주목할만한 제품이나 주목할만한 아이덴티티는 무엇인가요?
놀라운 곱 또는 놀라운 평등이라고도 불리는 놀라운 항등식은 다항식 의 곱과 몫을 더 빨리 풀 수 있는 수학적 자원입니다. 항등이라는 단어에서 알 수 있듯이 이는 문제를 풀지 않고도 이러한 연산을 계산할 수 있게 해주는 등식입니다. 이 표현식은 고정된 규칙(항상 충족됨)을 따른다는 것을 알고 있으므로 확인하지 않고도 결과를 얻을 수 있습니다.
주목할만한 아이덴티티를 언제 사용해야 할까요?
이러한 항등식은 대수학 분야에서 주로 사용되며 주요 기능은 전체 연산 자체를 풀 필요 없이 특정 다항식의 해를 빠르게 하는 것입니다. 거기에서 우리는 기사 전반에 걸쳐 언급할 주목할만한 제품의 공식을 얻습니다. 마지막으로 공식을 완전제곱식, 인수 다항식 또는 기타 모든 유형의 계산에 적용할 수 있습니다.
주목할만한 제품을 단계별로 해결하는 방법은 무엇입니까?
주목할만한 신원을 확인하려면 매우 간단한 절차를 따라야 하며, 이는 또한 많은 의미가 있습니다.
- 주목할만한 아이덴티티 유형 식별: 첫 번째 단계는 주목할만한 제품 또는 주목할만한 지수 등 운영 유형을 식별하는 것입니다. 또한 어떤 유형의 공식을 적용해야 하는지 명확히 해야 합니다. 물론 나중에 다양한 유형의 주목할만한 신원을 설명한 후에 이를 이해하게 될 것입니다.
- 공식 적용: 적용해야 할 공식을 알고 나면 이제 계산을 수행할 차례입니다. ID 유형에 따라 다소 복잡한 작업을 해결해야 하며 대부분의 경우 이러한 계산은 하나 이상의 미지수를 포함하는 용어로 구성됩니다.
- 표현을 단순화하세요. 마지막으로 결과를 얻으면 단순화해야 합니다. 이 단계에서는 유사한 용어를 그룹화하고 순서를 지정하여 잘 구조화된 결과 다항식을 형성해야 합니다. 이 단계는 다른 단계만큼 중요하다는 점에 유의해야 합니다. 그렇지 않으면 연습이 불완전한 상태로 유지되기 때문입니다.
주목할만한 아이덴티티 또는 주목할만한 주요 제품의 공식
아래에서 주목할만한 정체성에 해당하는 모든 공식을 찾을 수 있습니다. 각 사례에 대한 이론적 설명 외에도 주목할 만한 몇 가지 해결된 제품 예시도 포함되어 있어 모든 개념을 더 잘 이해할 수 있습니다. 이 첫 번째 섹션에서는 가장 중요한 신원 만 찾을 수 있다는 점을 언급할 가치가 있습니다. 하지만 이 기사를 읽으면 삼항식으로 만든 제품과 같이 더 복잡하고 주목할 만한 제품을 개발하는 방법을 배우게 됩니다.
합의 제곱
첫 번째 경우는 대수의 세계에서 매우 일반적인 다항식 표현인 합의 제곱 에 관한 것입니다. 이는 (a + b) 2 로 작성될 수 있으며 이는 (a + b) · (a + b)와 동일합니다. 그러므로 우리는 다항식 곱셈을 사용하여 이 문제를 풀 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그러나 주목할만한 신원 덕분에 다음 공식을 사용하여 시간을 절약할 수 있습니다: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 다음으로, 방금 본 공식의 데모를 보여드리겠습니다. 이렇게 하면 해당 공식이 어디서 왔는지, 어떻게 사용되는지 이해할 수 있습니다.
보시다시피, 이전에 설명했던 다항식의 곱셈을 사용하여 검증을 수행했습니다. 결과 공식을 암기하고 간단한 값 대체를 수행하면 결과를 더 빨리 얻을 수 있다고 절대적으로 확신할 수 있습니다. 그래서 그것은 매우 유용한 수학적 개념입니다. 이제 합의 제곱이 어떻게 작동하는지 알았으니 구체적인 예를 보여드리겠습니다.
합의 제곱의 예
주목할만한 항등식(2x + 4) 2 계산:
기본적으로 우리는 이항식의 값을 공식의 문자와 연관시키고 a = 2x 및 b = 4를 해결했습니다. 마지막으로 모든 계산을 푼 후 다항식 4x 2 + 16x + 16을 얻습니다. 원본과 동일합니다 . 이 예에서는 축소 다항식에서 확장 다항식(표준 형식)을 얻었습니다.
빼기의 제곱
또 다른 매우 일반적인 표현은 뺄셈의 제곱 입니다. 이는 덧셈의 제곱과 매우 유사하며 부호 하나만 변합니다. 그러면 이항식의 구조는 (a – b) 2 와 동일하며, 이를 펼치면 다음과 같은 결과를 얻습니다: (a – b) · (a – b). 이전 사례와 마찬가지로 이는 다항식의 곱셈으로 계산할 수 있지만 해를 쉽게 구하는 공식도 있습니다: a 2 – 2ab +b 2 . 아래에서 이에 대한 경험적 증거를 찾을 수 있습니다.
