▷ 공약수 제거(또는 추출) 방법 ✅ (풀이문제)

이 페이지에서는 다항식의 공통 인수를 취하는(또는 추출하는) 방법을 설명합니다. 여기서는 다양한 유형의 공통 인자를 찾을 수 있으며 이것이 어떻게 달성되는지에 대한 몇 가지 예를 볼 수 있습니다. 또한, 단계별로 해결되는 연습문제로 훈련할 수 있습니다.

공통인자는 무엇입니까?

수학에서 공약수는 다항식의 모든 항에 존재하는 인수입니다. 즉, 공약수는 다항식의 각 항에 곱한 숫자나 문자로 구성됩니다.

예를 들어, 다음 다항식의 공통 인수가 무엇인지 알아 보겠습니다.

$4x+4y$

4번에서는 다항식의 모든 측면에서 반복됩니다.

$\color{red} \bm{4} \color{black} x + \color{red} \bm{4} \color{black} y$

따라서 이 다항식의 공통 인수는 4와 같습니다.

$\displaystyle \text{Factor com\'un} = 4 {\phantom{\frac{1}{2}}$

공약수를 구하는(또는 추출하는) 방법

공통인수의 의미를 알았으면 이제 다항식에서 공통인수를 구하는 방법을 살펴보겠습니다.

다항식의 두 개 이상의 항이 공통 인수를 갖는 경우, 공통 인수를 취하여 다항식의 덧셈이나 뺄셈을 곱셈으로 변환할 수 있습니다 .

작성하기가 조금 어려워 보일 수 있으므로 예를 들어 다항식에서 공약수를 추출하는 방법을 살펴보겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 단항식 5x와 단항식 5y에서 숫자 5가 반복되므로 다항식의 공약수는 5입니다. 따라서 공약수를 식별하면 단항식의 합을 다음과 같이 변환할 수 있습니다. 제품.

공통인수는 모든 가수를 곱해야 하므로, 공통인수를 추출할 때 괄호를 넣는 것을 잊지 마세요.

공통인수를 제거하는 것은 분배법칙 의 반대 연산입니다. 즉, 실제로 분배법칙을 역으로 적용하는 것입니다. 그러므로 우리는 역과정을 수행함으로써 공약수를 올바르게 추출했는지 항상 확인할 수 있습니다.

분배법칙을 적용하여 처음부터 동일한 다항식을 얻는다면 이는 공통인수를 올바르게 구했다는 의미입니다.
반면, 분배법칙을 사용한 결과가 원래의 다항식과 다른 또 다른 다항식인 경우, 이는 공약수를 추출하는 과정에서 실수를 했음을 의미합니다.

공통인수 추출(또는 추출)의 예

공통 인수의 개념을 완전히 이해하기 위해 더 많은 예를 제시합니다.

실시예 1

이 예에서 볼 수 있듯이 두 개 이상의 항에서 동시에 공통 인수를 추출할 수 있습니다.

실시예 2

변수(또는 문자)에서 공통 인수를 추출할 수도 있습니다.

이 경우 문자 x는 다항식의 두 항을 곱하므로 변수 x를 공통 인수로 사용하여 대수식을 단순화할 수 있습니다.

실시예 3

이 예에서 첫 번째 항에는 변수 x가 3제곱되고 두 번째 항에서는 x가 2제곱되므로 두 항 모두 2개의 x를 갖습니다. 따라서 공통 인수는 x가 아니라 x ² 입니다.

반면, 다항식의 공약수가 항과 정확히 일치하는 경우 공약수를 추출할 때 그 자리에 1을 넣어야 한다는 점에 유의하세요. 그렇지 않고 그 자리에 아무것도 넣지 않으면 동등한 표현을 얻을 수 없습니다.

실시예 4

때로는 공통 인수가 명확하지 않고 직접적으로 표시되지 않는 경우도 있지만 오히려 단항식 계수의 제수 입니다. 예를 들어, 다음 예의 공통 인수는 3입니다. 6과 9의 계승 분해에는 3이 포함되기 때문입니다.

이러한 유형의 공통 인수는 일부 대수 책에서 최대 공통 인수 라고 합니다. 왜냐하면 공통 인수는 동시에 다항식 항 계수의 최대 공통 인수(GCD)이기 때문입니다.

여기까지 해냈다면 이는 아마도 다항식의 공약수를 찾는 방법을 이미 완벽하게 알고 있다는 의미입니다. 그런데 공통인자가 무엇인지 궁금하지 않으셨나요? 음, 공통 인수의 한 가지 적용은 다항식을 인수분해하는 데 사용된다는 것입니다. 아직도 그것이 무엇인지 모른다면 이 링크에서 다항식 인수분해가 무엇인지, 그리고 이 다항식 연산을 수행하는 데 공통인자가 왜 그렇게 중요한지 확인할 수 있습니다.

