접선 방정식 -

이번 글에서는 곡선의 접선 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다. 또한, 다양한 난이도의 해결된 연습문제를 통해 훈련할 수 있습니다.

한 점에서 함수에 대한 접선의 방정식

x=x ₀ 지점에서 함수 f(x)에 대한 접선 방정식은 다음과 같습니다.

$y -y_0= m(x-x_0)$

여기서 P(x ₀ ,y ₀ ) 지점은 접선과 함수가 일치하는 지점입니다. 그리고 접선의 기울기 m은 x ₀ 지점에서 곡선의 도함수와 같습니다. 즉, m=f'(x ₀ )입니다.

위 이미지에서 곡선을 볼 수 있습니다

$f(x)$

파란색과 함수에 접하는 주황색 선으로 표시됨

$f(x)$

에 대한

$x=x_0$

, 이 점만 공통점이 있기 때문입니다. 음, 이 탄젠트의 방정식은 다음과 같습니다.

$y -y_0= m(x-x_0)$

이고 그 기울기는

$m=f'(x_0)$

탄젠트 방정식을 찾는 방법

한 점에서 함수에 대한 접선 방정식을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

접선 지점에서 함수의 도함수를 계산하여 접선의 기울기를 찾습니다.
접선 위의 점을 결정합니다.
계산된 기울기와 접선의 점을 이용하여 접선의 방정식을 구합니다 .

곡선에 대한 접선 방정식의 예

탄젠트 방정식에 대한 이론을 살펴본 후에는 예제를 단계별로 풀어 탄젠트 방정식을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

곡선에 대한 접선의 방정식을 계산합니다.
$f(x)=x^2+x$

에 대한

$x=1$

.

우리는 탄젠트 방정식이 항상 다음과 같은 형식이라는 것을 알고 있습니다.

$y -y_0= m(x-x_0)$

가장 먼저 할 일은 선의 기울기를 계산하는 것입니다. 따라서 접선의 기울기는,

$m$

는 접선 x=1 지점에서 곡선의 도함수 값이 됩니다. 즉

$m=f'(1).$

따라서 우리는 함수를 미분한 다음 계산합니다.

$f'(1):$

$f(x)=x^2+x \quad \longrightarrow \quad f'(x)=2x+1$

$f'(1)= 2\cdot 1+1=2+1=3$

$m=f'(1)=3$

우리가 그 가치를 알고 나면

$m$

, 우리는 요점을 찾아야 해요

$(x_0,y_0)$

접선 방정식을 완성하려면 접선을 사용하세요.

접선과 곡선의 방정식에는 항상 공통점이 있는데 , 이 경우에는

$x=1$

. 그러므로 곡선처럼

$f(x)$

이 점을 통과하면 다음을 계산하여 점의 다른 구성 요소를 찾을 수 있습니다.

$f(1):$

$f(x)=x^2+x$

$f(1)=1^2+1=2$

따라서 접선점은 다음과 같습니다.

$P(1,2)$

곡선과 접선 모두 이 점을 통과하므로 이를 사용하여 접선의 방정식을 찾을 수도 있습니다.

남은 것은 발견된 기울기 값과 접선 점을 방정식으로 대체하는 것입니다.

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=3 \qquad P(1,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 3(x-1)$

즉, 접선 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y-2=3(x-1)}$

또한 선의 명시적 방정식을 사용하여 접선의 방정식을 표현할 수도 있습니다.

$\bm{y=3x-1}$

아래에서 곡선이 표현된 것을 볼 수 있습니다.

$f(x)=x^2+x$

그리고 그것의 접선은

$x=1,$

$y-2=3(x-1):$

보시다시피 곡선이

$f(x)=x^2+x$

그리고 접선

$y-2=3(x-1)$

그 사람들의 공통점은 딱 하나야

$(1,2)$

, 정확히 우리가 계산한 대로입니다.

접선 방정식에 대한 해결 연습

연습 1

곡선에 대한 접선의 방정식을 계산합니다.

$f(x)=2x^2-4x+3$

에 대한

$x=2 .$

솔루션 보기

접선 방정식은 항상 다음 형식을 따릅니다.

$y-y_0=m(x-x_0)$

1단계: 접선의 기울기 계산

기울기 m 은 접선 지점에서 곡선의 도함수 값입니다. 따라서 이 경우

$m = f'(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x-4$

$f'(2)= 4\cdot 2-4=8-4=4$

$m=f'(2)=4$

2단계: 접선에서 점 찾기

접선과 곡선의 방정식에는 항상 공통점이 있는데, 이 경우에는

$x=2$

. 그러므로 곡선처럼

$f(x)$

이 점을 통과하면 다음을 계산하여 점의 다른 구성 요소를 찾을 수 있습니다.

$f(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3$

$f(2)=2\cdot 2^2-4\cdot 2+3 =2 \cdot 4 -8 +3 = 3$

따라서 곡선과 접선이 모두 통과하는 점이 점입니다.

$(2,3).$

3단계: 접선 방정식 작성

남은 것은 발견된 기울기 값과 접선 점을 방정식으로 대체하는 것입니다.

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(2,3) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -3= 4(x-2)$

따라서 접선 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y -3= 4(x-2)}$

연습 2

곡선에 대한 접선의 방정식을 계산합니다.

$\displaystyle f(x)=-3x^2+2x$

좌표의 원점에서.

솔루션 보기

좌표의 원점은 점을 의미합니다.

$(0,0).$

그러므로 우리는 점에서 함수에 대한 접선을 계산해야 합니다.

