함수의 최대값과 최소값(상대 극단)

이 기사에서는 함수의 최대값과 최소값을 계산하는 방법을 알아보고 두 가지 예를 단계별로 풀어 설명합니다. 또한 함수의 최대값과 최소값에 대한 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

함수의 최대값과 최소값은 얼마입니까?

함수의 최대값은 함수의 가장 큰 값이고 함수의 최소값은 함수의 가장 작은 값입니다. 함수의 최대값과 최소값은 해당 환경에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값만 나타낼 때는 상대적 극단 이지만, 전체 함수의 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 나타낼 때는 절대 극단 입니다.

함수의 최대값과 최소값

함수의 증가와 감소를 연구하여 상대적인 극단을 식별할 수도 있습니다.

  • 점은 함수가 증가에서 감소로 갈 때의 상대적 최대값 입니다.
  • 점은 함수가 감소에서 증가로 갈 때의 상대적 최소값 입니다.

함수의 최대값과 최소값을 찾는 방법

함수의 1차 도함수와 2차 도함수를 통해 함수의 한 점에 상대 극값이 있는지, 해당 점이 상대 최대값인지 상대 최소값인지 알 수 있습니다.

  • 함수는 1차 도함수를 취소하는 점에 상대적인 극값을 갖습니다.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • 그리고 함수의 2차 도함수의 부호에 따라 점이 최대값인지 최소값인지 결정됩니다.
    • 2차 도함수가 음수인 경우 함수는 해당 지점에서 상대 최대값을 갖습니다.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • 2차 도함수가 양수이면 함수는 해당 지점에서 상대적 최소값을 갖습니다.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= 예시 1: 함수의 최대값과 최소값을 계산하는 방법

      함수의 최대값과 최소값에 대한 정의를 확인한 후에는 예제를 단계별로 풀어 함수의 최대값과 최소값이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있습니다.

      • 다음 함수의 상대적 극단값을 계산하고 그것이 최대값인지 최소값인지 확인합니다.

      f(x)=x^3-3x

      함수의 상대적 극단은 다음을 만족하는 점이 될 것입니다.

      f'(x)=0

      . 따라서 먼저 함수의 미분을 계산합니다.

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      이제 함수의 미분을 0으로 설정하고 결과 이차 방정식을 풉니다.

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      따라서 함수의 상대적 극단은 x=+1 및 x=-1입니다.

      함수의 상대적인 극단을 알면 2차 도함수의 부호를 통해 그것이 최대값인지 최소값인지 알 수 있습니다. 따라서 우리는 함수의 2차 도함수를 계산합니다.

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      이제 우리는 이전에 찾은 상대 극단을 2차 미분으로 평가하여 상대 최대값인지 최소값인지 확인합니다.

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      상대 최소값

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      최대 친척

      x=1의 2차 도함수는 양수이므로 x=1은 상대 최소값입니다 . 반면에 x=-1의 2차 도함수는 음수이므로 x=-1은 상대 최대값입니다 .

      마지막으로, 상대적 극단의 Y 좌표를 찾기 위해 원래 함수에서 찾은 점을 대체합니다.

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      결론적으로, 함수의 상대적 극단은 다음과 같습니다.

      포인트까지의 최소

      \bm{(1,-2)}

      포인트 최대값

      \bm{(-1,2)}

      예제 2: 함수의 단조성과 최대값 및 최소값 연구

      이제 다른 유형의 운동이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다. 이번 경우에는 함수의 단조성으로부터 최대값과 최소값을 구하는 방법을 설명하겠습니다.

      • 단조성을 연구하고 다음 함수의 상대적 극단을 계산합니다.

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의 영역을 계산하는 것입니다. 유리함수이기 때문에 어떤 숫자가 함수의 정의역에 속하지 않는지 확인하려면 분모를 0으로 설정해야 합니다.

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      함수 정의 영역을 계산한 후에는 어떤 점이 1차 도함수를 취소하는지 연구해야 합니다. 따라서 우리는 다음과 같은 함수를 도출합니다.

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      이제 도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      용어

      \left(x-1\right)^2}

      여기에는 전체 왼쪽을 나누는 작업이 포함되므로 전체 오른쪽을 곱할 수 있습니다.

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      이차방정식을 풀기 위해 공통인수를 추출합니다:

      x(x-2)=0

      곱셈이 0이 되려면 곱셈의 두 요소 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서 우리는 각 요소를 0으로 설정하고 방정식의 두 가지 해를 얻습니다.

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      일단 함수의 도메인을 계산하고

      f'(x)=0

      , 우리는 선에서 발견된 모든 중요한 점을 나타냅니다.

      그리고 각 간격에서 도함수의 부호를 평가하여 함수가 증가하는지 감소하는지 확인합니다. 이를 위해 우리는 각 구간에서 한 점(임계점은 아님)을 취하고 해당 점에서 도함수가 어떤 부호를 갖는지 살펴봅니다.

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      도함수가 양수이면 함수가 증가한다는 의미이고, 도함수가 음수이면 함수가 감소한다는 의미입니다. 따라서 성장 및 쇠퇴 간격은 다음과 같습니다.

      성장:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      감소하다:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      또한 x=0에서 함수는 증가에서 감소로 이동하므로 x=0은 함수의 상대적 최대값입니다 . 그리고 x=2에서 함수는 감소에서 증가로 이동하므로 x=2는 함수의 상대적 최소값입니다 .

      마지막으로 원래 함수에서 찾은 점을 대체하여 끝의 Y 좌표를 찾습니다.

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      즉, 함수의 상대적 극단은 다음과 같습니다.

