계산을 할 필요가 없으며 도함수가 0이면 됩니다.

다음과 같은 상수 도함수의 실제 예를 살펴보세요.

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

선형 함수의 파생

선형 함수의 도함수는 1차 항의 계수입니다. 즉, 선형 함수 f(x)=Ax+B 의 도함수는 A 와 같습니다.

이 유형의 함수가 어떻게 파생되었는지에 대한 다음 예를 살펴보십시오.

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

힘에서 파생된

거듭제곱 또는 전위 함수의 도함수는 거듭제곱의 지수에 밑수를 뺀 지수를 곱한 값입니다.

따라서 거듭제곱을 도출하려면 함수에 지수를 곱하고 지수에서 한 단위를 빼면 됩니다.

예를 들어, 거듭제곱 x 세제곱의 미분은 다음과 같습니다.

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

여기에서 이러한 파생 유형의 연습(및 더 어려운 연습)을 연습할 수 있습니다.

➤ 참조: 거듭제곱의 미분에 대한 해결 연습문제

뿌리에서 유래

근의 도함수 또는 무리함수는 1을 근의 인덱스 곱과 동일한 근의 곱으로 나눈 값에서 근수의 지수에서 1을 뺀 것과 같습니다.

예를 들어, 아래에서 x의 제곱근의 도함수가 풀린 것을 볼 수 있습니다.

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ 참고: 근의 도함수에 대한 연습문제 풀기

지수 함수의 파생

지수 함수의 미분은 밑이 숫자 e 인지 아니면 다른 숫자인지에 따라 달라집니다. 따라서 이 유형의 함수를 도출하는 공식에는 두 가지가 있으며 거듭제곱에 따라 해당하는 공식을 사용해야 합니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

아래에서는 이러한 유형의 함수에 대해 해결된 두 파생물을 볼 수 있습니다.

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ 참고: 지수 함수의 도함수에 대한 연습문제 풀기

로그 함수의 파생

로그 함수의 도함수는 로그의 밑수에 따라 달라집니다. 왜냐하면 로그가 자연 함수이면 도함수를 찾기 위해 공식을 적용해야 하고 로그의 밑수가 다른 숫자인 경우 다른 규칙을 사용해야 하기 때문입니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

예를 들어, x의 밑이 3인 로그의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ 참고: 로그 함수의 도함수에 대한 연습문제 풀기

삼각함수 미분

세 가지 주요 삼각법 도함수 는 사인 함수, 코사인 함수 및 탄젠트 함수의 도함수이며 그 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

논리적으로 삼각함수에는 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트, 쌍곡삼각함수, 역삼각함수 등과 같은 여러 유형이 있습니다. 하지만 드리프트에 가장 많이 사용되는 규칙은 위의 세 가지입니다.

연쇄 법칙

연쇄 법칙은 복합 함수를 유도하는 데 사용되는 공식입니다. 연쇄 법칙에 따르면 복합 함수 f(g(x)) 의 도함수는 도함수 f'(g(x)) 에 도함수 g'(x) 를 곱한 값과 같습니다.

파생상품에 대한 이러한 개념은 일반적으로 이해하기가 더 어렵습니다. 따라서 예제를 통해 단계별로 문제를 풀어보겠습니다.

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

사실상 사인 함수 내부에 함수 x ^3이 있기 때문에 함수의 합성입니다. 따라서 합성 함수의 도함수를 찾으려면 연쇄 규칙을 사용해야 합니다.

한편으로 사인의 도함수는 코사인이므로 외부 함수의 도함수는 사인과 동일한 인수를 갖는 코사인이 됩니다.

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

반면에 우리는 거듭제곱의 미분 공식을 사용하여 x ³ 의 미분을 계산합니다.

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

따라서 정수 복합 함수의 도함수는 두 도함수의 곱입니다.

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ 참조: 연쇄 법칙을 사용하여 미분 문제 해결

함수의 미분성

한 점에서 함수의 연속성과 미분성은 다음과 같이 관련됩니다.

함수가 한 점에서 미분 가능하면 그 점에서 함수는 연속입니다.
함수가 한 점에서 연속적이지 않으면 그 점에서도 미분 가능하지 않습니다.

그러나 이 정리의 역은 거짓입니다. 즉, 함수가 한 점에서 연속이라고 해서 그 점에서 항상 미분 가능하다는 의미는 아닙니다.

그래프의 한 지점에서 함수가 미분 가능한지 여부도 확인할 수 있습니다.

평활점 이라면 이 지점에서 함수가 미분 가능합니다.
각점 인 경우 함수는 연속이지만 이 지점에서는 미분할 수 없습니다.

x=0에서의 부드러운 점 :
이 시점에서는 연속적이고 미분 가능한 함수입니다.

x=2에서의 경사점 :
함수는 연속이지만 이 시점에서는 미분할 수 없습니다.

또한 해당 지점에서 측면 도함수를 계산하여 해당 지점에서 조각별 함수가 미분 가능한지 여부를 알 수 있습니다.

한 점의 측면 도함수가 동일하지 않으면 해당 점에서 함수를 미분할 수 없습니다.

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

에서는 구별할 수 없습니다.

$x_o$

한 점에서 측면 도함수가 일치하면 함수는 해당 점에서 미분 가능합니다.

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

예, 다음에서 파생 가능합니다.

$x_o$

이제 한 점에서 조각별로 정의된 함수의 도함수를 계산하는 예를 살펴보겠습니다.

x=2 지점에서 다음 조각별 함수의 연속성과 미분성을 연구합니다.

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

두 구간의 함수는 각각의 구간에서 연속적이지만, 임계점 x=2에서 함수가 연속인지 확인이 필요하다. 이를 위해 다음 지점에서 함수의 측면 한계를 해결합니다.

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

임계점의 측면 한계는 동일한 결과를 제공하므로 함수는 x=2 지점에서 연속입니다.

함수가 x=2에서 연속이라는 것을 알게 되면 이 시점에서 함수의 미분 가능성을 연구할 것입니다. 이를 위해 조각별로 정의된 함수의 측면 도함수를 계산합니다.

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

이제 우리는 임계점에서 각 측면 파생물을 평가합니다.

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

두 개의 측면 도함수는 동일한 결과를 제공하므로 함수는 x=2에서 미분 가능하고 도함수의 값은 6입니다.

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

반면, 측면 도함수가 우리에게 다른 결과를 제공했다면 이는 함수가 x=2에서 미분 가능하지 않음을 의미합니다. 즉, 이 시점에서는 파생 상품이 존재하지 않습니다.

➤ 참조: 함수의 미분 가능성에 대한 해결 연습