$(0,0) .$

먼저 좌표 원점에서 도함수를 계산하여 접선의 기울기 값을 결정합니다.

$f(x)=-3x^2+2x \ \longrightarrow \ f'(x)= -6x+2$

$f'(0)= -6\cdot 0+2=2$

$m=f'(0)=2$

이 경우 우리는 접선이 통과하는 지점을 이미 알고 있습니다. 이 명령문은 선이 좌표의 원점, 즉 점에서 곡선에 접해야 함을 알려주기 때문입니다.

$(0,0).$

그래서 곡선과 접선이 공유하는 점이 점이다.

$(0,0).$

마지막으로, 기울기와 접선점에 대해 찾은 값을 방정식에 대입하면 됩니다.

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=2 \qquad P(0,0) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -0= 2(x-0)$

결론적으로 탄젠트 방정식은 다음과 같습니다.

$y -0= 2(x-0)$

$\bm{y = 2x}$

연습 3

곡선의 접선을 계산합니다.

$f(x)=x^2-2x-1$

오른쪽과 평행한 곳

$y-4x-6=0$

솔루션 보기

이 문제에서 우리는 접선이 선과 평행해야 한다고 들었습니다.

$y-4x-6=0 .$

그리고 두 직선의 기울기가 같으면 평행합니다. 따라서 접선은 선과 동일한 기울기를 가져야 합니다.

$y-4x-6=0.$

즉, 선의 기울기를 찾아야 합니다.

$y-4x-6=0 .$

이를 위해 변수를 지우고 다음을 수행합니다.

$y-4x-6=0 \ \longrightarrow \ y =4x+6$

그래서 선의 기울기는

$y=4x+5$

선의 기울기는 y가 깨끗할 때 x에 곱하는 숫자이므로 4입니다.

따라서 접선의 기울기도 4가 되어야 합니다. 왜냐하면 두 접선이 평행하려면 기울기가 같아야 하기 때문입니다.

$m=4$

이 경우 곡선과 접선 사이의 접선 지점을 알려주지 않습니다. 그러나 우리는 접선 지점에서 곡선의 도함수가 접선의 기울기와 같다는 것을 알고 있습니다. 즉

$m=f'(x_0)$

. 그렇다면 우리는 그 가치를 어떻게 알 수 있습니까?

$m$

, 우리는 방정식에서 x _0을 찾을 수 있습니다

$m=f'(x_0):$

이를 위해 먼저 다음의 미분값을 계산합니다.

$f(x):$

$f(x)= x^2-2x-1 \ \longrightarrow \ f'(x)=2x-2$

이제 우리는 해결합니다

$m=f'(x_0)$

그것을 아는 것은

$m = 4 :$

$m =f'(x_0)$

$4 =2(x_0)-2$

$4+2 =2x_0$

$6 =2x_0$

$\cfrac{6}{2} =x_0$

$3=x_0$

그리고 점의 x 좌표를 알면 다음을 계산하여 점의 다른 좌표를 찾을 수 있습니다.

$f(3):$

$f(3)=3^2-2\cdot 3-1= 9-6-1=2$

따라서 곡선과 접선이 모두 통과하는 점이 점입니다.

$(3,2).$

남은 것은 발견된 기울기 값과 접선 점을 방정식으로 대체하는 것입니다.

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(3,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 4(x-3)$

그리고 탄젠트의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y -2=4(x-3)}$

연습 4

곡선의 접선을 계산합니다.

$f(x)=2x^2+5x+1$

X축과 45°의 각도를 형성합니다.

솔루션 보기

문제 설명은 접선이 X축과 45°의 각도를 형성해야 함을 알려줍니다. 이러한 경우 기울기 값을 찾으려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$m = \text{tg}\left(\alpha\right)$

$m = \text{tg}\left(45^{\text{o}}\right) = 1$

명령문은 곡선과 접선 사이의 접선 지점을 지정하지 않습니다. 그러나 우리는 접선 지점에서 곡선의 미분이 접선의 기울기와 동일하다는 것을 알고 있습니다. 즉

$m=f'(x_0)$

. 따라서 다음 방정식을 풀어 x _{0 을} 계산할 수 있습니다.

$m=f'(x_0):$

이를 위해 먼저 다음의 미분값을 계산합니다.

$f(x):$

$f(x)=2x^2+5x+1\ \longrightarrow \ f'(x)=4x+5$

이제 우리는 해결합니다

$m=f'(x_0)$

그것을 아는 것은

$m = 1 :$

$m =f'(x_0)$

$1 =4(x_0)+5$

$1-5 =4x_0$

$-4 =4x_0$

$\cfrac{-4}{4} =x_0$

$-1=x_0$

그리고 점의 x 좌표를 알면 다음을 계산하여 점의 다른 좌표를 찾을 수 있습니다.

$f(-1):$

$f(-1)=2(-1)^2+5(-1)+1=2\cdot 1 -5 + 1 = -2$

따라서 곡선과 접선이 모두 통과하는 점이 점입니다.

$(-1,-2).$

남은 것은 발견된 기울기 값과 접선 점을 방정식으로 대체하는 것입니다.

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=1 \qquad P(-1,-2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -(-2)= 1(x-(-1))$

마지막으로 탄젠트 방정식을 찾기 위한 작업을 수행합니다.

$y -(-2)=1(x-(-1))$

$y +2=1(x+1)$

$\bm{y + 2=x+1}$

한 점에서 함수에 대한 접선의 방정식

탄젠트 방정식을 찾는 방법

곡선에 대한 접선 방정식의 예

접선 방정식에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

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