지수 함수

이 페이지에서는 지수 함수가 무엇인지, 그리고 지수 함수를 그래프에 표현하는 방법을 알아봅니다. 또한 완전히 이해하기 위해 모든 특성과 몇 가지 예를 볼 수 있습니다. 마지막으로 지수함수에 대한 연습과 문제를 단계별로 풀어보며 연습할 수 있습니다.

지수 함수란 무엇입니까?

지수 함수의 정의는 다음과 같습니다.

수학에서 지수 함수는 거듭제곱의 지수에 독립 변수 x 를 갖는 함수입니다. 즉, 다음과 같습니다.

f(x)=a^x

금

a

은 양의 실수이며 1과 다릅니다.

지수 함수의 예

다음 함수는 지수 함수의 예입니다.

f(x)=3^{x}

f(x)=4^{-x}

\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{2} \right)^x

f(x)=5^x

지수 함수의 특성

지수 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

  • 지수 함수의 영역은 실수로 구성됩니다. 즉, 지수 함수는 x 값에 대해 존재합니다.

\text{Dom } f=\mathbff{R}

  • 그러나 함수는 양수 값만 취하므로 지수 함수의 범위는 양수 실수로 구성됩니다.

\text{Im } f= (0,+\infty)

  • 모든 지수 함수는 연속 함수이자 단사 함수입니다.
  • 함수가 변환되지 않으면 모든 지수 함수는 점 (0,1)을 통과합니다. 0으로 평가된 함수는 항상 1을 제공하기 때문입니다.

f(0)=a^0=1

  • 마찬가지로, x=1에서 지수 함수의 값은 밑과 같습니다.

f(1)=a^1=a

  • 권력 기반이라면

    (a)

    1보다 크면 지수 함수가 증가합니다. 반면에 계수가

    a

    0과 1 사이의 구간에 있으면 지수함수가 감소합니다.

  • 일반적으로 x축은 지수 함수의 수평 점근선입니다.
  • 지수 함수의 역은 로그 함수입니다. 따라서 지수함수와 로그함수의 그래프는 밑이 같으면 y=x선을 중심으로 대칭이 됩니다.

지수 함수를 그래프로 표현하는 방법

지수 함수는 표현하기가 매우 간단합니다. 그럼 예제를 이용하여 그래프에 지수함수를 그래프로 그리는 방법을 살펴보겠습니다.

  • 그래프에 다음 지수 함수를 플롯합니다.

f(x)=2^x

지수 함수에서는 항상 모두 실수이기 때문에 정의역을 계산할 필요가 없습니다.

\text{Dom } f = \mathbb{R}

따라서 가치표를 작성하는 것으로 충분합니다. 이러한 유형의 함수는 한 지점에서 다른 지점으로 많이 변경되므로 5개 지점을 계산합니다. 그러나 더 많은 점을 계산할수록 함수 표현이 더 정확해집니다.

  • x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2^0= 1

  • x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2^1= 2

  • x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2^2= 4

  • x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=2^{-1}= 0,5

  • x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=2^{-2}= 0,25

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ -1 & 0,5 \\ -2 & 0,25 \end{array}

값 표의 값은 손으로 계산하기 어렵기 때문에 계산기를 사용하여 값을 찾는 것이 좋습니다.

이제 그래프에 점을 나타냅니다 .

마지막으로 점들을 결합하고 기능을 확장합니다.

지수 함수를 표현하거나 그래프로 표현하는 방법

오른쪽의 함수는 무한대까지 계속 증가합니다.

반면 왼쪽의 함수는 감소하지만 0에 도달하지 않습니다. 아주 가까이 다가가도 절대 건드리지 않습니다. 이는 선 y=0(x축)이 수평 점근선임을 의미합니다.

지수 함수에 대한 연습문제 해결

연습 1

다음 지수 함수를 그래프로 나타내십시오.

f(x)= 2^x+1

이는 지수 함수이므로 이를 표현하려면 변수 x에 값을 제공하는 값 테이블을 만들어야 합니다.

x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= 2^0+1=2

x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= 2^1+1=3

x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= 2^2+1=5

x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= 2^{-1}+1=1,5

x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= 2^{-2}+1=1,25

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ -1 & 1,5 \\ -2 & 1,25 \end{array}

값 테이블이 있으면 그래프에서 얻은 점을 플롯하고 함수를 플롯합니다.