분수의 공통인수

공통인수는 항을 분자와 분모에 다항식이 있는 분수로 단순화하는 데에도 매우 유용합니다.

이것이 어떻게 수행되는지 보기 위해 예를 들어 다음 부분을 단순화해 보겠습니다.

$\cfrac{2x^2+4}{14x+8y}$

가장 먼저 해야 할 일은 분자 다항식과 분모 다항식의 공통인수를 찾는 것입니다. 이 경우 두 다항식의 공통 인수는 2입니다.

$\cfrac{\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot x^2+\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot 2 }{\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot 7x+\color{red} \bm{2} \color{black} \cdot 4y}$

이제 두 다항식의 공통 인수를 추출해 보겠습니다.

$\cfrac{\color{red} \bm{2} \color{black}\left(x^2+2\right)}{\color{red} \bm{2} \color{black}\left(7x+4y\right)}$

그리고 두 다항식의 공통 인수를 얻은 후에 는 분자와 분모에서 반복되는 인수를 제거해야 합니다 .

$\cfrac{\cancel{2}\left(x^2+2\right)}{ \cancel{2}\left(7x+4y\right)}$

결론적으로 단순화된 분수는 다음과 같습니다.

$\cfrac{x^2+2}{7x+4y}$

그룹화별 공통인수

다항식의 항을 줄이는 한 가지 방법은 항을 그룹화하여 이중 공통인수 추출이라고도 하는 공통인수 방법을 사용하는 것입니다. 이름에서 알 수 있듯이 이 절차는 항을 두 번 그룹화하여 다항식의 표현을 단순화하는 것으로 구성됩니다.

이 방법은 다소 복잡하므로 다음 다항식을 사용하여 단계별로 적용하는 방법을 살펴보겠습니다.

$x^2+2x+5x+10$

먼저 두 가지 서로 다른 공통 인수를 결정해야 하므로 다항식을 두 부분으로 나눕니다.

$(x^2+2x)+(5x+10)$

이 경우 ^x2 와 2x의 원소는 x를 공통인수로 갖고, 5x와 10의 원소는 5를 공통인수로 갖는다(10은 5의 배수이므로). 따라서 우리에게는 다음 두 가지 공통점이 있습니다.

$(x\cdot x+2\cdot x)+(5\cdot x+5\cdot 2)$

$x(x+2)+5(x+2)$

그리고 마지막으로 나머지 두 다항식 곱은 인수 (x+2)를 가지므로 다음과 같이 다항식을 단순화할 수 있습니다.

$(x+2)\cdot (x+5)$

보시다시피 이 방법은 전혀 쉽지 않습니다. 그러니 주저하지 마시고 댓글로 질문을 남겨주시면 최대한 빨리 답변해드리겠습니다.

단계별로 해결되는 공통인수 연습

다항식에서 공통인수를 추출하는 연습을 할 수 있도록 단계별로 몇 가지 문제를 풀어보겠습니다.

연습 1

다음 다항식에서 공통인수를 추출합니다.

$\text{A)} \ 6a+6b$

$\text{B)} \ 3x^2+8x$

$\text{C)} \ 2x-4$

$\text{D)} \ -5x^4+x^2$

솔루션 보기

A) 첫 번째 다항식을 구성하는 모든 항은 6을 가지므로 다항식의 공약수는 6입니다.

$6a+6b = 6\cdot a + 6 \cdot b = \bm{6\cdot (a+b)}$

B) 두 번째 다항식에서는 모든 요소에 최소한 하나의 문자 x가 있습니다. 다항식의 공통 인수는 다음과 같습니다.

$3x^2+8x = 3x \cdot x+8\cdot x= \bm{x\cdot (3x+8)}$

C) 다항식의 첫 번째 단항식은 분명히 2를 갖고, 두 번째 단항식은 2의 배수입니다. 따라서 다항식의 공통 인수는 2입니다.

$2x-4= 2\cdot x - 2\cdot 2 =\bm{2\cdot (x-2)}$

D) 마지막 다항식에서는 모든 변수가 최소한 제곱됩니다. 따라서 공통 인수는 x ² 입니다.

$-5x^4+x^2= -5x^2\cdot x^2 +1 \cdot x^2 = \bm{x^2\cdot (-5x^2+1)}$

공통인자가 항과 동일하면 그 자리에 1을 넣어야 한다는 점을 기억하세요.

연습 2

다음 다항식의 공통 인수를 고려하십시오.

