▷ 탄젠트의 미분(공식 및 풀이 연습)

여기서 탄젠트 함수가 어떻게 파생되는지 알아보세요. 또한 탄젠트의 미분 예를 볼 수 있으며 단계별로 풀어보는 연습 문제를 통해 연습할 수도 있습니다. 마지막으로 탄젠트 미분 공식을 시연하고 역탄젠트 미분 공식도 보여줍니다.

탄젠트의 미분은 무엇입니까?

x 탄젠트의 도함수는 x 코사인의 제곱에 대한 1과 같습니다. x의 탄젠트의 도함수는 x의 시컨트의 제곱과 1에 x의 탄젠트의 제곱을 더한 것과 동일합니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tan}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}=\text{sec}^2(x)=1+\text{tan}^2(x)\end{array}$

모든 표현식은 동일하므로 탄젠트 함수에는 이를 파생하는 세 가지 공식이 있습니다.

반면에 접선 인수에 x와 다른 함수(u라고 부르자)가 있는 경우 체인 규칙을 적용해야 합니다. 따라서 u의 탄젠트의 미분은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tan}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}=\text{sec}^2(u)\cdot u'=\left(1+\text{tan}^2(u)\right)\cdot u'\end{array}$

즉, 탄젠트 미분 규칙은 다음과 같이 요약될 수 있습니다.

탄젠트 도함수의 예

탄젠트 도함수에 대한 공식이 주어지면 이 섹션에서는 탄젠트 함수를 유도하는 방법을 이해할 수 있도록 이러한 유형의 삼각 도함수에 대한 몇 가지 예를 풀 것입니다.

예 1: 2x 탄젠트의 미분

$f(x)=\text{tan}(2x)$

탄젠트의 미분을 계산하려면 위에서 본 세 가지 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 이 경우 코사인 공식을 사용합니다.

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

함수 2x는 선형이므로 그 도함수는 2입니다. 따라서 2x 탄젠트의 도함수는 2x 코사인의 제곱에 대한 2입니다.

$f(x)=\text{tan}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\text{cos}^2(2x)}$

예 2: x 제곱의 탄젠트 파생

$f(x)=\text{tan}(x^2)$

이 예에서 탄젠트 인수 함수는 x가 아니라 도함수가 있는 함수입니다. 즉, 이를 도출하려면 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

x 제곱의 도함수는 2x이므로 x ² 탄젠트의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{tan}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\text{cos}^2(x^2)}$

예 3: 입방체에 대한 접선의 미분

$f(x)=\text{tan}^3(9x^2-4x)$

이 문제에는 복합 함수가 있으므로 접선을 구별하기 위해 체인 규칙을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{tan}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cos}^2(u)}$

또한 탄젠트가 3의 거듭제곱으로 증가합니다. 즉, 탄젠트 도함수 공식을 적용하기 전에 거듭제곱 도함수 공식을 사용해야 합니다.

$\begin{aligned}f'(x)&=3\text{tan}^2(9x^2-4x)\cdot \cfrac{18x-4}{\text{cos}^2(9x^2-4x)} \\[2ex]&=\cfrac{3\text{tan}^2(9x^2-4x)\cdot(18x-4)}{\text{cos}^2(9x^2-4x)}\end{aligned}$

역탄젠트의 미분

다른 역함수와 마찬가지로 탄젠트 함수에도 역탄젠트 함수인 아크탄젠트 함수가 있습니다. 이를 도출하는 공식은 접선 공식과 유사하지 않지만 경우에 따라 유용할 수 있으므로 보여드립니다.

함수 의 역탄젠트의 도함수는 함수의 도함수를 1로 나눈 값과 해당 함수의 제곱을 더한 값의 몫입니다.

$f(x)=\text{tan}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

예를 들어, 3x의 역탄젠트의 미분은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{tan}^{-1}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{1+(3x)^2}=\cfrac{3}{1+9x^2}$

접선의 미분에 대한 해결 연습

다음 접선 함수의 미분을 계산합니다.

$\text{A) } f(x)=\text{tan}(3x)$

$\text{B) } f(x)=\text{tan}(x^3-10x^2+8)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{tan}^2\left(\frac{x}{2}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{tan}\left(e^{2x}\right)$

$\text{E) } f(x)=\text{tan}\bigl(\ln(4x)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{tan}\left(\sqrt{3x}\right)$

솔루션 보기

$\text{A) } f'(x)=\cfrac{3}{\text{cos}^2(3x)}$

$\text{B) } f'(x)=\cfrac{3x^2-20x}{\text{cos}^2(x^3-10x^2+8)}$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=2\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \frac{1}{\text{cos}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)}{\text{cos}^2\left(\frac{x}{2}\right)}$