차이의 제곱을 간단히 계산하기 위해 제곱합에 사용한 것과 동일한 공식을 사용할 수 있지만 첫 번째 부호는 음수입니다 . 이러한 최소한의 변경을 통해 양수 항과 음수 항으로 구성된 이항식에 표현식을 적용할 수 있으며 이는 뺄셈에 유용합니다. 이제 해결된 예를 보여드리겠습니다.
뺄셈의 제곱의 예
주목할만한 항등식(x – 3) 2 계산:
예제 솔루션에서 볼 수 있듯이, 우리는 이항식의 값을 공식 a = x 및 b = 3으로 대체했습니다. 따라서 앞서 설명한 공식을 사용하여 대체만 수행하고 매우 기본적인 몇 가지만 수행했습니다. 계산. 이를 통해 이 표현식을 사용하여 차이의 제곱을 얼마나 쉽게 계산할 수 있는지 확인할 수 있습니다.
차이에 의한 제곱 또는 합의 차이
주목할만한 곱의 세 번째 경우는 제곱의 차이 라고 하며, 이는 양의 이항과 음의 이항의 곱으로 구성됩니다. 이 스타일의 표현식은 다음과 같은 구조를 갖습니다: (a + b) · (a – b). 따라서 이 곱을 확장하면 계산을 더 쉽게 해주는 공식인 a 2 – b 2 를 얻게 됩니다. 보시다시피, 이는 매우 간단한 공식이지만 완전히 이해하려면 모든 계산을 개발해야 합니다.
차액 합계의 예
주목할만한 항등식(x + 1) · (x – 4)을 계산합니다.
이 경우 수치 계산은 매우 쉽습니다. 사실 우리는 거듭제곱만 풀면 되었습니다. 이 공식은 이항식의 주 항과 독립 항이 동일하지만 부호가 변경된 경우 에만 적용 가능하다는 것은 사실입니다. 따라서 이 ID는 중요하지만 가장 많이 사용하게 될 ID는 아닙니다.
공통항을 갖는 두 이항식의 곱
이 네 번째 사례에서는 구조가 약간 수정되었지만 이전 사례와 매우 유사한 상황에 직면하게 됩니다. 우리가 보여주는 차이점을 살펴보세요: (x + a) · (x + b) 및 (a + b) · (a – b). 여전히 명확하게 이해되지 않는 경우 다음 예를 고려하십시오: (x + 4) · (x + 5) 및 (x + 4) · (x – 4). 첫 번째 경우( 두 개의 공통 항 이항식의 곱 )에는 공유 항이 하나만 있고, 두 번째 경우(차이의 합)에는 두 항이 공통이지만 독립 항의 부호가 반전됩니다. 즉, 어떤 공식을 사용할 수 있는지 살펴보겠습니다.
공통 용어가 있는 두 이항식의 곱의 예
주목할만한 제품 (x + 2) · (x + 3)에 대해 해결합니다.
x 2 + (a + b)x + ab의 공식을 사용하여 두 이항식의 곱셈으로 인한 2차 다항식을 계산할 수 있습니다. 이 예를 통해 우리가 설명한 마지막 두 사례의 차이점을 이해하셨기를 바랍니다. 때로는 두 사례를 구별하기 어려울 수 있기 때문입니다.
삼항식의 제곱
삼항식의 제곱을 계산하려고 할 때, 우리의 삶을 더 쉽게 만들어 주는 놀라운 제품도 있습니다. 이 표현식은 다음과 같이 표현됩니다: (a + b + c) 2 그리고 등가 제품은 다음과 같습니다: a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc. 이는 양수 삼항식의 경우 유효하지만 계수 중 하나가 음수인 경우 공식에 음수 값을 쓰면 됩니다. 아래는 공식의 데모입니다:
삼항식의 제곱의 예
주목할만한 항등식(2x + 1 + x 2 ) 2 계산:
놀라운 아이덴티티 공식 또는 놀라운 큐브 제품
이제 우리는 주목할만한 주요 항등식을 설명했으므로 이항식 세제곱부터 시작하여 파생 상품을 살펴보겠습니다. 이 스타일의 주목할만한 제품을 계산하려면 조금 더 복잡하지만 이미 논의한 것과 유사한 구조를 따르는 공식에 의존해야 합니다.
이항 세제곱
이항의 세제곱은 (a + b) 3 및 (a – b) 3 으로 작성됩니다. 이 표현식은 다음 공식과 동일합니다: (a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) 및 (a 3 – 3a 2b + 3ab 2 – b 3 ). 이 두 경우는 세제곱 이항식이기 때문에 합의 세제곱과 빼기의 세제곱이라고 합니다. 아래에서는 각 사례에 대한 매우 자세한 데모를 볼 수 있습니다.