지수함수를 단계별로 풀어내는 연습

오른쪽의 함수는 무한대까지 계속 증가합니다. 반면, 왼쪽에서는 함수가 감소하지만 1을 초과하지 않습니다. 실제로 함수는 오른쪽에서 수평 점근선 y=1을 갖습니다.

이 경우, 수평 점근선은 OX 축 대신 y=1에 있습니다. 왜냐하면 한 단위 위로 수직 이동이 함수를 향해 이루어졌기 때문입니다.

연습 2

그래프에 다음 지수 함수를 플롯합니다.

\displaystyle f(x)= \left(\frac{1}{3}\right)^x

이는 지수 함수이므로 그래픽으로 표현하려면 변수 x에 값을 제공하는 값 테이블을 구성해야 합니다.

x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^0 = 1

x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 = 0,33

x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 = 0,11

x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3

x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0,33 \\ 2 & 0,11 \\ -1 & 3 \\ -2 & 9 \end{array}

값 테이블이 있으면 계산된 점을 그래프에 플롯하고 함수를 그립니다.

지수 함수 연습 문제 해결

왼쪽의 함수는 무한대까지 계속 증가합니다. 반면, 오른쪽에서는 함수가 감소하지만 0을 초과하지 않습니다. 실제로 함수는 y=0(X축)에서 수평 점근선을 갖습니다.

연습 3

그래프에 다음 지수 함수를 플롯합니다.

\displaystyle f(x)= \left(\frac{1}{2}\right)^x+3

이는 지수 함수이므로 이를 그리려면 여러 지점에서 함수를 평가하는 값 테이블을 만들어야 합니다.

x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^0+3 = 4

x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^1+3 = 3,5

x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^2+3 = 3,25

x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}+3 = 5

x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^{-2}+3 = 7

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 4 \\ 1 & 3,5 \\ 2 & 3,25 \\ -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{array}

마지막으로, 얻은 점을 그래프에 나타내고 함수를 그립니다.

지수 함수 문제

왼쪽의 함수는 무제한으로 무한대로 증가합니다. 반면, 오른쪽에서는 함수가 감소하지만 3을 초과하지 않습니다. 실제로 함수는 y=3에서 수평 점근선을 갖습니다.

이 경우 함수가 수직으로 3단위 위로 이동되었기 때문에 수평 점근선은 X축 대신 y=3에 있습니다.

연습 4

지수함수에 관한 다음 문제를 풀어보세요.

  • 가치를 결정하다

    k

    다음 지수 함수는 점(2.8)을 통과합니다.

f(x)=k\cdot 2^x

함수는 점 (2,8)을 통과해야 하므로 점의 x 와 f(x) 값을 함수에 대입하여 상수 k의 값을 찾을 수 있습니다.

f(x)=k\cdot 2^x \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 8} \ 8 = k \cdot 2^2

이제 결과 방정식을 푼다.

8 = k \cdot 2^2

8 = k \cdot 4

\cfrac{8}{4} = k

\bm{ 2 = k}

연습 5

지수함수에 관한 다음 문제를 풀어보세요.

흰개미 개체군은 다음 기능에 따라 번식합니다.

f(t)=3^{t+1}

금

f(t)

는 흰개미의 수이고

t

시간이 몇 달이 지났습니다.

1년 후에는 몇 마리의 흰개미가 생길까요?

1년 동안 있을 흰개미의 수를 계산하려면 경과 시간(1년)을 함수에 대입하면 됩니다. 그러나 함수 t 는 연도가 아니라 경과된 달이므로 1년에는 12개월이 있으므로 t =12로 두어야 합니다.

f(t)=3^{t+1}

f(12)=3^{12+1}

f(12)=3^{13}

계산기로 해결합니다.

f(12)= 1594323

따라서 1년 후에는 1,594,323마리의 흰개미가 있을 것입니다.

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