전환 가능한 행렬

이 페이지에서는 전환 가능한 행렬이 무엇인지 설명합니다. 또한 개념을 잘 이해할 수 있도록 예제를 볼 수 있으며 마지막으로 어떤 행렬과도 통하는 모든 행렬을 계산하는 방법을 배우는 단계별 해결 연습을 찾을 수 있습니다.

전환 가능한 행렬이란 무엇입니까?

곱셈의 결과가 곱셈의 순서에 의존하지 않는 경우 두 행렬은 교환 가능합니다 . 즉, 전환 가능한 행렬은 다음 조건을 만족합니다.

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

이것이 교환 가능한 행렬의 정의입니다. 이제 예를 살펴보겠습니다.

전환 가능한 행렬의 예

2×2 차원의 다음 두 행렬 사이를 전환할 수 있습니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

두 행렬의 교환 가능성은 양방향으로 곱을 계산하여 입증할 수 있습니다.

보시다시피, 두 곱셈의 결과는 곱해지는 순서에 관계없이 동일합니다. 그래서 행렬은

$A$

그리고

$B$

그들은 전환 가능합니다.

해결 매트릭스 전환 운동

그런 다음 교환 가능한 행렬 문제를 해결하는 방법을 단계별로 살펴보겠습니다.

다음 정사각 행렬을 사용하여 이동하는 모든 행렬을 결정합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

이 문제를 해결하기 위해 우리는 알려지지 않은 행렬을 만들 것입니다:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

그러므로 우리는 이 미지의 행렬을 찾아야 합니다.

이를 위해 모든 통근 행렬이 만족하는 속성을 활용하겠습니다.

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

이제 방정식의 양쪽에 행렬을 곱합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

따라서 평등이 성립하려면 다음 방정식이 충족되어야 합니다.

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

그래서 우리가 해야 할 일은 연립방정식을 푸는 것 뿐입니다. 마지막 방정식에서 우리는 다음을 추론할 수 있습니다.

$b$

다음과 같아야 합니다.

$c$

$b=c$

그리고 이 두 미지수가 동일하다면 세 번째 방정식이 두 번째 방정식과 반복되므로 이를 제거할 수 있습니다.

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

게다가 첫 번째 방정식에서는 다음과 같은 이유로 어떤 결론도 도출할 수 없습니다.

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

따라서 두 번째이자 마지막 방정식만 남습니다.

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

그래서 행렬과 통근하는 행렬은

$A$

두 개의 이전 방정식을 검증하는 것은 모두입니다. 따라서 찾은 식을 처음부터 미지의 행렬에 대입하면 다음과 같이 통근하는 행렬의 형태를 찾을 수 있다.

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

금

$b$

그리고

$d$

두 개의 실수입니다.

행렬과 통근하는 행렬의 예는 다음과 같습니다.

$A$

다음과 같을 것이다:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

전환 가능한 행렬의 속성

전환 가능한 행렬에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

전환 가능 배열에는 전이 속성이 없습니다 . 즉, 매트릭스라고 하더라도
$A$

행렬로 출퇴근하다

$B$

그리고

$C$

, 그런 뜻은 아닙니다

$B$

그리고

$C$

그들 사이에서 전환 가능합니다.

대각선 행렬은 서로 통근합니다. 즉, 대각 행렬은 다른 대각 행렬과 통근합니다.

마찬가지로 스칼라 행렬은 모든 행렬과 동일하게 이동합니다. 예를 들어, 항등 행렬이나 단위 행렬은 모든 행렬과 함께 통근합니다.

두 개의 에르미트 행렬은 고유벡터(또는 고유벡터)가 일치하면 통근합니다.

분명히 제로 행렬은 모든 행렬과 교환됩니다.

두 대칭 행렬 의 곱이 또 다른 대칭 행렬을 제공하는 경우 두 행렬은 교환되어야 합니다.

두 행렬의 대각화가 동시에 수행될 수 있으면 교환이 가능해야 합니다. 따라서 이 두 행렬은 고유벡터 또는 고유벡터의 동일한 정규 직교 기반을 공유합니다.

전환 가능한 행렬이란 무엇입니까?

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