지수 함수의 파생

이 글에서는 지수함수를 유도하는 방법을 설명합니다. 지수 함수의 도함수(기본 a 및 밑 e e 포함)에 대한 공식과 해결된 연습문제를 찾을 수 있습니다.

지수 함수의 도함수에 대한 규칙은 거듭제곱 의 밑수에 따라 달라집니다 . 밑수가 임의의 숫자(a)인지 숫자 e인지에 따라 함수가 다르게 파생되기 때문입니다. 그렇기 때문에 아래에서 각 사례를 별도로 살펴본 다음 두 공식을 요약하여 지수 함수를 도출하는 방법을 완전히 이해하겠습니다.

밑이 a인 지수 함수의 파생

밑이 a인 지수 함수의 도함수는 거듭제곱의 밑과 지수의 도함수의 자연 로그와 함수의 곱과 같습니다.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

예를 들어, 다음 지수 함수의 미분은 다음과 같습니다.

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

e를 밑으로 하는 지수 함수의 파생

e를 밑으로 하는 지수 함수의 도함수는 지수의 도함수에 의한 동일한 함수의 곱과 동일합니다.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

예를 들어, 4x로 거듭제곱된 숫자 e의 도함수는 다음과 같습니다.

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

지수 미분 공식

우리가 본 것처럼, 지수 함수의 미분은 그 밑수에 따라 달라집니다. 지수 함수를 유도하는 데 사용되는 두 가지 공식은 다음과 같습니다.

지수 미분

e에서 x까지의 지수 도함수

지수 도함수 공식이 무엇인지 확인한 후에는 x에서 e의 도함수 사례를 분석해 보겠습니다. 왜냐하면 이는 흥미로운 경우이기 때문입니다.

함수 e를 x로 미분하면 항상 함수 자체가 됩니다 . 즉, 함수 e x 를 몇 번 미분하더라도 항상 동일한 함수를 얻게 됩니다.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

x로 제기된 함수 e의 이러한 속성은 x의 도함수가 1이라는 사실에 기인합니다. 따라서 유도할 때 항상 함수 자체에 1을 곱하고 결과적으로 항상 함수 d’origin을 얻습니다.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

지수 함수의 도함수 문제 해결

연습 1

다음 지수 함수를 도출합니다.

f(x)=3^x

이 함수는 e 이외의 숫자를 기반으로 하므로 다음 공식을 사용해야 합니다.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

따라서 밑수 3의 지수 함수의 미분은 다음과 같습니다.

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

연습 2

다음 지수 함수의 미분을 계산합니다.

f(x)=7^{3x^2-4x}

이 연습의 함수는 e가 아닌 숫자를 기반으로 하므로 다음 공식을 적용해야 합니다.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

따라서 함수의 미분은 다음과 같습니다.

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

연습 3

e를 밑으로 하는 다음 지수 함수의 도함수를 구합니다.

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

이 연습의 함수는 숫자 e를 기본으로 하므로 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

그리고 지수 함수의 유도는 다음을 제공합니다.

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

이 도함수를 풀려면 체인 규칙을 사용해야 합니다.

연습 4

근을 지수로 사용하여 다음 지수 함수의 도함수를 구합니다.

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ 참조: 근호 함수의 파생물

는 지수의 급진적 표현이지만, 기본 a에서 지수 함수를 도출하기 위해 여전히 규칙을 사용해야 합니다.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

따라서 복합 지수 함수의 미분은 다음과 같습니다.

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

연습 5

분수 지수를 사용하여 밑 e에서 다음 지수 함수를 도출합니다.

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ 참조: 함수 몫의 도함수

거듭제곱의 밑수는 e이므로 다음 규칙을 사용하여 함수를 나눕니다.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

따라서 지수 함수의 미분은 다음과 같습니다.

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

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