두 점을 지나는 선의 방정식(공식)

7월 10, 2023

여기에서는 두 점을 통과하는 선의 방정식을 빠르게 찾는 공식을 찾을 수 있습니다. 또한 2점으로 결정되는 선의 방정식을 풀어서 예제와 실습을 볼 수 있습니다.

두 점을 지나는 직선의 방정식 공식

일반적인 선 방정식 문제는 주어진 두 점에 의해 결정되는 선의 방정식을 계산하는 것입니다. 이러한 유형의 문제를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있지만 다음은 해당 선의 방정식을 빠르고 쉽게 직접 찾을 수 있는 공식입니다.

한 직선 위에 있는 두 점을 생각해 보세요.

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

두 점에서 직선의 방정식을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

두 개의 점이 주어진 선의 방정식에 대한 공식은 선의 점-기울기 방정식 에서 추론됩니다.

$y-y_1= m (x-x_1)$

선의 기울기는 다음 식으로 계산할 수 있습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

두 점의 좌표가 주어지면 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

따라서 선의 방정식을 결정하려면 선이 통과하는 두 점만 알면 됩니다.

두 점이 주어진 직선의 방정식을 찾는 방법의 예

위의 2개 점에서 직선 방정식의 공식이 무엇인지 확인했으면 이제 일반적인 방정식 연습이 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식은 무엇입니까?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

선 위에 있는 두 점을 이미 알고 있으므로 공식을 직접 사용하여 방정식을 계산합니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

이제 점의 좌표를 공식으로 대체합니다.

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

그리고 마지막으로 선의 기울기를 계산합니다.

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

따라서 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

명제는 우리에게 달리 말해주지 않기 때문에, 분수가 남아 있더라도 선의 방정식을 더 단순화할 필요가 없습니다.

두 점을 통과하는 선의 방정식 문제를 해결했습니다.

연습 1

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하십시오.

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

해결책 보기

우리는 이미 선의 두 점을 알고 있으므로 선의 방정식 공식을 주어진 두 점에 직접 적용합니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

이제 점의 데카르트 좌표를 공식으로 대체합니다.

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

그리고 마지막으로 선의 기울기를 계산합니다.

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

따라서 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

연습 2

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하십시오.

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

해결책 보기

우리는 이미 선에 속하는 두 점을 알고 있으므로 알려진 선의 방정식 공식을 두 점으로 직접 사용합니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

이제 점의 좌표를 공식으로 대체합니다.

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

마지막으로 다음 작업을 수행합니다.

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

따라서 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y= -x-2}$

연습 3

계산을 하지 않고 다음 선에 있는 점을 결정합니다.

$y-2= 4(x+1)$

해결책 보기

선 위의 점은 두 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 공식에서 추론할 수 있습니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

점의 Y 좌표는 변수 이전의 항이 됩니다.

$y$

부호가 변경되고 점의 X 좌표는 음수 괄호 안의 숫자가 됩니다.

$\bm{P(-1,2)}$

연습 4

다음 두 점으로 정의된 선에서 세 번째 점을 찾습니다.

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

해결책 보기

먼저 다음 공식을 사용하여 선의 방정식을 찾아야 합니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

그리고 두 점을 통과하는 선의 방정식이 발견되면 변수 중 하나에 값을 제공하는 세 번째 점을 계산합니다. 예를 들어, 우리는

$x=0:$

$y-1= 2(x-4) \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ y-1= 2(0-4)$

$y-1=2\cdot (-4)$

$y-1=-8$

$y=-8+1$

$y=-7$

따라서 선에 속하는 다른 점의 좌표는 다음과 같습니다.

$\bm{P(0,-7)}$

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