선의 암시적 또는 일반(또는 데카르트) 방정식

이 페이지에서는 선의 일반 방정식 또는 데카르트 방정식이라고도 불리는 선의 암시적 방정식이 계산되는 방법을 확인할 수 있습니다. 또한, 다양한 예문을 보실 수 있으며, 단계별로 풀어가는 직선 연습문제도 함께 보실 수 있습니다.

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 일반 방정식 또는 데카르트 방정식 이라고도 알려진 선의 암시적 방정식은 임의의 선을 수학적으로 표현하는 방법입니다. 이를 위해 필요한 것은 선의 방향 벡터와 선에 속하는 점뿐입니다.

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식에 대한 공식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
계수
$A$

방향 벡터의 두 번째 구성 요소는 다음과 같습니다.

$A=\text{v}_2}$
계수
$B$

방향 벡터 변경 기호의 첫 번째 구성 요소는 다음과 같습니다.

$B=-\text{v}_1}$
계수
$C$

알려진 점을 대체하여 계산됩니다.

$P$

선의 방정식에서.

반면에 암시적(또는 일반) 방정식 외에도 선을 분석적으로 표현하는 다른 방법이 있다는 점을 명심하십시오: 벡터 방정식, 매개변수 방정식, 연속 방정식, 명시적 방정식 및 점-기울기 방정식 앨린. 저희 웹사이트에서 각각의 내용을 확인하실 수 있습니다.

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식을 계산하는 예

공식만 보면 이런 형태의 직선 방정식은 찾기가 조금 어려워 보일 수도 있습니다. 그러나 그것이 정확히 반대라는 것을 알 수 있도록 다음 예를 통해 직선의 일반(또는 암시적) 방정식을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 직선의 암시적 방정식을 구합니다.
$P$

그리고

$\vv{\text{v}}$

안내 벡터로:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

위 섹션에서 보았듯이 직선의 암시적 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0$

따라서 우리는 계수 A, B 및 C를 찾아야 합니다. 미지수 A 및 B는 선의 방향 벡터 좌표로부터 얻어집니다. 왜냐하면 다음 동등성이 항상 확인되기 때문입니다.

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

결과적으로, 계수 A는 벡터의 두 번째 좌표이고, 계수 B는 부호가 변경된 벡터의 첫 번째 좌표입니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

따라서 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

따라서 계수 C만 구하면 됩니다. 이를 위해서는 선에 속한다고 알고 있는 점을 방정식에 대입해야 합니다.

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

이제 결과 방정식을 푼다.

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

따라서 선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{3x-2y-17=0}$

연속 방정식에서 암시적 방정식(일반 또는 데카르트)을 찾습니다.

우리는 방금 직선의 일반 방정식을 구하는 방법을 살펴보았습니다. 그러나 연속 방정식을 사용하는 또 다른 방법이 있습니다. 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

연속 방정식으로 정의된 다음 선의 일반(또는 암시적) 방정식을 계산합니다.

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

먼저 분수를 곱합니다:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

둘째, 분배 법칙을 사용하여 괄호를 푼다:

$6x-6=-2y-8$

다음으로 모든 항을 방정식의 왼쪽으로 옮깁니다.

$6x-6+2y+8=0$

그리고 마지막으로 용어를 그룹화하여 선의 일반 방정식을 얻습니다.

$\bm{6x+2y+2=0}$

암시적 또는 일반(또는 데카르트) 방정식의 문제 해결

연습 1

점을 지나는 선의 일반방정식을 쓰시오.

$P$

그리고

$\vv{\text{v}}$

안내 벡터로:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

해결책 보기

직선의 일반 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0$

따라서 우리는 A, B, C를 찾아야 합니다. 변수 A와 B는 선의 방향 벡터 좌표에서 얻어집니다. 왜냐하면 다음과 같은 동일성이 항상 확인되기 때문입니다.

