▷ 코사인의 미분(공식 및 풀이 연습)

여기에서는 코사인 함수(공식)를 유도하는 방법을 알아봅니다. 코사인 함수의 미분 예를 확인하고 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다. 또한, 코사인의 2차 도함수는 무엇인지, 심지어 역코사인의 도함수는 무엇인지에 대한 공식의 증명도 보여드립니다.

코사인의 미분은 무엇입니까?

코사인 함수의 미분은 부호 수정된 사인 함수입니다. 즉, x의 코사인의 도함수는 x의 사인을 뺀 값과 같습니다.

$f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)$

코사인 인수에 함수가 있는 경우 코사인의 도함수는 해당 함수의 사인을 뺀 값에 함수의 도함수를 곱한 값입니다.

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

두 번째 공식은 첫 번째 공식과 동일하지만 체인 규칙을 적용합니다. 따라서 요약하면 코사인의 미분 공식은 다음과 같습니다.

코사인 파생 예

이제 우리는 코사인 공식이 무엇인지 알았으므로 이러한 유형의 삼각 함수 미분에 대한 몇 가지 예를 설명하여 코사인 함수를 파생하는 방법에 대해 의심의 여지가 없습니다.

예시 1: 2x의 코사인 파생

$f(x)=\text{cos}(2x)$

코사인 인수에는 단일 x가 없고 오히려 더 복잡한 함수가 있습니다. 따라서 코사인을 도출하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

2x의 도함수는 2이므로, 2x의 코사인의 도함수는 2x의 사인에서 2를 곱한 값을 뺀 값이 됩니다.

$f(x)=\text{cos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(2x)\cdot 2=-2\text{sen}(2x)$

예 2: x 제곱의 코사인 파생

$f(x)=\text{cos}(x^2)$

이전 예에서와 같이 코사인 인수에는 x와 다른 함수가 있으므로 체인 규칙을 사용하여 코사인을 파생합니다.

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

그러면 x ² 의 도함수는 2x입니다. 따라서 x의 2승 코사인 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{cos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x^2)\cdot 2x$

예시 3: 세제곱 코사인의 미분

$f(x)=\text{cos}^3(2x^6-5x^3)$

이 예의 코사인 함수는 다른 함수로 구성되어 있으므로 도함수를 풀려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

따라서 공식을 적용하여 함수의 미분에 도달합니다.

$\begin{aligned}f'(x)&=3\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\cdot \bigl(-\text{sen}(2x^6-5x^3)\bigr)\cdot (12x^5-15x^2)\\[2ex]&=-3\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\cdot \text{sen}(2x^6-5x^3)\cdot (12x^5-15x^2)\end{aligned}$

➤ 이 함수를 미분하려면 잠재적 함수의 도함수 공식도 사용해야 합니다.

코사인의 2차 도함수

다음으로 삼각함수의 특성으로 인해 사인의 2차 도함수를 쉽게 계산할 수 있음을 알아보겠습니다.

➤ 참고: 다음 내용을 이해하려면 사인의 도함수가 무엇인지 알아야 합니다 .

x의 코사인의 2차 도함수는 x의 코사인을 뺀 값입니다. 이상하게 보일 수도 있지만 수학적으로는 그렇습니다. 실제로 사인의 도함수는 코사인이므로 x의 코사인을 두 번 미분하면 코사인이 다시 얻어지지만 부호는 수정됩니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cos}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=-\text{sen}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{cos}(x)\end{array}$

이 속성은 코사인 인수가 x가 아닌 경우 변경됩니다. 이 경우 체인 규칙의 항을 드래그하기 때문입니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cos}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{cos}(u)\cdot u'^2 -\text{sen}(u)\cdot u'' \end{array}$

역코사인의 미분

모든 삼각함수는 역함수를 가지므로 코사인 함수도 역함수가 가능합니다. 마찬가지로, 역코사인은 미분 가능합니다.

함수 의 역코사인의 도함수는 함수의 도함수를 1의 제곱근에서 해당 함수의 제곱을 뺀 값으로 나눈 값입니다.

$f(x)=\text{cos}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

역코사인은 아크코사인이라고도 합니다.

예를 들어, 3x의 역코사인의 미분은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{cos}^{-1}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=-\cfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

코사인의 미분에 대한 해결 연습

다음 코사인 함수의 미분을 계산합니다.

$\text{A) } f(x)=\text{cos}(4x)$

$\text{B) } f(x)=\text{cos}(2x^3-5x+1)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=9\text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}^5(x^2+3x)$

$\text{E) } f(x)=\text{cos}\left(e^{5x}\right)$

$\text{F) } \displaystyle f(x)=9\text{cos}\left(\frac{e^x}{5x}\right)$

솔루션 보기

$\text{A) } f'(x)=-\text{sen}(4x)\cdot 4 =-4\text{sen}(4x)$

$\text{B) } f'(x)=-\text{sen}(2x^3-5x+1)\cdot (6x^2-5)$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=-9\text{sen}\left(\frac{x}{3}\right)\cdot \frac{1}{3} =-3\text{sen}\left(\frac{x}{3}\right)$

$\text{D) } f'(x)=-5\text{cos}^4(x^2+3x)\cdot \text{sen}(x^2+3x)\cdot (2x+3)$

$\text{E) } f'(x)=-\text{sen}\left(e^{5x}\right)\cdot e^{5x}\cdot 5=-5\text{sen}\left(e^{5x}\right)\cdot e^{5x}$

$\begin{aligned}\text{F) }\displaystyle f'(x)&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{e^x\cdot 5x-e^x\cdot 5}{(5x)^2}\\[2ex]&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{5e^x(x-1)}{25x^2}\\[2ex]&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{e^x(x-1)}{5x^2}\end{aligned}$