차이에 의한 합의 곱(놀라운 동일성)

이 페이지에서는 합계와 차이의 곱에 대한 공식을 찾을 수 있습니다. 또한, 이러한 놀라운 유형의 아이덴티티 공식을 적용한 예를 볼 수 있으며, 단계별로 풀어낸 연습 문제를 통해 연습할 수도 있습니다.

합과 차이의 곱은 무엇입니까?

수학에서 차이에 의한 합의 곱이라는 개념은 주목할만한 동일성 또는 주목할 만한 곱이라고도 하는 주목할만한 평등 중 하나를 나타냅니다.

보다 정확하게는 차이에 의한 합의 곱에 대한 표현은 (a+b)·(ab) 형식입니다. 여기서 (a+b)는 서로 다른 두 항의 합에 해당하고 (ab)는 차이입니다. 이 동일한 두 용어 중.

차이에 의한 합계의 곱에 대한 공식

이제 우리는 차이 곱셈의 수학적 정의를 알았으므로 이 놀라운 유형의 항등식을 풀기 위해 어떤 공식이 사용되는지 살펴보겠습니다.

따라서 두 항의 차이에 합을 곱한 값은 이들 항의 제곱의 차이와 같습니다 . 즉, 서로 다른 두 항의 합에 동일한 두 항을 빼는 것은 두 항을 각각 제곱하고 빼는 것과 같습니다.

이는 제곱의 차이가 합계에 차이를 곱한 결과로 인수분해될 수 있음을 의미합니다. 지금은 복잡해 보일 수도 있지만 링크된 페이지에서 이러한 유형의 다항식을 두 가지 간단한 단계로 인수분해할 수 있는 방법을 설명합니다. 클릭하여 완료 방법을 알아보세요.

차이에 의한 합계의 예

합과 차이의 곱에 대한 공식이 무엇인지 알게 되면, 다음으로 이 놀라운 유형의 평등이 어떻게 해결되는지 더 잘 이해할 수 있도록 몇 가지 해결된 예를 볼 것입니다.

실시예 1

공식을 적용하여 두 가지 다른 항의 차이로 다음과 같은 합계를 계산합니다.

$(x+2)\cdot (x-2)$

차이에 의한 합의 곱의 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

따라서 가장 먼저 해야 할 일은 매개변수 값을 식별하는 것입니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우

$a$

변수에 해당

$x$

그리고

$b$

숫자 2에 해당합니다.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

이제 매개변수가 어떤 값을 취하는지 알았으니

$a$

그리고

$b,$

차이로 합계를 곱하는 공식을 적용할 수 있습니다.

보시다시피, 합계와 차이의 곱은 항상 음수 항을 제공합니다. 그러나 이것을 뺄셈의 제곱의 놀라운 동일성과 혼동해서는 안 됩니다. 의심스러운 점이 있으면 차이의 제곱에 대한 공식이 무엇인지 살펴보고 이 두 가지 놀라운 정체성의 차이점이 무엇인지 알아볼 것을 권장합니다.

실시예 2

공식을 사용하여 두 이항식의 차이로 다음 합계를 구합니다.

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

차이에 의한 합의 곱의 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

따라서 이 경우

$a=3x$

그리고

$b=5$

. 따라서 차이 공식으로 합을 적용하면 다음과 같은 대수 표현식을 얻을 수 있습니다.

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

실시예 3

두 단항식의 차이로 다음 합계의 곱을 공식으로 풀어보세요.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

곱셈은 교환 특성을 가지므로 먼저 차이를 곱한 다음 두 수량의 합을 곱하는 것은 동일한 괄호를 역으로 곱하는 것과 같습니다.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

따라서 이 경우 곱이 반전되더라도, 즉 덧셈이 뺄셈이 되기 전에 결과는 공식과 동일하게 유지됩니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

그래서 이 문제에서는

$a=4x$

그리고

$b=2y$

. 그리고 각각의 알려지지 않은 값을 식별하면 공식을 사용하여 주목할만한 제품을 계산할 수 있습니다.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

차이 공식에 의한 합계 시연

방금 공부한 합과 차이의 공식은 쉽게 증명할 수 있습니다.

두 항을 빼서 합계의 곱에서 시작하면:

$(a+b)\cdot (a-b)$

분배법칙을 사용하여 첫 번째 괄호에 두 번째 괄호를 곱하면 됩니다.

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

그리고 유사한 용어를 그룹화하여 다음과 같은 표현을 얻습니다.

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

따라서 주목할만한 차이별 합계 곱에 대한 공식이 도출됩니다.

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

차이에 의한 합계의 곱에 대한 해결된 연습문제

아래에는 여러분이 연습할 수 있도록 차이점 연습을 통해 몇 가지 단계별로 해결된 덧셈 문제를 준비했습니다. 연습은 가장 어려운 것부터 가장 어려운 것 순으로 정렬되어 있으므로 1부터 시작하여 2를 계속하고 마지막으로 가장 어려운 3을 수행하는 것이 좋습니다.

⬇⬇궁금한 점은 댓글로 남겨주시면 된다는 점 잊지 마세요!⬇⬇

연습 1

다음과 같은 합의 곱을 차이로 풀어보세요.

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

해결책 보기

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

연습 2

다음 곱셈을 제곱의 차이로 표현합니다.

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

해결책 보기

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

연습 3

다음과 같은 주목할만한 정체성을 해결하십시오.

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

해결책 보기

첫 번째 주목할 만한 등식을 풀려면 제곱근이 단순화된다는 점을 기억해야 합니다.

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

차이에 의한 두 번째 합의 2개의 단항식은 분수 계수를 가지므로 분수의 속성을 사용하여 이 문제를 풀어야 합니다.

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

마지막으로, 마지막 등식은 그 안에 또 다른 주목할만한 곱(합의 제곱)이 포함되어 있기 때문에 약간 특별합니다.

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

차이에 의한 합의 산물(놀라운 아이덴티티)

합과 차이의 곱은 무엇입니까?

차이에 의한 합계의 곱에 대한 공식

차이에 의한 합계의 예

실시예 1

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차이 공식에 의한 합계 시연

차이에 의한 합계의 곱에 대한 해결된 연습문제

연습 1

연습 2

연습 3

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