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

결과적으로, 계수 A는 벡터의 두 번째 좌표이고, 계수 B는 부호가 변경된 벡터의 첫 번째 좌표입니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

따라서 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

따라서 계수 C만 구하면 됩니다. 이를 위해서는 선에 속한다고 알고 있는 점을 선의 방정식에 대입하고 결과 방정식을 풀어야 합니다.

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

간단히 말해서, 선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{2x+y-8=0}$

연습 2

다음 라인의 데카르트 방정식을 계산합니다.

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

해결책 보기

방정식은 연속 방정식으로 표현되므로 내재된 방정식을 찾으려면 분수를 교차하고 모든 항을 방정식의 한쪽에 넣어야 합니다.

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

연습 3

다음 선의 한 점과 그 방향 벡터를 결정합니다. 선은 일반 방정식으로 표현됩니다.

$-x-3y+6= 0$

해결책 보기

선 방향 벡터의 구성 요소는 선의 일반 방정식의 계수 A와 B에서 얻을 수 있습니다. 벡터의 첫 번째 구성 요소는 부호가 변경된 계수 B에 해당하고 벡터의 두 번째 구성 요소는 계수 A. 그래서:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

반면에 선의 점을 계산하려면 변수에 값을 할당해야 합니다. 예를 들어, 우리는

$x=0$

그리고 우리는 결과 방정식을 푼다:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

따라서 줄의 요점은 다음과 같습니다.

$\bm{P(0,2)}$

변수 X(또는 변수 Y)에 어떤 값을 주느냐에 따라 다르기 때문에 다른 점을 얻었을 수도 있지만, 동일한 절차를 따르면 역시 맞습니다. 반면에 선의 방향 벡터는 계산된 것과 동일해야 합니다.

연습 4

다음 두 점을 통과하는 직선의 암시적 방정식을 구합니다.

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

해결책 보기

이 경우 선의 방향 벡터를 모르므로 먼저 방향 벡터를 찾은 다음 선의 방정식을 찾아야 합니다.

선의 방향 벡터를 찾으려면 주어진 두 점으로 정의된 벡터를 계산하면 됩니다.

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

선의 방향 벡터를 알고 나면 이제 공식에서 암시적(또는 일반 또는 데카르트) 방정식을 결정할 수 있습니다.

$Ax+By+C=0$

계수 A는 벡터의 두 번째 좌표이고 계수 B는 벡터 변경 부호의 첫 번째 좌표이므로 미지수 A와 B는 선의 방향 벡터 좌표에서 얻습니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

따라서 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

따라서 계수 C를 찾는 것으로 충분합니다. 이를 위해서는 선에 속한다고 알고 있는 점을 선의 방정식에 대입하고 결과 방정식을 풀어야 합니다.

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

마지막으로, 선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{4x+6y-10=0}$

연습 5

직선에 수직인 직선의 암시적 방정식을 구합니다.

$r$

그리고 그 지점에서 무슨 일이 일어나는지

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

해결책 보기

수직인 두 직선은 서로 직교하는 방향 벡터를 가지므로 직선의 방향 벡터를 찾아야 합니다.

$r$

그런 다음 이에 수직인 벡터입니다.

선의 방향 벡터의 구성 요소

$r$

이는 선의 일반 방정식의 계수 A와 B에서 얻을 수 있습니다. 벡터의 첫 번째 구성 요소는 변경된 부호 B에 해당하고 벡터의 두 번째 구성 요소는 계수 A와 같습니다.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

이제 수직 벡터를 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 벡터의 좌표를 삽입하고 그 중 하나의 부호를 변경하면 됩니다.

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

따라서 이것은 수직인 선의 방향 벡터가 됩니다.

$r.$

선의 방향 벡터를 알고 나면 이제 공식에서 암시적(또는 일반 또는 데카르트) 방정식을 결정할 수 있습니다.

$Ax+By+C=0$

계수 A는 벡터의 두 번째 좌표이고 계수 B는 벡터 변경 부호의 첫 번째 좌표이므로 미지수 A와 B는 선의 방향 벡터 좌표에서 얻습니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$