선의 벡터 방정식

이 페이지에서는 선의 벡터 방정식을 계산하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한, 다양한 예시를 확인하고 문제를 풀어서 연습할 수 있습니다. 또한 벡터 방정식에서 선의 점을 구하는 방법도 알게 됩니다.

직선의 벡터 방정식은 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 선 벡터 방정식은 모든 선을 수학적으로 표현하는 방법입니다. 그리고 이를 위해 필요한 것은 선에 속하는 점과 선의 방향 벡터뿐입니다.

선의 벡터 방정식은 어떻게 계산됩니까?

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

선의 벡터 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부인 알려진 점의 좌표입니다.
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

이는 평면에 있는 선의 벡터 방정식입니다. 즉, 2개 좌표(R2)의 점과 벡터로 작업할 때입니다. 그러나 공간(R3)에서 계산을 수행하는 경우 선의 방정식에 추가 구성요소를 추가해야 합니다.

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

한편, 벡터 방정식 외에도 선을 분석적으로 표현하는 다른 방법이 있다는 점을 명심하십시오: 매개변수 방정식, 연속 방정식, 암시적(또는 일반) 방정식, 명시적 방정식 및 선의 점-기울기 방정식 . 이 링크의 라인에서 모든 유형의 방정식을 볼 수 있습니다.

선의 벡터 방정식을 찾는 방법의 예

예를 사용하여 선의 벡터 방정식이 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 선의 벡터 방정식을 작성하십시오.
$P$

그리고

$\vv{\text{v}}$

안내 벡터로:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

선의 벡터 방정식을 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

선의 벡터 방정식에서 점 얻기

선의 벡터 방정식을 찾으면 선이 통과하는 점을 계산하는 것이 매우 쉽습니다. 선의 한 점을 결정하려면 매개변수에 값을 지정하면 됩니다.

$\bm{t}$

선의 벡터 방정식의

예를 들어, 다음과 같은 선의 벡터 방정식이 주어집니다.

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

교체하면 포인트가 적립됩니다.

$t$

예를 들어 임의의 숫자로

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

그리고 우리는 미지수를 제공하는 선의 또 다른 점을 계산할 수 있습니다.

$t$

예를 들어 다른 번호

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

따라서 우리는 선상에서 무한히 많은 점을 얻을 수 있습니다.

$t$

무한한 가치를 가질 수 있습니다.

선의 벡터 방정식 문제 해결

연습 1

점을 통과하는 선의 벡터 방정식을 구합니다.

$P$

그리고 그의 방향 벡터는

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

해결책 보기

선의 벡터 방정식을 계산하려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

연습 2

이전 문제의 직선 위에 있는 세 점을 계산합니다.

해결책 보기

벡터 방정식으로 설명된 선에서 점을 얻으려면 매개변수에 값을 제공해야 합니다.

$t.$

이전 문제에서 계산된 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

점을 계산하기 위해 우리는 미지수를 대체합니다.

$t$

예를 들어

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

두 번째 점을 찾기 위해 우리는

$t$

예를 들어

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

그리고 마지막으로 할당하여 세 번째 점을 얻습니다.

$t$

의 가치

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

매개변수에 부여하는 값에 따라 달라지기 때문에 다른 점수를 얻었을 수도 있습니다.

$t.$

하지만 동일한 절차를 따르면 모든 것이 정상입니다.

연습 3

또는 두 가지 점:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

이 두 점을 통과하는 직선의 벡터방정식을 구합니다.

해결책 보기

이 경우 선의 방향 벡터가 없으므로 먼저 방향 벡터를 찾은 다음 선의 방정식을 찾아야 합니다.

따라서 선의 방향 벡터를 찾으려면 주어진 두 점에 의해 정의된 벡터를 계산해야 합니다.

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

그리고 선의 방향 벡터를 이미 알고 있으면 주어진 점 중 하나와 공식에서 벡터 방정식을 결정할 수 있습니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

주어진 다른 점을 공식에 넣어서 구한 방정식도 유효합니다.

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

직선의 벡터 방정식은 무엇입니까?

선의 벡터 방정식은 어떻게 계산됩니까?

선의 벡터 방정식을 찾는 방법의 예

선의 벡터 방정식에서 점 얻기

선의 벡터 방정식 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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