이 첫 번째 증명을 이해하는 열쇠는 (a + b) 3이 (a + b) 2 · (a + b)와 동일하다는 것을 이해하는 것입니다. 이런 식으로 우리는 이전에 다른 요소를 곱하기 위해 설명한 합의 제곱 공식을 사용합니다. 그런 다음 간단히 표현을 단순화하고 해당하는 주목할 만한 항등식을 얻습니다: a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . 두 번째 예의 경우에도 동일한 일이 발생하지만 부호가 변경됩니다.
이항 큐브의 예
주목할만한 정체성 풀기 (x + 3) 3 :
방금 논의한 공식을 사용하여 a = xyb = 3을 고려하여 다항식을 계산할 수 있습니다. 보시다시피 절차는 매우 간단 하고 계산에 많은 복잡성이 없습니다. 이는 공식이 있기 때문입니다. . 그렇지 않으면 그렇게 많은 곱셈을 해야 하는 것이 꽤 지루할 것입니다.
세제곱의 합과 세제곱의 차
이전 사례와 쉽게 혼동될 수 있는 다른 사례도 있습니다. 두 경우가 다르게 작성되었지만 동일하지는 않습니다. 세제곱의 합이나 차이 에 해당하는 표현은 a 3 + b 3 입니다. 이전 사례에서는 (a + b) 3 이라고 말했습니다. 보시다시피 표현의 구조에는 부인할 수 없는 유사성이 있지만 실제로 계산을 개발할 때 완전히 다른 두 가지 경우가 있습니다.
공식의 시연에서 우리는 첫 번째 다항식의 인수분해를 얻습니다. 정확하게 우리는 초기 이항식에서 삼항식에 의한 이항식의 곱으로 이동합니다. (a + b) · (a 2 – ab + b 2 )로 얻은 결과는 계산을 전혀 단순화하지 않는 것처럼 보이지만 실제로는 다항식을 인수분해하여 이해하기 매우 쉬운 표현식을 얻습니다.
큐브 합계의 예
주목할만한 제품 x 3 + 27을 계산합니다.
이 경우 더 이상 단순화할 수 없기 때문에 결과가 상당히 길어집니다. 그러나 이 표현식에 도달하는 것은 일반적입니다. 실제로 이러한 경우에는 이 예에서처럼 이항식과 삼항식의 곱과 동일한 구조 의 결과만 얻을 수 있습니다.
삼항식 세제곱
삼항식의 세제곱은 다음과 같이 작성됩니다: (a + b + c) 3 , 이는 세 개의 동일한 삼항식을 곱하는 것과 같지만 지수는 없습니다: (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + 다). 공식은 매우 논리적이고 다항식의 해당 곱셈을 수행할 때 모든 것과 동일한 방식으로 얻어지지만 이는 가장 복잡하고 주목할만한 제품입니다. 아래에서 이 놀라운 정체성에 대한 공식의 증거를 찾을 수 있습니다.
삼항식의 입방체의 예
다음 삼항식 입방체 (x 2 + 3x – 4) 3 을 풉니다.
놀라운 비율
마지막으로, 특정 유형의 대수 분수를 빠르게 풀기 위한 주목할만한 항등식인 주목할만한 몫(notablequotients)에 대해 설명하겠습니다. 보다 정확하게는 하나의 특성을 공유하는 네 가지 유형이 있습니다. 즉, 결과는 정확한 다항식(나머지는 0과 같음)으로 구성됩니다. 주목할 만한 몫의 공식은 우리가 이미 설명한 놀라운 제품의 공식과 특정한 관계를 가지고 있다는 점도 언급할 가치가 있습니다.
놀라운 비율의 해결 사례
다음과 같은 주목할만한 비율을 계산하십시오.
놀라운 제품 연습 문제 해결
이제 다양한 주요 문제가 어떻게 해결되는지 알았으므로 약간의 연습을 해볼 차례입니다. 이것이 바로 설명된 모든 이론을 적용할 수 있는 6가지 연습을 제공하는 이유입니다. 그리고 우리는 여러분이 모든 연습 문제를 해결하는 동안 바로 사용할 수 있도록 주목할만한 주요 정체성에 대한 표를 보여줍니다.
연습 1
이항제곱 (x – 4) 2 , (x + 1) 2 및 (x – 3) 2 을 풉니다.
연습 2
제곱 (x – 1) · (x + 1)과 (x + 3) · (x – 3)의 두 가지 차이를 계산합니다.
연습 3
(x – 5) 3 및 (x + 8) 3 큐브에 주목할만한 제품을 개발하십시오.
연습 4
다중 요소 용어 (4x 2 + 5y) 2 , (5x 3 + y 2 ) · (5x 3 – y 2 ) 및 (5xy 2 – 2xy) 2 로 형성된 주목할만한 아이덴티티 개발:
연습 5
다중 요소 항 (3x 2 + y) 3 및 (5y 3 – 2x 2 ) 3 으로 형성된 주목할만한 3차 곱을 계산합니다.
연습 6
삼항식 (2x 2 + 3x + 5) 2 및 (3x 2 + 5x + 6)의 제곱을 풉니다.
