▷ 코탄젠트의 미분(수식 및 예)

이번 글에서는 함수의 코탄젠트를 유도하는 방법을 살펴보겠습니다. 코탄젠트 미분의 예와 단계별로 해결되는 연습문제를 찾을 수 있습니다. 마지막으로, 코탄젠트의 미분 공식을 증명합니다.

코탄젠트의 미분 공식

x의 코탄젠트 도함수는 x 사인의 제곱에 대한 음의 1과 같습니다. x의 코탄젠트의 도함수는 x의 코시컨트의 제곱을 빼고 1과 x의 코탄젠트의 제곱의 합을 뺀 것과 같습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\text{cosec}^2(x)=-\left(1+\text{cotg}^2(x)\right)\end{array}$

인수 코탄젠트가 x 이외의 함수인 경우 함수의 코탄젠트 도함수에 대한 공식은 이전 공식과 동일하지만 표현식에 인수 함수의 도함수를 곱합니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}=-u' \cdot \text{cosec}^2(u)=-u' \cdot \left(1+\text{cotg}^2(u)\right)\end{array}$

이는 코탄젠트의 도함수를 찾는 세 가지 다른 공식이 있음을 의미합니다. 하지만 논리적으로 세 가지 수식을 모두 사용할 필요는 없고, 선호하는 수식으로 유도하면 됩니다.

코탄젠트 파생물의 예

이제 우리는 함수의 코탄젠트 도함수에 대한 공식을 보았으므로 이 섹션에서는 이러한 유형의 삼각 도함수에 대한 몇 가지 예를 풀 것입니다.

예 1: 2x의 코탄젠트 파생

이 예에서 우리는 함수 2x의 코탄젠트의 도함수가 무엇인지 볼 것입니다.

$f(x)=\text{cotg}(2x)$

우리가 본 것처럼, 코탄젠트의 미분을 계산하려면 위에서 본 세 가지 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 이 경우 정현파 공식을 사용합니다.

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

2x는 1차 항이므로 그 도함수는 2입니다. 따라서 2x의 코탄젠트 도함수는 음수 2를 2x 사인의 제곱으로 나눈 값입니다.

$f(x)=\text{cotg}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\text{sen}^2(2x)}$

예 2: x 제곱의 코탄젠트 파생

두 번째 예에서는 x 제곱의 코탄젠트 도함수가 무엇인지 확인할 것입니다.

$f(x)=\text{cotg}(x^2)$

이 예에서 코탄젠트 인수의 함수는 x가 아니므로 코탄젠트를 구별하기 위해 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

x 제곱의 도함수는 2x이므로 x ² 의 코탄젠트 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{cotg}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\text{sen}^2(x^2)}$

예 3: 코탄젠트 세제곱의 도함수

마지막으로, 다항식 함수의 코탄젠트 세제곱의 도함수가 얼마인지 알아 보겠습니다.

$f(x)=\text{cotg}^3(x^5-6x^2+10)$

이 경우 함수의 구성이 있으므로 코탄젠트의 도함수를 찾기 위해 거듭제곱의 도함수 공식과 함께 연쇄 법칙을 사용해야 합니다.

$\displaystyle f'(x)=-3\cdot\text{cotg}^2(x^5-6x^2+10)\cdot\frac{5x^4-12x}{\text{sen}^2(x^5-6x^2+10)}$

코탄젠트의 미분에 대한 해결 연습

다음 코탄젠트 함수의 미분을 계산합니다.

$\text{A) } f(x)=\text{cotg}(5x)$

$\text{B) } f(x)=\text{cotg}(2x^4+10x-3)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{cotg}^5\left(\frac{x}{2}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{cotg}\left(e^{x^2}\right)$

$\text{E) } f(x)=\text{cotg}\bigl(\ln(x^2)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{cotg}\left(\sqrt{8x}\right)$

솔루션 보기

$\text{A) } f'(x)=-\cfrac{5}{\text{sen}^2(5x)}$

$\text{B) } f'(x)=-\cfrac{8x+10}{\text{sen}^2(2x^4+10x-3)}$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{\text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cdot \text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}$