$\text{A)} \ 8x^2 + 10y^3$

$\text{B)} \ 5x^3-2x^2+4x$

$\text{C)} \ 25x^5+15x^3-20$

$\text{D)} \ 9x^4-3x^3-21x^2-6x$

솔루션 보기

A) 첫 번째 다항식을 구성하는 요소의 모든 계수는 2의 배수입니다. 따라서 공통 인수를 추출하면 다항식은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{l} 8x^2 + 10y^3 = \\[2ex] = 2\cdot 4x^2 +2\cdot 5y^3 = \\[2ex] = \bm{2\left(4x^2+5y^3\right)} \end{array}$

B) 다항식의 모든 측면에서 적어도 하나의 x가 있으므로:

$\begin{array}{l}5x^3-2x^2+4x = \\[2ex] = 5x^2\cdot x-2x\cdot x+4\cdot x= \\[2ex] =\bm{x\left(5x^2-2x+4\right)}\end{array}$

C) 다항식의 모든 항 계수의 최대 공약수는 5입니다. 따라서 해당 다항식의 공약수는 5입니다.

$\begin{array}{l}25x^5+15x^3-20 = \\[2ex] =5\cdot 5x^5+5\cdot 3x^3-5\cdot 4 = \\[2ex] = \bm{5\left(5x^5+3x^3-4\right)}\end{array}$

D) 다항식의 모든 항은 적어도 하나의 x를 가지며, 또한 모든 계수는 3의 배수입니다. 따라서 다항식의 공통 인수는 3x입니다.

$\begin{array}{l}9x^4-3x^3-21x^2-6x = \\[2ex] = 3x^3\cdot 3x-x^2\cdot 3x-7x\cdot 3x-2\cdot 3x= \\[2ex] = \bm{3x\left(3x^3-x^2-7x-2 \right)}\end{array}$

연습 3

다음 각 다항식의 공통인수를 찾아 빼세요.

$\text{A)} \ 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4$

$\text{B)} \ 16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5$

$\text{C)} \ 6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c$

$\text{D)} \ 18x^2y+10xy-5xy^3+4z$

솔루션 보기

A) 모든 단항식에는 최소한 문자가 있습니다.

$a$

제곱과 문자

$b$

세제곱이므로 공통인수는 다음과 같습니다.

$a^2b^3:$

$\begin{array}{l} 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4 = \\[2ex] = 4b^2\cdot a^2b^3+7a^2\cdot a^2b^3-10a^4b\cdot a^2b^3 = \\[2ex] = \bm{a^2b^3\left(4b^2+7a^2-10a^4b\right)} \end{array}$

B) 다항식의 모든 계수는 8의 배수이며, 또한 문자 그대로 최소한 x ² 및 y ^2를 갖습니다. 따라서 다항식의 공통 인수는 8x ² y ² 입니다.

$\begin{array}{l}16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5 = \\[2ex] = 2x^2y^5z \cdot 8x^2y^2 +z^2\cdot 8x^2y^2+ 3xy^3\cdot 8x^2y^2= \\[2ex] =\bm{8x^2y^2\left(2x^2y^5z+z^2+3xy^3\right)}\end{array}$

다) 이 경우, 공통인수는 중간단항식의 값과 일치한다.

$\left(6ab^2c\right)$

, 다른 단항식의 계수는 다음의 배수이므로

$6$

그리고 절대적으로 모든 사람이 가지고 있습니다

$ab^2c:$

$\begin{array}{l}6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c = \\[2ex] =c^3\cdot 6ab^2c -1\cdot 6ab^2c+2a^2 \cdot 6ab^2c = \\[2ex] = \bm{6ab^2c\left(c^3-1+2a^2\right)}\end{array}$

D) 이 특별한 경우, 다항식의 모든 항에서 인수가 반복되지 않으므로 다항식에는 공통 인수가 없습니다. 따라서 다항식은 대수적으로 단순화될 수 없습니다.

$18x^2y+10xy-5xy^3+4z$

연습 4

공통 인수를 취하여 다음 대수 분수를 단순화합니다.