      포인트 최대값

      \bm{(0,0)}

      포인트까지의 최소

      \bm{(2,4)}

      함수의 최대값과 최소값에 대한 연습 문제 해결

      연습 1

      다음 다항식 함수의 상대 극값을 계산하고 그것이 최대값인지 최소값인지 확인합니다.

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      함수의 상대적 극단은 함수의 1차 도함수가 0이 되는 지점이 됩니다. 따라서 우리는 함수의 미분을 계산합니다.

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      이제 우리는 방정식을 푼다.

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      우리는 이차 방정식을 가지고 있으므로 이를 풀기 위해 일반 공식을 적용합니다:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      따라서 함수의 상대적 극단은 x=3 및 x=-1 점입니다.

      함수의 상대적인 극단을 알면 2차 도함수의 부호를 통해 그것이 최대값인지 최소값인지 알 수 있습니다. 따라서 우리는 함수를 다시 차별화합니다.

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      이제 2차 미분에서 이전에 계산한 점을 평가합니다.

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      x=3의 2차 도함수는 양수이므로 x=3은 최소값입니다 . 그리고 x=-1의 2차 도함수는 음수이므로 x=-1은 최대값입니다 .

      마지막으로 원래 함수에서 찾은 점을 대체하여 끝의 Y 좌표를 찾습니다.

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      즉, 함수의 상대적 극단은 다음과 같습니다.

      지점을 기준으로 한 최소값

      \bm{(3,-27)}

      점을 기준으로 한 최대값

      \bm{(-1,5)}

      연습 2

      다음 지수 함수의 상대 극값을 계산하고 그것이 최대값인지 최소값인지 확인합니다.

      f(x)=e^x(x-1)

      먼저, 기능을 차별화해야 합니다. 이를 위해 제품 파생물에 대한 공식을 적용합니다.

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      이제 우리는 방정식을 푼다.

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      다른 숫자로 올림된 숫자는 결코 0이 될 수 없습니다. 따라서

      e^x=0

      해결책이 없으며 유일한 상대적인 극단은 다음과 같습니다.

      x=0

      .

      이제 우리는 상대 극단이 최대값 또는 최소값임을 알기 위해 함수의 2차 도함수를 계산합니다.

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      이제 우리는 이전에 찾은 극단을 2차 미분으로 평가하여 그것이 최대값인지 최소값인지 확인합니다.

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      x=0의 2차 도함수는 양수이므로 x=0은 상대 또는 국소 최소값입니다 .

      마지막으로 원래 함수에서 찾은 점을 대체하여 다른 끝 좌표를 찾습니다.

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      따라서 함수의 유일한 상대 극값은 다음과 같습니다.

      포인트까지의 최소

      \bm{(0,-1)}

      연습 3

      단조성을 연구하고 다음 유리 함수의 상대적 극단을 찾으세요.

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      먼저, 함수의 영역을 결정합니다. 이를 위해 분수의 분모를 0으로 설정하고 결과 이차 방정식을 풉니다.

      x^2+1 = 0

      표현식

      x^2+1

      x 2 의 결과는 항상 양수 또는 0이므로 0이 될 수 없습니다. 따라서 1을 더해도 0이 되지 않습니다. 따라서 함수의 정의역은 실수로만 구성됩니다.

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      다음으로 어떤 점이 충족되는지 연구합니다.

      f'(x)=0.

      몫 규칙을 사용하여 함수를 차별화합니다.

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      우리는 이차 방정식을 가지고 있으므로 이를 풀기 위해 일반 공식을 사용합니다:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      일단 함수의 도메인을 계산하고

      f'(x)=0

      , 수직선에서 발견된 모든 특이점을 나타냅니다.

      이제 각 간격에서 도함수의 부호를 평가하여 함수가 증가하는지 감소하는지 확인합니다. 따라서 우리는 각 간격에서 점(특이점은 아님)을 취하고 이 점에서 도함수가 어떤 부호를 갖는지 살펴봅니다.

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      도함수가 양수이면 해당 구간에서 함수가 증가한다는 의미이고, 도함수가 음수이면 함수가 감소한다는 의미입니다. 따라서 성장 및 쇠퇴 간격은 다음과 같습니다.

      성장:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      감소하다:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      함수는 x=-0.41에서 감소에서 증가로 변경되므로 x=-0.41은 함수의 국소 최소값입니다 . 그리고 함수는 x=2.41에서 증가에서 감소로 이동하므로 x=2.41은 함수의 로컬 최대값입니다 .

      마지막으로 점의 Y 좌표를 찾기 위해 원래 함수에서 찾은 극단을 대체합니다.

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      따라서 함수의 상대적 극단은 다음과 같습니다.

      포인트까지의 최소

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      포인트 최대값

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      연습 4

      우리는 그 기능을 알고 있습니다.

      f(x)=x^2+ax+b

      지점을 통과하다

      (1,-2)

      그리고 상대적으로 극단적인 면이 있다

      x= -1 .

      미지의 값 결정

      a

      그리고 그 가치는

      b .

      함수가 상대 극값을 가지도록 하세요.

      x= -1

      그건 다 이루었다는 뜻이야

      f'(-1)=0.

      따라서 우리는 함수의 미분을 계산합니다.

      x= -1

      그리고 이를 0으로 설정합니다:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      그리고 우리는 매개변수 a의 값을 찾기 위해 얻은 방정식을 풀었습니다.

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      따라서 함수는 다음과 같습니다.

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      반면에 그들은 함수가 점을 통과한다고 말합니다.

      (1,-2) .

      즉,

      f(1)=-2 .

      따라서 이 조건을 적용하여 변수 b의 값을 찾을 수 있습니다.

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      그리고 우리는 매개변수 b의 값을 찾기 위해 얻은 방정식을 풀었습니다.

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      따라서 함수는 다음과 같습니다.

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

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