$\text{A)} \ \cfrac{10x^2+30}{5x-20}$

$\text{B)} \ \cfrac{16x^2-8}{24x-32}$

$\text{C)} \ \cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}$

$\text{D)} \ \cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}$

솔루션 보기

대수적 분수, 즉 다항식이 있는 분수를 단순화하는 절차는 분수의 분자와 분모에서 공통인수를 추출한 후 위와 아래에서 반복되는 인수를 제거하는 것입니다. 분수 아래. 그래서:

$\text{A)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{10x^2+30}{5x-20}= \cfrac{5\cdot 2x^2 +5\cdot 6}{5\cdot x-5\cdot 4} = \\[4ex] = \cfrac{5(2x^2+6)}{5(x-4)}= \cfrac{\cancel{5}(2x^2+6)}{\cancel{5}(x-4)} = \\[4ex] = \cfrac{\bm{2x^2+6}}{\bm{x-4}} \end{array}$

$\text{B)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{16x^2-8}{24x-32} = \cfrac{8 \cdot 2x^2+8 \cdot (-1)}{8 \cdot 3x-8 \cdot 4} =\\[4ex] = \cfrac{8(2x^2-1)}{8(3x-4)}= \cfrac{\cancel{8}(2x^2-1)}{\cancel{8}(3x-4)} =\\[4ex] = \cfrac{\bm{2x^2-1}}{\bm{3x-4}} \end{array}$

$\text{C)} \quad \begin{array}{l}\cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}=\cfrac{7x\cdot 7x^2+7x\cdot 1}{7 \cdot 5x^2+7\cdot (-2)} =\\[4ex] = \cfrac{7x(7x^2+1)}{7(5x^2-2)}= \cfrac{\cancel{7}x(7x^2+1)}{\cancel{7}(5x^2-2)}=\\[4ex] = \cfrac{\bm{x(7x^2+1)}}{\bm{5x^2-2}} \end{array}$

$\text{D)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}=\cfrac{4x^2\cdot 2x^2+4x^2\cdot 4x+4x^2\cdot (-1)}{4x\cdot 3x+4x\cdot 5}=\\[4ex] = \cfrac{4x^2(2x^2+4x-1)}{4x(3x+5)}= \cfrac{\cancel{4}x^{\cancel{2}}(2x^2+4x-1)}{\cancel{4}\cancel{x}(3x+5)}=\\[4ex] = \cfrac{\bm{x(2x^2+4x-1)}}{\bm{3x+5}} \end{array}$

연습 5

다음 다항식의 공통 인수를 취하십시오.

$\text{A)} \ \cfrac{7}{3}x^2+ \cfrac{8}{3}x-\cfrac{2}{3}$

$\text{B)} \ \sqrt{12x^3+16}$

$\text{C)} \ x^2+4x-3x-12$

$\text{D)} \ \cfrac{3}{4}x^2+ \cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{6}$

솔루션 보기

A) 다항식의 모든 항은 3차로 계승 분해될 수 있습니다. 따라서:

$\begin{array}{l} \cfrac{7}{3}x^2+ \cfrac{8}{3}x-\cfrac{2}{3}= \\[3ex] = \cfrac{1}{3}\cdot 7x^2+ \cfrac{1}{3}\cdot 8x-\cfrac{1}{3}\cdot 2 = \\[3ex] = \mathbf{\cfrac{1}{3}}\bm{\left(7x^2+8x-2\right)} \end{array}$

B) 근 내부 다항식의 공약수는 4이지만, 그 제곱근을 계산하여 공약수를 출력할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\sqrt{12x^3+16}= \\[2ex] =\sqrt{4\cdot 3x^3+4\cdot 4}= \\[2ex]=\sqrt{4\left(3x^3+4\right)}= \\[2ex] =\bm{2\sqrt{3x^3+4}}\end{array}$

C) 이 다항식에서 우리는 그룹화를 통해 공통 인수를 추출하는 프로세스를 적용할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}x^2+4x-3x-12= \\[2ex] =x(x+4)-3(x+4) = \\[2ex] = \bm{(x+4)(x-3)}\end{array}$

D) 다항식의 모든 분수 계수는 절반의 배수이므로 다항식의 공약수는 ½입니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{3}{4}x^2+ \frac{1}{2}x-\frac{5}{6}= \\[4ex] \displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}x^2+ \frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{3}= \\[4ex] \displaystyle = \mathbf{\frac{1}{2}}\bm{\left(}\mathbf{\frac{3}{2}}\bm{x^2+x-}\mathbf{\frac{5}{3}} \bm{\right)}\end{array}$

👇👇👇 설명을 듣고 어떤 생각이 드셨나요? 마음에 들었나요? 또한 다항식의 공약수가 어떻게 결정되는지에 대해 궁금한 점이 있거나 연습 문제를 이해하지 못하는 경우 언제든지 댓글로 질문하시면 답변해 드리겠습니다. 👇👇👇

공약수 추출 또는 제거

공통인자는 무엇입니까?

공약수를 구하는(또는 추출하는) 방법

공통인수 추출(또는 추출)의 예

실시예 1

실시예 2

실시예 3

실시예 4

분수의 공통인수

그룹화별 공통인수

단계별로 해결되는 공통인수 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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